Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения

Сложение и умножение числовых неравенств - это важная тема алгебры 8 класса, которая, наравне с темой оценивание значения выражени позволяет выполнять действия с неравенствами и находить границы значений выражений. Эти навыки необходимы для решения задач на оценку величин, доказательство неравенств и работы с приближёнными вычислениями. На этой странице вы найдёте всё, что нужно знать о действиях с числовыми неравенствами: правила почленного сложения и умножения, способы оценки выражений и примеры из практики.

Почленное сложение неравенств - это операция, при которой складываются левые и правые части двух неравенств одного знака.

Почленное умножение неравенств - это операция, при которой перемножаются левые и правые части двух неравенств одного знака (при условии положительности всех частей).

Оценивание значения выражения - это нахождение границ (наименьшего и наибольшего возможных значений) выражения на основе известных границ переменных .

Эти операции составляют основу работы с числовыми неравенствами и будут использоваться при переходе от нескольких неравенств к одному неравенству, чаще всего вы будете встречаться с этими действиями в курсе алгебры 8 класса, на олимпиадах по математике и на ЕГЭ по математике профильного уровня. В ОГЭ по математике чаще всего заданий на сложение, умножение или оценку значений нет

Разберем каждое действие по-отдельности, рассмотрим их свойства

Почленное сложение числовых неравенств

Если нам даны два верных неравенства одного знака, их можно почленно складывать - результат тоже будет верным неравенством .

Теорема о почленном сложении

Если $a < b$ и $c < d$ , то $a + c < b + d$ . Другими словами, если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство .

Пример 1:

Дано: $3 < 7$ и $4 < 9$

Почленно складываем: $3 + 4 < 7 + 9$

$7 < 16$ - верно

Пример 2:

Дано: $2 < 5$ и $10 < 12$

Почленно складываем: $2 + 10 < 5 + 12$

$12 < 17$ — верно

📌 Важно запомнить: Складывать можно только неравенства одного знака. Неравенства разных знаков складывать почленно нельзя.

Почленное умножение числовых неравенств

Умножение неравенств выполняется с важным ограничением: все части неравенств должны быть положительными числами.

Теорема о почленном умножении

Если $a < b$ и $c < d$ , где $a, b, c, d$ — положительные числа, то $ac < bd$ . Другими словами - если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых - положительные числа, то получится верное неравенство .

Пример:

Дано: $2 < 5$ и $3 < 4$ (все числа положительные)

Почленно умножаем: $2 \cdot 3 < 5 \cdot 4$

$6 < 20$ — верно

Почему важно условие положительности

Если среди чисел есть отрицательные, неравенство $ac < bd$ может оказаться неверным .

Контрпример:

$-3 < 2$ и $-4 < 1$ (неравенства одного знака)

Перемножим: $(-3) \cdot (-4) < 2 \cdot 1$

$12 < 2$ — неверно!

Вывод: Почленно умножать можно только тогда, когда все части обоих неравенств положительны.

Следствия из теорем

Важные следствия

Следствие 1 (возведение в степень). Если $a$ и $b$ — положительные числа и $a < b$ , то $a^n < b^n$ , где $n$ — натуральное число.

Пример: $2 < 3 \Rightarrow 2^4 < 3^4 \Rightarrow 16 < 81$

Следствие 2 (извлечение корня). Если $a$ и $b$ — положительные числа и $a < b$ , то $\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}$ , где $n$ — натуральное число.

Пример: $4 < 9 \Rightarrow \sqrt{4} < \sqrt{9} \Rightarrow 2 < 3$

Оценивание значения выражения

Оценить значение выражения - значит найти числа, между которыми оно заключено (найти его нижнюю и верхнюю границы). Это часто требуется в задачах на приближённые вычисления и в практических приложениях.

Алгоритм оценки выражения

Пошаговый алгоритм

Записать известные границы для переменных.
Выполнить с границами те же действия, что и в выражении.
При сложении и вычитании границы складываются и вычитаются.
При умножении и делении нужно учитывать знаки чисел.
Записать полученные границы в виде двойного неравенства.

Примеры оценки выражений

Пример 1: Оценка суммы

Известно, что $2 < a < 5$ и $3 < b < 7$ . Оценим значение выражения $a + b$ .

Решение:

$2 < a < 5$

$3 < b < 7$

Складываем неравенства почленно:

$2 + 3 < a + b < 5 + 7$

Ответ: $5 < a + b < 12$

Пример 2: Оценка произведения

Известно, что $2 < a < 5$ и $3 < b < 7$ . Оценим значение выражения $a \cdot b$ .

Решение:

$2 < a < 5$

$3 < b < 7$

Все числа положительные, поэтому умножаем почленно:

$2 \cdot 3 < a \cdot b < 5 \cdot 7$

Ответ: $6 < ab < 35$

Пример 3: Оценка разности

Известно, что $3 < a < 8$ и $1 < b < 4$ . Оценим значение выражения $a - b$ .

Решение:

$3 < a < 8$

$1 < b < 4$

Чтобы оценить $a - b$ , сначала оценим $-b$ :

$-4 < -b < -1$

Теперь сложим неравенства для $a$ и $-b$ :

$3 + (-4) < a + (-b) < 8 + (-1)$

$-1 < a - b < 7$

Ответ: $-1 < a - b < 7$

Пример 4: Оценка частного

Известно, что $4 < a < 12$ и $2 < b < 6$ . Оценим значение выражения $\dfrac{a}{b}$ .

Решение:

$4 < a < 12$

$2 < b < 6$

Чтобы оценить $\dfrac{a}{b}$ , сначала оценим $\dfrac{1}{b}$ :

$\dfrac{1}{6} < \dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{2}$

Теперь перемножим неравенства для $a$ и $\dfrac{1}{b}$ (все числа положительные):

$4 \cdot \dfrac{1}{6} < a \cdot \dfrac{1}{b} < 12 \cdot \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3} < \dfrac{a}{b} < 6$

Ответ: $\dfrac{2}{3} < \dfrac{a}{b} < 6$

Типичные ошибки при оценивании выражений

Ошибка 1: Умножение неравенств с отрицательными числами

Неправильно

$-2 < a < 1$ и $-3 < b < 4$

$(-2) \cdot (-3) < ab < 1 \cdot 4$

$6 < ab < 4$

(нельзя умножать с отрицательными числами)

Правильно

$-2 < a < 1$ и $-3 < b < 4$

Нужно рассматривать все комбинации границ:

$ab \in (-2 \cdot 4, 1 \cdot 4) \cup (-2 \cdot (-3), 1 \cdot 4)$

$-8 < ab < 4$

Ошибка 2: Неправильный порядок границ при делении

Неправильно

$2 < a < 5$

Оценим $\dfrac{1}{a}$ :

$2 < \dfrac{1}{a} < 5$

(перепутали границы)

Правильно

$2 < a < 5$

Оценим $\dfrac{1}{a}$ :

$\dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{2}$

(границы переворачиваются)

💡 Совет: При оценивании выражений всегда проверяйте знаки чисел. Если в выражении есть вычитание или деление, границы могут «переворачиваться» — будьте внимательны.

Применение в геометрии

Оценивание выражений часто используется в геометрических задачах для нахождения границ периметра, площади или других характеристик фигур.

Задача на оценку периметра и площади

Стороны прямоугольника: $3 < a < 5$ (длина), $2 < b < 4$ (ширина).

Оценим периметр:

$P = 2a + 2b$

$3 < a < 5 \Rightarrow 6 < 2a < 10$

$2 < b < 4 \Rightarrow 4 < 2b < 8$

$6 + 4 < 2a + 2b < 10 + 8$

$10 < P < 18$

Оценим площадь:

$S = a \cdot b$

$3 \cdot 2 < a \cdot b < 5 \cdot 4$

$6 < S < 20$

Тренажёры по сложению и умножению неравенств

На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения». Мы подготовили задания разного уровня сложности - от почленного сложения и умножения до сложных задач на оценку выражений.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку.

Особое внимание уделено отработке навыков оценки выражений с учётом знаков чисел - эти навыки необходимы для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ по математике. Начните тренироваться прямо сейчас!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы