<!--
Источник: Экзамео — образовательная платформа для подготовки к экзаменам.
Каноническая HTML-страница: https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/stepen-s-tselym-otritsatelnym-pokazatelem
Эта Markdown-версия предназначена для корректного цитирования, индексации и чтения AI-агентами.
Материал является авторским контентом Экзамео. Не используйте эту копию как самостоятельный источник для перепубликации.
-->

> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам.
>
> Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/stepen-s-tselym-otritsatelnym-pokazatelem](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/stepen-s-tselym-otritsatelnym-pokazatelem).
>
> При цитировании указывайте источник: Экзамео.

# Степень с целым отрицательным показателем

**Степень с целым отрицательным показателем** \- это важное понятие в алгебре 8 класса, которое расширяет известное вам определение степени\. Вы уже умеете возводить числа в натуральную степень\. А что делать, если показатель степени отрицательный? Оказывается, это просто и логично\. Степени с отрицательным показателем широко используются в науке, технике и при записи очень малых чисел \(например, размеров атомов\)\. На этой странице вы найдёте **всё, что нужно знать о степени с целым отрицательным показателем**: определение, примеры, типичные ошибки и практические задания\.

**Степень с целым отрицательным показателем** \- это запись вида $a^{-n}$, где $a \neq 0$, а $n$ — натуральное число\.

По определению: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, при $a \neq 0$\.

### Как появляется степень с отрицательным показателем

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/stepen-s-tselym-otritsatelnym-pokazatelem](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/stepen-s-tselym-otritsatelnym-pokazatelem).


Рассмотрим последовательность степеней числа 10:

$10^3, 10^2, 10^1, 10^0, \dots$

Каждый следующий показатель на 1 меньше предыдущего, а значение степени уменьшается в 10 раз:

$1000 \to 100 \to 10 \to 1 \to \dfrac{1}{10} \to \dfrac{1}{100} \to \dfrac{1}{1000} \to \dots$

Если продолжить эту закономерность, получаем:

$\dfrac{1}{10} = 10^{-1}$, $\dfrac{1}{100} = 10^{-2}$, $\dfrac{1}{1000} = 10^{-3}$, $\dots$

Это соглашение можно распространить на **любое число **$a \neq 0$\.

** Важно запомнить:** Степень с отрицательным показателем **всегда положительна**, если основание положительное\. Например, $10^{-24}$ \- это положительное число, равное $\dfrac{1}{10^{24}}$\.

### Примеры

**Пример 1:** $2^{-3}$

$2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$

**Пример 2:** $10^{-4}$

$10^{-4} = \dfrac{1}{10^4} = 0,0001$

**Пример 3:** $(-3)^{-2}$

$(-3)^{-2} = \dfrac{1}{(-3)^2} = \dfrac{1}{9}$

**Пример 4:** $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}$

$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{3} = \dfrac{27}{8}$

**Пример 5:** $(-2)^{-3}$

$(-2)^{-3} = \dfrac{1}{(-2)^3} = \dfrac{1}{-8} = -\dfrac{1}{8}$

### Как превратить дробь в степень с отрицательным показателем

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/stepen-s-tselym-otritsatelnym-pokazatelem](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/stepen-s-tselym-otritsatelnym-pokazatelem).


Любую дробь вида $\dfrac{1}{a^n}$ можно записать как степень с отрицательным показателем\.

### **Правило обращения дроби в степень**

$\dfrac{1}{a^n} = a^{-n}$, где $a \neq 0$

**Примеры:**

$\dfrac{1}{5^2} = 5^{-2}$

$\dfrac{1}{10^6} = 10^{-6}$

$\dfrac{1}{x^3} = x^{-3}$

### Свойства степени с отрицательным показателем

Все [Свойства степени с целым показателем](/subjects/math/topics/svoystva-stepeni-s-tselym-pokazatelem?course=math_grade_8) **сохраняются** и для степени с целым отрицательным показателем\.

### Типичные ошибки при работе с отрицательным показателем

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/stepen-s-tselym-otritsatelnym-pokazatelem](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/stepen-s-tselym-otritsatelnym-pokazatelem).


При работе со степенями с отрицательным показателем ученики часто допускают характерные ошибки\. Разберём их, чтобы избежать на контрольных работах и на ОГЭ\.

#### Ошибка 1: Путают знак основания и знак показателя

**Неправильно**

$(-2)^{-3} = \dfrac{1}{-8} = \dfrac{1}{8}$

\(потеряли знак минус\)

**Правильно**

$(-2)^{-3} = \dfrac{1}{(-2)^3} = \dfrac{1}{-8} = -\dfrac{1}{8}$

#### Ошибка 2: «Минус» в показателе переносят на основание

**Неправильно**

$2^{-3} = -2^3 = -8$

\(минус в показателе не делает основание отрицательным\)

**Правильно**

$2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$

\(минус в показателе означает «перевернуть дробь»\)

#### Ошибка 3: Неправильное возведение в степень дроби

**Неправильно**

$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$

\(не перевернули дробь\)

**Правильно**

$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2} = \dfrac{9}{4}$

\(дробь переворачивается\)

#### Ошибка 4: Забывают про скобки при отрицательном основании

**Неправильно**

$-3^{-2} = 9$

\(неправильно прочитали запись\)

**Правильно**

$-3^{-2} = -\dfrac{1}{3^2} = -\dfrac{1}{9}$

\(отрицательное основание должно быть в скобках\)

** Совет:** Запомните главное правило: $a^{-n}$ \- это **не** отрицательное число \(если $a > 0$\)\. Это просто способ записать дробь $\dfrac{1}{a^n}$\.

### Применение в науке и технике

Степени с отрицательным показателем активно используются для записи очень малых величин в теме [Стандартный вид числа](/subjects/math/topics/standartnyi_vid_chisla?course=math_grade_8)\.

### **Реальные примеры**

**Масса атома водорода:** примерно $1,67 \cdot 10^{-24}$ г
**Диаметр молекулы оливкового масла:** примерно $10^{-8}$ м
**Размер вируса:** примерно $10^{-7}$ м
**Приставки СИ:** милли — $10^{-3}$, микро — $10^{-6}$, нано — $10^{-9}$, пико — $10^{-12}$

## Тренажёры по степени с целым отрицательным показателем

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/stepen-s-tselym-otritsatelnym-pokazatelem](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/stepen-s-tselym-otritsatelnym-pokazatelem).


На платформе **Экзамео** вы найдёте множество **интерактивных тренажёров** по теме «Степень с целым отрицательным показателем»\. Мы подготовили задания разного уровня сложности — от вычислений до упрощения выражений\.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным **решением и объяснением**, что позволяет не просто получить ответ, но и **понять алгоритм выполнения**\. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку\.

Особое внимание уделено отработке навыков работы со свойствами степеней и преобразованию выражений — эти навыки необходимы для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ по математике\. Начните тренироваться прямо сейчас\!

---

## Условия использования материала

Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта.

Разрешено:

- использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала;
- цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео;
- использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации.

Не разрешено:

- копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории;
- выдавать материал Экзамео за собственный контент;
- удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника;
- использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео.

Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/stepen-s-tselym-otritsatelnym-pokazatelem](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/stepen-s-tselym-otritsatelnym-pokazatelem).