> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/svoystva-stepeni-s-tselym-pokazatelem](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/svoystva-stepeni-s-tselym-pokazatelem). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Свойства степени с целым показателем В 8 классе алгебры мы знакомимся с важным понятием \- **степень с целым показателем**\. Это продолжение темы Свойства степени с целым показателем Теперь показатель может быть не только натуральным числом, но и нулём, а также **отрицательным целым числом**\. Введение отрицательных показателей позволяет записывать очень маленькие числа в компактном виде и упрощает выполнение вычислений\. Данная тема широко используется как в школьном курсе, так и при решении заданий ОГЭ по математике\. **Свойства степени с целым показателем** являются естественным продолжением свойств степени с натуральным показателем\. Все знакомые вам правила умножения, деления и возведения в степень сохраняются, но теперь они работают для **любых целых показателей** \- положительных, отрицательных и нуля\. Это делает работу со степенями более универсальной и удобной\. ### Что такое степень с целым показателем > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/svoystva-stepeni-s-tselym-pokazatelem](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/svoystva-stepeni-s-tselym-pokazatelem). Прежде чем перейти к **свойствам степени с целым показателем**, давайте вспомним, что означает запись с отрицательным показателем\. Это ключевое понятие, на котором строится вся дальнейшая теория\. Если свойства степени с натуральным показателем обычно не вызывают вопросов \- то вот в заданиях с отрицательными степенями ученики 8 класса часто начинают путаться\. ### **Определение степени с целым показателем** Если $a \neq 0$ и $n$ — целое отрицательное число, то по определению: $\boldsymbol{a^n = \dfrac{1}{a^{-n}}}$ Другими словами, степень с отрицательным показателем равна дроби, в числителе которой стоит 1, а в знаменателе — та же степень, но уже с положительным показателем\. **Примеры:** $5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}$ $(-3)^{-4} = \dfrac{1}{(-3)^4} = \dfrac{1}{81}$ $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-3} = \dfrac{1}{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3} = -8$ **Важно запомнить:** Выражение $0^n$ **не имеет смысла** при целом отрицательном $n$ \(так же как и при $n = 0$\)\. На ноль делить нельзя\! ## Свойства степени с целым показателем > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/svoystva-stepeni-s-tselym-pokazatelem](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/svoystva-stepeni-s-tselym-pokazatelem). Все известные вам **свойства степени с натуральным показателем** сохраняются и для **степени с целым показателем**\. Единственное условие \- основание степени не должно равняться нулю \(для отрицательных показателей это принципиально\)\. ### Таблица свойств степени с целым показателем Ниже представлены **основные свойства степени с целым показателем**\. **Их нужно знать наизусть** \- они применяются в любых заданиях на преобразование выражений со степенями\. #### **№** #### **Свойство** #### **Формула** 1 Умножение степеней с одинаковыми основаниями $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ 2 Деление степеней с одинаковыми основаниями $a^m : a^n = a^{m-n}$ 3 Возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ 4 Степень произведения $(ab)^n = a^n b^n$ 5 Степень частного \(дроби\) $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ **Важное условие:** Все перечисленные **свойства степени с целым показателем** справедливы для $a \neq 0$ и любых целых $m$ и $n$\. ## Почему свойства степени с целым показателем работают **Свойства степени с целым показателем** можно доказать, используя определение степени с отрицательным показателем и уже известные вам **свойства степени с натуральным показателем**\. Рассмотрим доказательство на примере умножения степеней с отрицательными показателями\. Доказательство свойства умножения Пусть $k$ и $p$ — натуральные числа, а $a \neq 0$\. Докажем, что $a^{-k} \cdot a^{-p} = a^{-k-p}$ По определению степени с отрицательным показателем: $a^{-k} \cdot a^{-p} = \dfrac{1}{a^k} \cdot \dfrac{1}{a^p} = \dfrac{1}{a^{k+p}}$ А по тому же определению: $\dfrac{1}{a^{k+p}} = a^{-(k+p)}$ Следовательно, $a^{-k} \cdot a^{-p} = a^{-(k+p)} = a^{-k-p}$, что и требовалось доказать\. Аналогично доказываются и все остальные **свойства степени с целым показателем**\. Рассмотрим, как **свойства степени с целым показателем** применяются на практике при упрощении выражений\. Обратите внимание: теперь показатели могут быть **любыми целыми числами**, что значительно расширяет наши возможности\. ### **Пример 1\. Умножение степеней** > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/svoystva-stepeni-s-tselym-pokazatelem](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/svoystva-stepeni-s-tselym-pokazatelem). Преобразуем произведение $a^{-17} \cdot a^{21}$\. **Решение:** При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели складывают: $a^{-17} \cdot a^{21} = a^{-17 + 21} = a^{4}$ **Ответ:** $a^4$ ### **Пример 2\. Деление степеней** Преобразуем частное $b^2 : b^5$\. **Решение:** При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя: $b^2 : b^5 = b^{2 - 5} = b^{-3}$ **Ответ:** $b^{-3}$ **Важно:** Теперь ограничение, что показатель делимого должен быть не меньше показателя делителя, снимается\. Показатели могут быть **любыми целыми числами**\. ### **Пример 3\. Возведение произведения в степень** Упростим выражение $(2a^3b^{-5})^{-2}$\. **Решение:** Сначала применим свойство степени произведения, а затем — свойство возведения степени в степень: $(2a^3b^{-5})^{-2} = 2^{-2} \cdot (a^3)^{-2} \cdot (b^{-5})^{-2}$ $= \dfrac{1}{4} \cdot a^{-6} \cdot b^{10} = \dfrac{b^{10}}{4a^6}$ **Ответ:** $\dfrac{b^{10}}{4a^6}$ ### **Пример 4\. Комбинированное применение свойств** > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/svoystva-stepeni-s-tselym-pokazatelem](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/svoystva-stepeni-s-tselym-pokazatelem). Упростим выражение $\dfrac{x^{-3} \cdot x^7}{x^{-2}}$\. **Решение:** Сначала выполним умножение в числителе: $x^{-3} \cdot x^7 = x^{-3+7} = x^4$ Теперь выполним деление: $\dfrac{x^4}{x^{-2}} = x^{4 - (-2)} = x^{4+2} = x^6$ **Ответ:** $x^6$ ## Типичные ошибки при работе со степенями с целым показателем При применении **свойств степени с целым показателем** ученики 8 класса часто допускают характерные ошибки\. Разберём их, чтобы избежать на контрольных работах и на ОГЭ\. #### Ошибка 1: Неправильное определение знака при отрицательном показателе **Неправильно** $(-2)^{-3} = \dfrac{1}{-8} = \dfrac{1}{8}$ \(потеряли знак минус\) **Правильно** $(-2)^{-3} = \dfrac{1}{(-2)^3} = \dfrac{1}{-8} = -\dfrac{1}{8}$ #### Ошибка 2: Путаница в правилах умножения и деления **Неправильно** $a^5 : a^{-2} = a^{5-2} = a^3$ **Правильно** $a^5 : a^{-2} = a^{5-(-2)} = a^{5+2} = a^7$ #### Ошибка 3: Отрицательный показатель у нуля **Неправильно** $0^{-2} = \dfrac{1}{0^2} = \dfrac{1}{0}$ **Правильно** $0^{-2}$ **не имеет смысла\!** На ноль делить нельзя\. ## Тренажёры на свойства степени с целым показателем На платформе **Экзамео** вы найдёте множество **интерактивных тренажёров** по теме «Свойства степени с целым показателем»\. Все задания составлены на основе типовых задач из учебников алгебры 8 класса и сборников для подготовки к ОГЭ по математике\. Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным **решением и объяснением**, что позволяет не просто получить ответ, но и **понять алгоритм выполнения**\. Это особенно важно при подготовке к контрольным работам и к ОГЭ по математике\. ##### Где применяется степень с целым показателем **Степень с целым показателем** широко используется в науке и технике для записи очень маленьких чисел, особенно в теме [Стандартный вид числа](/subjects/math/topics/standartnyi_vid_chisla?course=math_grade_8)\. Такая запись часто используется в химии и физике\. Например, масса атома водорода равна примерно: $1,674 \cdot 10^{-24}$ г, что означает: $1,674\cdot10^{-24}=1,674\cdot\dfrac{1}{10^{24}}=0,000...01674$ Без использования **степени с целым показателем** такие числа было бы очень неудобно записывать и читать\. **Важно запомнить:** Все **свойства степени с целым показателем** работают так же, как и для натуральных показателей\. Главное \- внимательно следить за знаками показателей и помнить, что основание не должно равняться нулю\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/svoystva-stepeni-s-tselym-pokazatelem](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/svoystva-stepeni-s-tselym-pokazatelem).