> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema-o-kasatelnoy-i-sekushchey](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema-o-kasatelnoy-i-sekushchey). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Теорема о касательной и секущей \- теория и задачи На данной странице разберем** теорему о касательной и секущей для 8 класса**\. Это одна из фундаментальных метрических теорем раздела «Окружность», связывающая линейные размеры отрезков прямых, проведённых к окружности из одной внешней точки\. Ниже представлена строгая формулировка теоремы, доказательство через подобие треугольников, сводная таблица соотношений в окружности, алгоритм решения задач и[ ](#trenazher-teorema-o-kasatelnoy-i-sekuschey-8-klass-ekzameo)[[тренажёры ](#trenazher-teorema-o-kasatelnoy-i-sekuschey-8-klass-ekzameo)](#trenazher-teorema-o-kasatelnoy-i-sekuschey-8-klass-ekzameo)[с проверкой ответов и подробными решениями](#trenazher-teorema-o-kasatelnoy-i-sekuschey-8-klass-ekzameo)\. Знание теоремы о касательной и секущей и её следствия \(теоремы о двух секущих\) является обязательным для успешного выполнения контрольных работ 8 класса, решения геометрических заданий №16 в первой части ОГЭ по математике и задач второй части\. ## Формулировка теоремы о касательной и секущей > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema-o-kasatelnoy-i-sekushchey](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema-o-kasatelnoy-i-sekushchey). **Теорема о касательной и секущей:** если из точки $P$, лежащей вне окружности, проведены касательная $PA$ и секущая $PC$, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины всей секущей на длину её внешней части\. Математическая запись теоремы по чертежу: $$ PA^2 = PB \cdot PC $$  • **Отрезок касательной \(**$PA$**\):** отрезок прямой от внешней точки $P$ до точки касания $A$ на окружности\. • **Вся секущая \(**$PC$**\):** расстояние от внешней точки $P$ до дальней точки пересечения секущей с окружностью \($PC = PB + BC$, где $BC$ — длина внутренней хорды\)\. • **Внешняя часть секущей \(**$PB$**\):** отрезок секущей от внешней точки $P$ до первой \(ближней\) точки пересечения с окружностью $B$\. Теорему о касательной и секущей проще всего запоминать визуально, на рисунке эти отрезки выглядят следующим образом:  **Дано:** окружность; точка $P$ вне окружности; $PA$ — касательная \($A$ — точка касания\); прямая $PC$ — секущая, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$ \(точка $B$ лежит между $P$ и $C$\)\. **Доказать:** $PA^2 = PB \cdot PC$\. **Доказательство:** 1\. Проведём хорды $AB$ и $AC$\. Рассмотрим два треугольника: $\Delta PAB$ и $\Delta PCA$\. 2\. Угол при вершине $P$ является общим для обоих треугольников: $\angle APB = \angle CPA$\. 3\. Исследуем угол $\angle PAB$, образованный касательной $PA$ и хордой $AB$: • По теореме об угле между касательной и хордой, градусная мера угла $\angle PAB$ равна половине дуги окружности, заключённой внутри него: $\angle PAB = \dfrac{1}{2} \smile AB$\. • Угол $\angle PCA$ \(или $\angle BCA$\) является вписанным углом, опирающимся на ту же самую дугу $AB$\. По теореме о вписанном угле: $\angle PCA = \dfrac{1}{2} \smile AB$\. • Следовательно, углы равны: $\angle PAB = \angle PCA$\. 4\. Треугольники $\Delta PAB$ и $\Delta PCA$ имеют два соответственно равных угла \($\angle P$ — общий, $\angle PAB = \angle PCA$\)\. По первому признаку подобия треугольников: $$ \Delta PAB \sim \Delta PCA $$ 5\. Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон \(лежащих против равных углов\): $$ \dfrac{PA}{PC} = \dfrac{PB}{PA} $$ 6\. Применим основное свойство пропорции \(произведение крайних членов равно произведению средних\): $$ PA \cdot PA = PB \cdot PC \implies PA^2 = PB \cdot PC $$ Теорема полностью доказана\.  #### **Теорема о двух секущих \(следствие\):** Если из точки $P$ к окружности проведены две секущие $PBC$ и $PDE$, то произведения длин секущих на их внешние части равны: $$ PB \cdot PC = PD \cdot PE $$  Благодаря теореме о касательной и секущей вводится понятие степени точки, которое используется в усложненных задачах по геометрии и может встречаться например на ЕГЭ по математике или усложненных пробных вариантах ОГЭ в 9 классе\. **Понятие степени точки:** Произведение длины всей секущей на её внешнюю часть не зависит от наклона секущей и является постоянной величиной для данной точки $P$ и данной окружности\. Если расстояние от точки $P$ до центра окружности равно $d$, а радиус равен $R$, то $PA^2 = PB \cdot PC = d^2 - R^2$\. ### Соотношения отрезков в окружности В курсе 8 класса изучаются четыре ключевые теоремы о произведениях отрезков, связанных с окружностью, каждая из которых используется в своем случае\. Все они будут встречаться не только на самостоятельных работах в 8 классе, но и на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ, а так же на ВПР\. ##### Теорема ##### Положение точки P ##### Расчётная формула ##### Геометрический смысл **Касательная и секущая** Вне окружности $PA^2 = PB \cdot PC$ Квадрат отрезка касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть\. **Две секущие** Вне окружности $PB \cdot PC = PD \cdot PE$ Произведения секущих на их внешние части равны для любых секущих из одной точки\. **Пересекающиеся хорды** Внутри окружности $AP \cdot PB = CP \cdot PD$ Произведения отрезков пересекающихся хорд равны между собой\. **Две касательные** Вне окружности $PA_1 = PA_2$ Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны между собой\. #### Где встречаются задачи на касательную и секущую Теорема о касательной и секущей входит в открытый банк ФИПИ ОГЭ и ЕГЭ по математике, а так же встречается в самостоятельных и контрольных работах в 8–9 классах: ##### Задание 16 ОГЭ \(Часть 1\) Базовые задачи на прямое применение формулы в 1–2 действия: нахождение длины касательной $PA$ по известным отрезкам секущей $PB$ и $PC$, поиск внутренней хорды $BC$ или радиуса окружности\. ##### Задание 23 ОГЭ \(Часть 2, повышенная сложность\) Геометрические расчётные задачи с развёрнутым решением: комбинация теоремы о секущих со свойствами биссектрисы, вписанными углами и подобием треугольников\. ##### Контрольные работы 8 класса Тематические проверочные работы по главе «Окружность» и «Подобие треугольников»: вывод формулы через подобие, нахождение неизвестных отрезков и составление квадратных уравнений\. ##### Задание 25 ОГЭ и олимпиадная геометрия Олимпиадные задачи высокого уровня: применение концепции степени точки относительно окружности и радикальной оси для доказательства принадлежности четырёх точек одной окружности\. ### Алгоритм решения задач на касательную и секущую > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema-o-kasatelnoy-i-sekushchey](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema-o-kasatelnoy-i-sekushchey). При решении геометрических задач на касательную и секущую ключевой момент — правильно определить границы всех отрезков\. Самая распространённая ошибка школьников состоит в умножении внешней части секущей на её внутреннюю хорду вместо всей длины секущей\. Всегда начинайте решение с аккуратного чертежа и явного обозначения отрезков\. **Определите общую внешнюю точку:** найдите на чертеже точку $P$, из которой выходят касательная и секущая прямые\. **Определите отрезок касательной \(**$PA$**\):** зафиксируйте отрезок от точки $P$ до точки касания $A$\. Если эта величина неизвестна, обозначьте её за переменную $x$\. **Выделите внешнюю часть и найдите всю секущую:** обозначьте ближнюю точку пересечения с окружностью как $B$, а дальнюю как $C$\. Запишите внешнюю часть $PB$ и обязательно сложите отрезки для получения всей секущей: $PC = PB + BC$\. **Составьте алгебраическое уравнение:** запишите соотношение $PA^2 = PB \cdot PC$ \(или $PB \cdot PC = PD \cdot PE$ для двух секущих\) и подставьте в него числовые данные и переменные\. **Решите уравнение и проверьте геометрический смысл:** решите полученное линейное или квадратное уравнение\. Отрицательные корни отбросьте, так как длина отрезка строго положительна \($x > 0$\), и запишите итоговый ответ\. ### Задачи на теорему о касательной и секущей с пошаговыми решениями Ниже приведены подробные эталоны решений пяти типовых задач, охватывающих программу геометрии 8 класса и КИМы ОГЭ по математике\. **Условие:** Из точки $P$ к окружности проведены касательная $PA$ \($A$ — точка касания\) и секущая $PC$, проходящая через точку $B$ на окружности\. Внешняя часть секущей $PB = 4\text{ см}$, а внутренняя хорда $BC = 5\text{ см}$\. Найдите длину отрезка касательной $PA$\. **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём длину всей секущей \(**$PC$**\):** Секущая состоит из внешней части $PB$ и внутренней хорды $BC$: $$ PC = PB + BC = 4 + 5 = 9\text{ см} $$ 2\) **Применим теорему о касательной и секущей:** $$ PA^2 = PB \cdot PC $$ 3\) **Подставим числовые значения:** $$ PA^2 = 4 \cdot 9 = 36 $$ 4\) Так как длина отрезка положительна \($PA > 0$\): $$ PA = \sqrt{36} = 6\text{ см} $$ **Ответ:** $6\text{ см}$\. **Условие:** Из точки $P$ к окружности проведены касательная $PA = 8\text{ см}$ и секущая $PC$, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$\. Внешняя часть секущей $PB = 4\text{ см}$\. Найдите длину хорды $BC$, заключённой внутри окружности\. **Пошаговое решение:** 1\) **Запишем формулу теоремы о касательной и секущей:** $$ PA^2 = PB \cdot PC $$ 2\) **Подставим известные величины \(**$PA = 8, PB = 4$**\):** $$ 8^2 = 4 \cdot PC \implies 64 = 4 \cdot PC $$ 3\) **Найдём длину всей секущей \(**$PC$**\):** $$ PC = \dfrac{64}{4} = 16\text{ см} $$ 4\) **Вычислим длину внутренней хорды \(**$BC$**\):** Так как $PC = PB + BC$, выразим длину хорды вычитанием: $$ BC = PC - PB = 16 - 4 = 12\text{ см} $$ **Ответ:** $12\text{ см}$\. **Условие:** Из точки $P$ к окружности проведены две секущие: первая пересекает окружность в точках $B$ и $C$ \($PB = 3$, $BC = 9$\), а вторая — в точках $D$ и $E$ \($PD = 4$\)\. Найдите длину хорды $DE$\. **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём длину всей первой секущей \(**$PC$**\):** $$ PC = PB + BC = 3 + 9 = 12 $$ 2\) **Применим теорему о двух секущих, проведённых из одной точки:** $$ PB \cdot PC = PD \cdot PE $$ 3\) **Подставим известные значения и найдём всю вторую секущую \(**$PE$**\):** $$ 3 \cdot 12 = 4 \cdot PE \implies 36 = 4 \cdot PE $$ $$ PE = \dfrac{36}{4} = 9 $$ 4\) **Найдём длину хорды **$DE$**:** $$ DE = PE - PD = 9 - 4 = 5 $$ **Ответ:** $5$\. **Условие:** Из точки $P$ к окружности проведена касательная $PA = 12\text{ см}$ и секущая $PC$, проходящая через центр окружности $O$ и пересекающая её в точках $B$ и $C$\. Внешняя часть секущей равна $PB = 8\text{ см}$\. Найдите радиус этой окружности\. **Пошаговое решение:** 1\) **Обозначим радиус окружности через **$R$**:** Секущая проходит через центр $O$, значит, внутренняя хорда $BC$ является диаметром окружности: $$ BC = 2R $$ 2\) Внешняя часть секущей $PB = 8\text{ см}$\. Тогда вся секущая равна: $$ PC = PB + BC = 8 + 2R $$ 3\) **Запишем уравнение по теореме о касательной и секущей:** $$ PA^2 = PB \cdot PC \implies 12^2 = 8 \cdot (8 + 2R) $$ $$ 144 = 64 + 16R $$ 4\) **Решим линейное уравнение относительно **$R$**:** $$ 16R = 144 - 64 \implies 16R = 80 $$ $$ R = \dfrac{80}{16} = 5\text{ см} $$ *\(Геометрическая проверка: отрезок от точки *$P$* до центра равен *$PO = PB + R = 8 + 5 = 13\text{ см}$*\. В прямоугольном треугольнике *$\Delta PAO$* катеты *$PA = 12$* и радиус *$OA = R = 5$*, гипотенуза *$PO = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\text{ см}$* — теорема Пифагора выполняется\)*\. **Ответ:** $5\text{ см}$\. **Условие:** Из точки $P$ к окружности проведены касательная $PA = 6$ и секущая $PC$, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$\. Внутренняя хорда $BC$ равна $5$\. Найдите длину всей секущей $PC$\. **Пошаговое решение:** 1\) **Введём переменную:** Пусть длина внешней части секущей $PB = x$ \($x > 0$\)\. Так как хорда $BC = 5$, вся секущая равна: $$ PC = PB + BC = x + 5 $$ 2\) **Применим теорему о касательной и секущей:** $$ PA^2 = PB \cdot PC \implies 6^2 = x \cdot (x + 5) $$ $$ 36 = x^2 + 5x \implies x^2 + 5x - 36 = 0 $$ 3\) **Решим квадратное уравнение:** По теореме Виета корни уравнения: $$ x_1 = 4, \quad x_2 = -9 $$ 4\) Так как длина геометрического отрезка не может быть отрицательной, корень $x = -9$ не подходит по смыслу задачи\. Следовательно, длина внешней части секущей равна $PB = 4$\. 5\) **Вычислим длину всей секущей \(**$PC$**\):** $$ PC = PB + BC = 4 + 5 = 9 $$ **Ответ:** $9$\. ### Типичные ошибки при применении теоремы При решении задач на касательную и секущую восьмиклассники чаще всего допускают следующие четыре ошибки: ##### Умножение внешней части на внутреннюю Записывают формулу как $PA^2 = PB \cdot BC$, умножая внешнюю часть на хорду\. В формуле участвует **вся длина секущей целиком**: $PA^2 = PB \cdot PC$, где $PC = PB + BC$\. ##### Потеря квадрата касательной Ошибочно пишут линейное равенство: $PA = PB \cdot PC$\. Отрезок касательной входит в теорему строго во **второй степени**: $PA^2 = PB \cdot PC$, поэтому для нахождения $PA$ обязательно извлекают квадратный корень\. ##### Путаница теоремы секущих с теоремой о хордах Применяют формулу $PB \cdot PC = PD \cdot PE$ для точки $P$, лежащей внутри круга\. Для точки внутри круга работает **теорема о пересекающихся хордах**, где точка $P$ делит каждую хорду на два отрезка\. В теореме о секущих точка $P$ обязана лежать строго вне окружности\. ##### Подстановка хорды вместо всей секущей Зная $PB = 3$ и $PC = 12$, ошибочно считают длину хорды равной $12$\. Отрезок $PC$ — это вся секущая от точки $P$ до дальней границы\. Внутренняя хорда равна разности: $BC = PC - PB = 12 - 3 = 9$\. ## Задания на теорему о касательной и секущей для 8 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema-o-kasatelnoy-i-sekushchey](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema-o-kasatelnoy-i-sekushchey). Тренажёры по теме «Теорема о касательной и секущей» содержат подборку практических заданий за 8 класс из самостоятельных и контрольных работ, школьных учебников по геометрии и открытого банка задач ОГЭ по математике\. Для каждого задания вы найдёте подробные решения и автоматическую проверку ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema-o-kasatelnoy-i-sekushchey](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema-o-kasatelnoy-i-sekushchey).