> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema-pifagora](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema-pifagora). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Теорема Пифагора — разбор, свойства, формулы и задачи На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме **«Теорема Пифагора» по геометрии для 8 класса**\. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот учебный материал в формате подробного понятного разбора: от базовых понятий и геометрического доказательства до вывода частных формул, исторических фактов, межпредметных связей и анализа типовых задач из ВПР и ОГЭ\. Теорема Пифагора — фундаментальная основа всей школьной геометрии\. В 8 классе она будет использоваться практически в каждой теме, после того, как вы её пройдете, а на ОГЭ по математике входит в обязательные **Задания №15 и №18** первой части, а также применяется в задачах повышенной сложности **№23, №24 и №25**\. ## Формулировка теоремы Пифагора для 8 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema-pifagora](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema-pifagora). Теорема Пифагора связывает между собой длины сторон **прямоугольного треугольника** — треугольника, у которого один из углов равен $90^\circ$\. **1\. Катеты \(**$a$** и **$b$**\)** — стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол\. **2\. Гипотенуза \(**$c$**\)** — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла\.  #### Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: $$ a^2 + b^2 = c^2 $$ Из основной формулы легко выразить любую неизвестную сторону прямоугольного треугольника: **• Нахождение гипотенузы \(**$c$**\):** $$ c = \sqrt{a^2 + b^2} $$ **• Нахождение неизвестного катета \(**$a$** или **$b$**\):** $$ a = \sqrt{c^2 - b^2} \quad \text{и} \quad b = \sqrt{c^2 - a^2} $$ #### Важное замечание\! При вычитании под корнем всегда вычитается квадрат катета из квадрата **гипотенузы** \(самой большой стороны\)\. Ошибка в знаке или порядок вычитания — самая частая причина потери баллов в ОГЭ\! ### Пифагоровы тройки и Египетский треугольник **Пифагоровы тройки** — это наборы из трёх натуральных чисел $(a, b, c)$, удовлетворяющих уравнению $a^2 + b^2 = c^2$\. Знание этих наборов позволяет решать задачи первой части ОГЭ и ВПР мгновенно без возведения в квадрат и извлечения корней\! Самая известная тройка — **Египетский треугольник** со сторонами $3, 4, 5$\. Любой треугольник с пропорциями сторон $3:4:5$ гарантированно является прямоугольным\. ##### Базовая тройка \(a, b, c\) ##### Умноженная тройка \(k = 2\) ##### Частота в ОГЭ / ВПР **3, 4, 5** \(Египетский\) 6, 8, 10 / 9, 12, 15 Самая частая \(до 60% задач\) **5, 12, 13** 10, 24, 26 Очень частая \(в ромбах и трапециях\) **8, 15, 17** 16, 30, 34 Встречается в Задании №15 **7, 24, 25** 14, 48, 50 Встречается в окружностях и хордах Мы настоятельно рекомендуем запомнить хотя бы первую тройку \- она будет постоянно встречаться в геометрических и физических задачах и зная её вы будете экономить очень много времени на вычислениях\. Более того, зная Пифагоровы тройки вы сможете определять прямоугольные треугольники просто зная стороны ### Применение теоремы Пифагора в геометрических фигурах > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema-pifagora](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema-pifagora). Благодаря теореме Пифагора выведены важнейшие готовые формулы геометрии, которые ускоряют решение задач: ##### 1\. Диагональ квадрата 🔲 В квадрате со стороной $a$ диагональ $d$ делит его на два прямоугольных равнобедренных треугольника: $$ d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \implies d = a\sqrt{2} $$ ##### 2\. Высота равностороннего треугольника 🔺 Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ делит основание пополам \($a/2$\): $$ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2} $$ ##### 3\. Диагонали ромба 🔶 Диагонали ромба $d_1$ и $d_2$ пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам: $$ \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2 $$ ##### 4\. Расстояние между точками в координатах 📍 Расстояние $d$ между точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ на плоскости — гипотенуза треугольника с катетами $|x_2 - x_1|$ и $|y_2 - y_1|$: $$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$ ## Обратная теорема Пифагора Прямая теорема позволяет по двум катетам найти гипотенузу\. Обратная же теорема помогает определить, является ли произвольный треугольник прямоугольным\. #### Обратная теорема Пифагора: Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон \($c^2 = a^2 + b^2$\), то этот треугольник является прямоугольным, а сторона $c$ — его гипотенузой\. В 8 классе вам будут встречаться достаточно сложные задачи в курсе геометрии, где более сложные факты будут доказываться на основании того, что треугольник прямоугольный по обратной теореме Пифагора\. #### Как определить вид треугольника по трем сторонам? Пусть $c$ — наибольшая сторона треугольника со сторонами $a, b, c$\. Сравнив $c^2$ с суммой $a^2 + b^2$, можно определить вид треугольника: ##### Остроугольный 📐 Если $c^2 < a^2 + b^2$, то все углы треугольника острые \($< 90^\circ$\)\. ##### Прямоугольный 🎯 Если $c^2 = a^2 + b^2$, то угол напротив стороны $c$ равен $90^\circ$\. ##### Тупоугольный ⚠️ Если $c^2 > a^2 + b^2$, то угол напротив стороны $c$ тупой \($> 90^\circ$\)\. #### Как появилась теорема Пифагора? Теорема Пифагора имеет богатейшую историю и находит широчайшее применение в других школьных предметах и реальной жизни\. ##### История и Древний Египет 🏛️ Хотя теорема носит имя древнегреческого учёного Пифагора Самосского \(VI в\. до н\.э\.\), соотношение сторон $3-4-5$ знали в Древнем Вавилоне, Индии и Древнем Египте за 1000 лет до него\. Египетские натягиватели веревок \(«гарпедонапты»\) использовали веревку с 12 равными узлами для построения идеальных прямых углов при возведении пирамид\. ##### Физика и Векторы ⚡ В 9–11 классах на уроках физики теорема Пифагора применяется для расчета модуля вектора перемещения, равнодействующей силы и скорости: $$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$ Любая проекция вектора на оси координат разлагается на катеты прямоугольного треугольника\! #### Пифагоровы штаны По традиции в 8 классе школьники запоминают наглядное доказательство через шутливую поговорку: ***«Пифагоровы штаны во все стороны равны»***\. Это связано с тем, что чертёж, на котором на сторонах прямоугольного треугольника строятся внешние квадраты, визуально напоминает покрой мужских брюк\. ##### Пошаговый алгоритм применения теоремы Пифагора Чтобы не допускать ошибок в контрольных работах 8 класса и на ОГЭ, придерживайтесь четкого алгоритма: ### Порядок действий: **Найдите или постройте прямоугольный треугольник:** убедитесь, что в фигуре есть прямой угол \($90^\circ$\)\. При необходимости проведите высоту или достройте до прямоугольного треугольника\. **Идентифицируйте гипотенузу и катеты:** строго определите, какая сторона лежит напротив прямого угла \(гипотенуза $c$\), а какие прилежат к нему \(катеты $a$ и $b$\)\. **Составьте равенство **$a^2 + b^2 = c^2$**:** подставьте известные значения сторон\. Проверьте возможность применения Пифагоровых троек для упрощения расчетов\. **Вычислите неизвестное и извлеките квадратный корень:** выразите нужную величину и убедитесь, что гипотенуза получилась строго больше любого из катетов\. #### Разбор типовых задач на теорему Пифагора Ниже приведены подробные решения задач, аналогичных контрольным работам за 8 класс и официальным прототипам из открытого банка ФИПИ\. **Задание:** Диагонали ромба равны $12$ и $16$\. Найдите периметр ромба\. **Подробное решение:** 1\) По свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам\. 2\) Диагонали делят ромб на 4 равных прямоугольных треугольника\. Катеты одного такого треугольника равны половине диагоналей: $$ a_{\text{кат}} = 12 : 2 = 6, \quad b_{\text{кат}} = 16 : 2 = 8 $$ 3\) Сторона ромба $a_{\text{ромб}}$ является гипотенузой в этом прямоугольном треугольнике\. По теореме Пифагора: $$ a_{\text{ромб}} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $$ *\(Замечание: здесь сработала Пифагорова тройка *$3-4-5$*, увеличенная в *$2$* раза: *$6-8-10$*\)*\. 4\) Периметр ромба равен сумме четырёх его равных сторон: $$ P = 4 \cdot a_{\text{ромб}} = 4 \cdot 10 = 40 $$ **Ответ:** $40$\. **Задание:** На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображены точки $A$ и $B$\. Точка $A$ смещена относительно $B$ на $9$ клеток по горизонтали и на $12$ клеток по вертикали\. Найдите расстояние между точками $A$ и $B$\. **Подробное решение:** 1\) Достроим отрезок $AB$ до прямоугольного треугольника $ABC$, проведя катеты по линиям сетки\. 2\) Горизонтальный катет $AC = 9$, вертикальный катет $BC = 12$\. 3\) Искомое расстояние $AB$ является гипотенузой этого треугольника\. Применяем теорему Пифагора: $$ AB^2 = AC^2 + BC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 $$ 4\) Извлекаем квадратный корень: $$ AB = \sqrt{225} = 15 $$ **Ответ:** $15$\. ## Тренажёры по теме «Теорема Пифагора» для 8 класса на Экзамео > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema-pifagora](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema-pifagora). Закрепите теорию на практике с помощью онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все задания составлены строго по требованиям ФГОС и соответствуют прототипам из открытого банка заданий ФИПИ\. В базе представлены задачи разного уровня сложности с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми решениями для самостоятельной подготовки к контрольным работам в 8 классе и ОГЭ\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema-pifagora](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema-pifagora).