> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_o_bissektrise](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_o_bissektrise). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Теорема о биссектрисе треугольника На этой странице представлен исчерпывающий теоретический и практический справочник по теме **«Теорема о биссектрисе треугольника» по геометрии для 8 класса**\. Методисты образовательной платформы Экзамео разработали этот материал, чтобы помочь восьмиклассникам досконально понять одно из главных пропорциональных свойств треугольника, научиться доказывать теорему о биссектрисе и без ошибок решать геометрические задачи из самостоятельных и контрольных работ\. Теорема о биссектрисе — фундаментальное правило геометрии 8 класса, связывающее углы и пропорциональные отрезки сторон\. Это свойство регулярно используется при решении сложных задач на подобие треугольников и подготовка к экзаменам\. ## Свойство биссектрисы треугольника > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_o_bissektrise](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_o_bissektrise). Рассмотрите формулировку ключевой теоремы, пропорциональное соотношение отрезков и подробное математическое доказательство\. ### Формулировка теоремы о биссектрисе треугольника **Биссектриса угла треугольника** делит противоположную сторону на отрезки, **пропорциональные прилежащим сторонам** треугольника\.  #### Математическая запись пропорции: Если $BL$ — биссектриса треугольника $\triangle ABC$, то выполняется равенство: $$ \dfrac{AL}{LC} = \dfrac{AB}{BC} \quad \text{или} \quad \dfrac{AL}{AB} = \dfrac{LC}{BC} $$ *\(Отрезок противоположной стороны относится к прилежащей боковой стороне так же, как второй отрезок относится ко второй боковой стороне\)\.* **Доказательство \(через отношение площадей\):** 1\) Пусть $BL$ — биссектриса угла $B$ в $\triangle ABC$\. Проведём высоты $h_1$ и $h_2$ из точки $L$ к сторонам $AB$ и $BC$\. Так как точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла, то $h_1 = h_2 = h$\. 2\) Выразим отношение площадей треугольников $\triangle ABL$ и $\triangle CBL$ двумя способами: • С одной стороны, треугольники $\triangle ABL$ и $\triangle CBL$ имеют общую высоту, проведённую из вершины $B$ к прямой $AC$\. Значит, отношение их площадей равно отношению оснований: $$ \dfrac{S_{\triangle ABL}}{S_{\triangle CBL}} = \dfrac{AL}{LC} $$ • С другой стороны, площади этих же треугольников можно записать через высоты $h$, опущенные из точки $L$ на стороны $AB$ и $BC$: $$ \dfrac{S_{\triangle ABL}}{S_{\triangle CBL}}=\dfrac{\frac{1}{2} AB \cdot h}{\frac{1}{2} BC \cdot h}=\dfrac{AB}{BC} $$ 3\) Приравнивая левые части, получаем: $\dfrac{AL}{LC} = \dfrac{AB}{BC}$\. Теорема доказана\. Чтобы не перепутать отрезки при составлении пропорции, пользуйтесь простыми правилами: #### Правило «Каждому отрезку — своя сторона» 💡 Запомните: **левый отрезок относится к левой стороне так же, как правый отрезок относится к правой стороне\!** Если основание разделено в отношении $2 : 3$, то и боковые стороны треугольника относятся как $2 : 3$ \(то есть стороны можно обозначить как $2x$ и $3x$\)\. ### Разбор решения задач на теорему о биссектрисе за 8 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_o_bissektrise](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_o_bissektrise). Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии на теорему о биссектрисе треугольника в 8 классе\. **Задание:** В треугольнике $ABC$ стороны равны $AB = 10\text{ см}$, $BC = 15\text{ см}$, $AC = 20\text{ см}$\. Из вершины $B$ проведена биссектриса $BD$\. Найдите длины отрезков $AD$ и $DC$\. **Подробное решение:** 1\) По теореме о биссектрисе треугольника: $\dfrac{AD}{DC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$\. 2\) Пусть отрезок $AD = 2x\text{ см}$, тогда $DC = 3x\text{ см}$\. 3\) Так как весь отрезок $AC = AD + DC = 20\text{ см}$, составим уравнение: $2x + 3x = 20 \implies 5x = 20 \implies x = 4$\. 4\) Найдем длины отрезков: $AD = 2 \cdot 4 = 8\text{ см}$; $DC = 3 \cdot 4 = 12\text{ см}$\. **Ответ:** $AD = 8\text{ см}$, $DC = 12\text{ см}$\. **Задание:** Биссектриса $AD$ треугольника $ABC$ делит сторону $BC$ на отрезки $BD = 6\text{ см}$ и $CD = 9\text{ см}$\. Найдите сторону $AB$, если сторона $AC = 12\text{ см}$\. **Подробное решение:** 1\) По теореме о биссектрисе треугольника: $\dfrac{BD}{CD} = \dfrac{AB}{AC}$\. 2\) Подставим известные значения из условия: $\dfrac{6}{9} = \dfrac{AB}{12}$\. 3\) Выразим $AB$ по основному свойству пропорции: $AB = \dfrac{6 \cdot 12}{9} = \dfrac{72}{9} = 8\text{ см}$\. **Ответ:** $AB = 8\text{ см}$\. ## Тренажёры по теме «Теорема о биссектрисе» на Экзамео Закрепите теорему о биссектрисе треугольника и пропорциональные отрезки на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные карточки и проверочные тесты по теме **«Теорема о биссектрисе треугольника» за 8 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии\. К каждому заданию вы найдете подробное решение, которое поможет разобраться в теме и понять ошибки --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_o_bissektrise](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_o_bissektrise).