<!--
Источник: Экзамео — образовательная платформа для подготовки к экзаменам.
Каноническая HTML-страница: https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_obratnaya_teoreme_pifagora
Эта Markdown-версия предназначена для корректного цитирования, индексации и чтения AI-агентами.
Материал является авторским контентом Экзамео. Не используйте эту копию как самостоятельный источник для перепубликации.
-->

> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам.
>
> Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_obratnaya_teoreme_pifagora](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_obratnaya_teoreme_pifagora).
>
> При цитировании указывайте источник: Экзамео.

# Обратная теорема Пифагора: формула, признак и задачи

На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме **«Теорема, обратная теореме Пифагора» по геометрии для 8 класса**\. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический материал с наглядными формулировками, строгим доказательством, пифагоровыми тройками, понятием египетского треугольника и подробным разбором типовых задач из самостоятельных, контрольных работ и ОГЭ\.

Обратная теорема Пифагора — это главный **признак прямоугольного треугольника** в школьной планиметрии\. В отличие от прямой теоремы \(которая вычисляет неизвестную сторону в уже прямоугольном треугольнике\), обратная теорема позволяет доказать, что угол треугольника равен $90^\circ$, зная только длины трёх его сторон\.

## Обратная теорема Пифагора

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_obratnaya_teoreme_pifagora](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_obratnaya_teoreme_pifagora).


Ниже подробно разобраны формулировка теоремы, её математическое доказательство через равенство треугольников и таблица пифагоровых троек\.

### Формулировка обратной теоремы Пифагора для 8 класса

#### Теорема, обратная теореме Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник является прямоугольным\.

$c^2 = a^2 + b^2 \implies \angle C = 90^\circ$

Прямой угол $90^\circ$ всегда лежит **напротив наибольшей стороны** $c$, которая в таком треугольнике становится гипотенузой\.

**Доказательство:**

1\) Пусть дан треугольник $ABC$, для сторон которого выполняется равенство $AB^2 = AC^2 + BC^2$\. Докажем, что угол $\angle C = 90^\circ$\.

2\) Построим вспомогательный прямоугольный треугольник $A_1B_1C_1$ с прямым углом $\angle C_1 = 90^\circ$, у которого катеты равны катетам исходного треугольника: $A_1C_1 = AC$ и $B_1C_1 = BC$\.

3\) По прямой теореме Пифагора для треугольника $A_1B_1C_1$ найдем гипотенузу: $A_1B_1^2 = A_1C_1^2 + B_1C_1^2 = AC^2 + BC^2$\.

4\) Но по условию $AC^2 + BC^2 = AB^2$\. Следовательно, $A_1B_1^2 = AB^2 \implies A_1B_1 = AB$\.

5\) Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны по трём сторонам \($AC = A_1C_1$, $BC = B_1C_1$, $AB = A_1B_1$\)\. Из равенства треугольников следует равенство их углов: $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$\. Теорема доказана\.

#### Египетский треугольник и пифагоровы тройки

**Пифагоровы тройки** — это наборы из трёх натуральных чисел $a, b, c$, удовлетворяющие равенству $a^2 + b^2 = c^2$\. По обратной теореме Пифагора треугольник с такими длинами сторон всегда прямоугольный\.

• **Египетский треугольник** — прямоугольный треугольник со сторонами $3, 4, 5$\. Это самая известная пифагорова тройка \($3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$\)\.

Таблица наиболее частых пифагоровых троек для быстрых вычислений:

##### Катет $a$

##### Катет $b$

##### Гипотенуза $c$

##### Проверка равенства

**3**

**4**

**5**

$9 + 16 = 25$

**5**

**12**

**13**

$25 + 144 = 169$

**8**

**15**

**17**

$64 + 225 = 289$

**7**

**24**

**25**

$49 + 576 = 625$

**9**

**40**

**41**

$81 + 1600 = 1681$

#### Полезное свойство подобия\! 💡

Если каждую сторону пифагорова треугольника умножить на одно и то же число $k$, получим новый прямоугольный треугольник\!
Например, умножив тройку $(3, 4, 5)$ на $2$, получим $(6, 8, 10)$, на $3$ — $(9, 12, 15)$, на $10$ — $(30, 40, 50)$\. Все эти треугольники гарантированно прямоугольные\!

#### Применение в строительстве и разметке углов

Свойство египетского треугольника используется строителями с древнейших времен до наших дней для построения точного прямого угла $90^\circ$ прямо на земле без угольника\.

##### Построение прямого угла на местности 🏗️

Чтобы заложить фундамент дома под прямым углом, строители берут верёвку с $12$ равными узелками, связывают её в кольцо и натягивают на колышках со сторонами в $3$, $4$ и $5$ делений\. Образовавшийся угол между сторонами $3$ и $4$ будет **строго равен **$90^\circ$\.

##### Проверка ровности стен и плитки 📐

При укладке плитки или монтаже гипсокартона мастера отмеряют от угла по стенам $60\text{ см}$ и $80\text{ см}$\. Если расстояние между отметками по диагонали ровно $100\text{ см}$ \($1\text{ м}$\), значит, стены сходятся под идеальным прямым углом\!

#### Пошаговый алгоритм проверки треугольника на прямоугольность

При решении задач на проверку прямоугольности треугольника за 8 класс придерживайтесь алгоритма:

### Порядок действий:

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_obratnaya_teoreme_pifagora](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_obratnaya_teoreme_pifagora).


**Найдите наибольшую сторону треугольника:** обозначьте ее за $c$ \(предполагаемая гипотенуза\)\. Две другие стороны обозначьте за $a$ и $b$ \(предполагаемые катеты\)\.

**Вычислите квадрат наибольшей стороны:** найдите значение $c^2$\.

**Вычислите сумму квадратов двух меньших сторон:** найдите $a^2 + b^2$\.

**Сравните результаты:**
\- Если $c^2 = a^2 + b^2$, то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник **прямоугольный** \(угол против стороны $c$ равен $90^\circ$\)\.
\- Если $c^2 \neq a^2 + b^2$, то треугольник **не является прямоугольным**\.

##### Разбор типовых задач из контрольных работ и ОГЭ

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных, контрольных работ за 8 класс и экзамена ОГЭ по геометрии\.

**Задание:** Является ли прямоугольным треугольник со сторонами $9\text{ см}$, $12\text{ см}$ и $15\text{ см}$?

**Подробное решение:**

1\) Наибольшая сторона равна $c = 15\text{ см}$\. Две другие стороны $a = 9\text{ см}$, $b = 12\text{ см}$\.

2\) Находим квадрат наибольшей стороны:
$c^2 = 15^2 = 225$

3\) Находим сумму квадратов двух других сторон:
$a^2 + b^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$

4\) Сравниваем: $c^2 = a^2 + b^2$ \($225 = 225$\)\.
По теореме, обратной теореме Пифагора, данный треугольник является прямоугольным\.

**Ответ:** да, треугольник прямоугольный\.

**Задание:** В треугольнике $ABC$ стороны равны $10\text{ см}$, $24\text{ см}$ и $26\text{ см}$\. Найдите его площадь и высоту, проведённую к наибольшей стороне\.

**Подробное решение:**

1\) Проверим прямоугольность треугольника по обратной теореме Пифагора:
Наибольшая сторона $c = 26\text{ см}$\.
$c^2 = 26^2 = 676$\.
$a^2 + b^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$\.
Так как $26^2 = 10^2 + 24^2$, треугольник $ABC$ — прямоугольный с катетами $10\text{ см}$ и $24\text{ см}$ и гипотенузой $26\text{ см}$\.

2\) Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению катетов:  
   $S = \dfrac{1}{2} a \cdot b = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 \text{ см}^2$

3\) С другой стороны, площадь треугольника равна полупроизведению гипотенузы на высоту $h_c$:  
   $S = \dfrac{1}{2} c \cdot h_c \implies 120 = \dfrac{1}{2} \cdot 26 \cdot h_c \implies 13 h_c = 120 \implies h_c = \dfrac{120}{13} = 9\dfrac{3}{13} \text{ см}$

**Ответ:** $S = 120\text{ см}^2$; $h_c = 9\dfrac{3}{13}\text{ см}$\.

## Тренажёры по обратной теореме Пифагора на Экзамео

Закрепите теорему, обратную теореме Пифагора, на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные задания, карточки с пифагоровыми тройками и проверочные тесты по теме **«Теорема, обратная теореме Пифагора» за 8 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии\.

---

## Условия использования материала

Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта.

Разрешено:

- использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала;
- цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео;
- использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации.

Не разрешено:

- копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории;
- выдавать материал Экзамео за собственный контент;
- удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника;
- использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео.

Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_obratnaya_teoreme_pifagora](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_obratnaya_teoreme_pifagora).