> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_varinona](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_varinona). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Теорема Вариньона \- 8 класс В этом разделе разбирается теорема Вариньона — одна из ключевых тем в планиметрии 8 класса\. Приведены доказательство, основные следствия и свойства параллелограмма, образованного серединами сторон четырёхугольника\. Отдельное внимание уделено применению теоремы при решении задач на нахождение периметров и площадей\. Материал ориентирован на подготовку к проверочным работам и ОГЭ\. Сначала разберем теорию, а затем вы сможете отработать теорему Вариньона на тренажерах с подробными решениями, а так же можете составить варианты самостоятельных работ для занятий по геометрии\. ## Теоретический справочник: всё про теорему Вариньона > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_varinona](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_varinona). Ниже приведены точная формулировка теоремы, строгий вывод через теорему о средней линии треугольника и ключевые свойства получаемой фигуры\. ### Формулировка теоремы Вариньона Середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма \(называемого **параллелограммом Вариньона**\)\. Четырёхугольник может быть выпуклым, невыпуклым и даже самопересекающимся\!  На рисунке ABCD \- произвольный четырехугольник, точка K \- середина AB, L \- середина BC, M \- середина DC, N \- середина AD, KLMN \- параллелограмм Вариньона #### Доказательство теоремы Вариньона для 8 класса **Доказательство:** 1\) Пусть $ABCD$ — произвольный выпуклый четырёхугольник, а точки $K, L, M, N$ — середины его сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно\. 2\) Проведём диагональ $AC$ исходного четырёхугольника\. 3\) В треугольнике $\triangle ABC$ отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$\. Следовательно, по теореме о средней линии треугольника: $KL \parallel AC \quad \text{и} \quad KL = \dfrac{1}{2} AC$\. 4\) В треугольнике $\triangle ADC$ отрезок $MN$ соединяет середины сторон $CD$ и $DA$\. По теореме о средней линии треугольника: $MN \parallel AC \quad \text{и} \quad MN = \dfrac{1}{2} AC$\. 5\) Из пунктов \(3\) и \(4\) получаем, что отрезки $KL$ и $MN$ равны и параллельны одной и той же прямой $AC$: $KL \parallel MN \quad \text{и} \quad KL = MN$\. 6\) По признаку параллелограмма \(если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны\), четырёхугольник $KLMN$ является **параллелограммом**\. Теорема полностью доказана\! #### Свойства параллелограмма Вариньона Из доказательства теоремы вытекают два замечательных метрических свойства, которые можно использовать при решении задач по геометрии, в том числе на самостоятельных работах в 8 классе и на экзаменах: #### Метрические свойства: 1\. **Периметр параллелограмма Вариньона:** Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника: $$ P_{KLMN} = AC + BD $$ 2\. **Площадь параллелограмма Вариньона:** Площадь параллелограмма Вариньона ровно в $2$ раза меньше площади исходного четырёхугольника: $$ S_{KLMN} = \dfrac{1}{2} S_{ABCD} $$ ##### Частные случаи параллелограмма Вариньона Вид полученного параллелограмма $KLMN$ напрямую зависит от свойств диагоналей исходного четырёхугольника $ABCD$: ##### Условие для диагоналей $ABCD$ ##### Параллелограмм Вариньона $KLMN$ ##### Примеры исходных фигур Диагонали **перпендикулярны** \($AC \perp BD$\) Является **прямоугольником** Ромб, дельтоид Диагонали **равны** \($AC = BD$\) Является **ромбом** Прямоугольник, равнобедренная трапеция Диагонали **равны и перпендикулярны** \($AC = BD, AC \perp BD$\) Является **квадратом** Квадрат, равнобедренная трапеция с перпендикулярными диагоналями #### Лайфхак для олимпиад и ОГЭ\! 💡 Запомните дуальность: • Середины сторон **ромба** всегда образуют **прямоугольник**\. • Середины сторон **прямоугольника** всегда образуют **ромб**\. • Середины сторон **равнобедренной трапеции** всегда образуют **ромб**\! ### Разбор типовых задач с теоремой Вариньона из контрольных работ за 8 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_varinona](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_varinona). **Задание:** Диагонали четырёхугольника $ABCD$ равны $14\text{ см}$ и $18\text{ см}$\. Найдите периметр четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника\. **Подробное решение:** 1\) По теореме Вариньона четырёхугольник, образованный серединами сторон любого четырёхугольника, является параллелограммом\. 2\) По свойству параллелограмма Вариньона его периметр равен сумме длин диагоналей исходного четырёхугольника: $P = AC + BD$\. 3\) Подставим данные из условия длины диагоналей: $P = 14 + 18 = 32\text{ см}$\. **Ответ:** $32\text{ см}$\. **Задание:** Площадь параллелограмма, образованного серединами сторон четырёхугольника $ABCD$, равна $25\text{ см}^2$\. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$\. **Подробное решение:** 1\) По свойству площади параллелограмма Вариньона его площадь равна половине площади исходного четырёхугольника: $S_{\text{вар}} = \dfrac{1}{2} S_{ABCD}$\. 2\) Выразим площадь исходного четырёхугольника $S_{ABCD}$: $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\text{вар}}$\. 3\) Вычислим площадь: $S_{ABCD} = 2 \cdot 25 = 50\text{ см}^2$\. **Ответ:** $50\text{ см}^2$\. ## Тренажёры по теме «Теорема Вариньона» на Экзамео Закрепить изученный материал можно с помощью интерактивных тренажёров на платформе «Экзамео»\. Задания по теме «Теорема Вариньона» для 8 класса составлены на основе учебников по геометрии и соответствуют ФГОС\. Доступны задачи различных уровней сложности с автоматической проверкой и полными решениями\. Тренажёры помогут отработать навыки и подготовиться к контрольным работам\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_varinona](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_varinona).