> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_vieta](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_vieta). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Теорема Виета 8 класс \- тренажеры и примеры В этом разделе подробно разбирается одна из самых красивых тем **алгебры 8 класса — «Теорема Виета»**\. Этот метод позволяет быстро находить корни квадратного уравнения устно, не прибегая к громоздким вычислениям через дискриминант, а также составлять квадратные уравнения по заданным корням и решать сложные олимпиадные задачи, в том числе и параметрические\. Здесь собрана вся ключевая теория 8 класса: прямой и обратный варианты теоремы, формулы для приведённого и общего квадратного уравнения, удобный алгоритм устного подбора знаков и корней, а также разбор характерных примеров из самостоятельных и контрольных работ\. Отработать решение квадратных уравнений на теорему Виета можно после теории в интерактивных тренажёрах с подробными решениями и подсказками\. ## Теорема Виета для общего квадратного уравнения > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_vieta](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_vieta). Если квадратное уравнение записано в общем виде $ax^2 + bx + c = 0$ \(где $a \neq 0$\), его всегда можно привести к приведенному виду, разделив обе части на старший коэффициент $a$ \($x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0$\)\. В таком и только таком случае можно применять теорему Виета\. #### Общая формула теоремы Виета: Для любого квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, имеющего корни $x_1$ и $x_2$: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \\[8pt] x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \end{cases} $$ Важно отметить, что в таком варианте квадратных уравнений чаще всего ребята решают при помощи формулы дискриминанта, так как корни будут скорее всего дробные, а их подбирать значительно тяжелее #### Важное условие: *Теорема Виета справедлива только тогда, когда квадратное уравнение имеет корни, то есть его дискриминант неотрицателен: *$D \geqslant 0$ ### Теорема Виета для приведённого квадратного уравнения Квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, у которого старший коэффициент равен единице \($a = 1$\), называется **приведённым**\. Именно для таких уравнений чаще всего применяется устный подбор по теореме Виета\. #### Формулировка теоремы Виета 🎯 Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену\. $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases} $$ Эта теорема напрямую связывает коэффициенты уравнения с его корнями\. Если вы её освоите, то сможете мгновенно «угадывать» ответы, не тратя время на вычисление дискриминанта и громоздкие формулы\. Нужно понимать, что теорема Виета это ваш помощник, если у вас не получается подобрать быстро корни не мучайтесь, просто решайте через дискриминант, но при изучении этой темы мы настоятельно рекомендуем нарешать устно большое количество уравнений, которые доступны в тренажерах, чтобы запомнить как работает подбор корней\. #### Лайфхаки для быстрого устного счёта корней квадратного уравнения\! ##### 1\. **Начинайте всегда с произведения \(**$q$**\)\!** Раскладывайте модуль свободного члена на множители, а затем проверяйте, какая пара при сложении даёт значение $-p$\. ##### 2\. **Свойства коэффициентов \(частные случаи\):** Если $a + b + c = 0$, то один из корней всегда $x_1 = 1$, а второй $x_2 = \dfrac{c}{a}$\. Если $a - b + c = 0$, то один из корней всегда $x_1 = -1$, а второй $x_2 = -\dfrac{c}{a}$\. #### Обратная теорема Виета Для решения задач на составление уравнений и подбора корней используется обратное утверждение: #### Обратная теорема Виета 🎯 Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма равна $-p$, а произведение равно $q$, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$\. Эта сторона теоремы чаще всего используется учителями для быстрого составления квадратных уравнений на уроках по алгебре\. ### Правило определения знаков корней > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_vieta](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_vieta). Чтобы не путаться в знаках при устном подборе, анализируйте свободный член $q$ и второй коэффициент $p$, это же поможет вам проверять решенные квадратные уравнения и ещё сильнее ускорит решение квадратных уравнений\. ##### Знак свободного члена \(q\) ##### Знаки корней ##### Правило подбора $q > 0$ \(положительный\) Корни имею **одинаковые знаки** \(оба $+$, либо оба $-$\)\. Если $p < 0$ $\implies$ оба корня положительны \($+$\); Если $p > 0$ $\implies$ оба корня отрицательны \($-$\)\. $q < 0$ \(отрицательный\) Корни имеют **разные знаки** \(один $+$, один $-$\)\. Больший по модулю корень имеет знак, **противоположный** знаку коэффициента $p$\. ### Пошаговый алгоритм подбора корней При устном решении квадратных уравнений по теореме Виета придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Убедитесь, что уравнение приведённое:** если $a \neq 1$, разделите все члены уравнения на $a$ или используйте общую формулу\. **Выпишите систему Виета:** найдите значение суммы $x_1 + x_2 = -p$ и произведения $x_1 \cdot x_2 = q$\. **Подберите пары множителей:** разложите свободный член $q$ на целочисленные множители и подберите пару, дающую требуемую сумму $-p$\. ## Тренажёры с квадратными уравнениями на теорему Виета для 8 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_vieta](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_vieta). Отработать навык быстрого подбора корней и применения **теоремы Виета в 8 классе** можно с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров на платформе «Экзамео»\. К каждому уравнению вы найдете подробное объяснение подбора корней и проверку по дискриминанту\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_vieta](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/teorema_vieta).