> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tretiy-priznak-podobiya-treugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tretiy-priznak-podobiya-treugolnikov). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Третий признак подобия треугольников На данной странице мы подробно разберем **третий признак подобия треугольников** — последний из трёх основных признаков, которые изучаются в **геометрии 8 класса**\. Этот признак позволяет доказывать подобие треугольников, используя всего **три стороны**, без необходимости искать углы или проверять пропорциональность двух сторон\. **Третий признак подобия треугольников — это самый надёжный способ доказать подобие**, когда известны длины всех сторон треугольников\. Если вы поймете, как доказывается этот признак и почему он работает, вам будет легко применять его в задачах любой сложности, в том числе на **ОГЭ по математике**\. ## Третий признак подобия треугольников > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tretiy-priznak-podobiya-treugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tretiy-priznak-podobiya-treugolnikov). ### Теорема о третьем признаке подобия ### **Формулировка теоремы** > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tretiy-priznak-podobiya-treugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tretiy-priznak-podobiya-treugolnikov). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны\.  Условия теоремы $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{CA}{C_1A_1}$ Следовательно $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ ### Доказательство третьего признака подобия Рассмотрим** доказательство третьего признака подобия**, которое опирается на **первый признак подобия**, **второй признак подобия** и **признаки равенства треугольников**\. #### **Дано** Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых стороны пропорциональны: $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{CA}{C_1A_1}$  #### **Доказать** $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ #### **Доказательство** Для того чтобы доказать подобие треугольников, достаточно, используя **второй признак подобия**, доказать, что $\angle A = \angle A_1$\. **Шаг 1\. Построение вспомогательного треугольника** Рассмотрим треугольник $ABC_2$, у которого: $\angle 1 = \angle A_1$ $\angle 2 = \angle B_1$ Треугольники $ABC_2$ и $A_1B_1C_1$ **подобны по первому признаку** \(по двум углам\)\. Следовательно: $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC_2}{B_1C_1} = \dfrac{C_2A}{C_1A_1}$ **Шаг 2\. Сравнение с условием** По условию теоремы: $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{CA}{C_1A_1}$ Сравнивая эти равенства с равенствами из шага 1, получаем: $BC = BC_2$, $CA = C_2A$ **Шаг 3\. Равенство треугольников** Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны **по трём сторонам**: $AB$ — общая сторона $BC = BC_2$ \(доказано выше\) $CA = C_2A$ \(доказано выше\) Из равенства треугольников следует: $\angle A = \angle 1$ А так как $\angle 1 = \angle A_1$ \(по построению\), то: $\angle A = \angle A_1$ #### **Вывод** Таким образом, мы доказали, что $\angle A = \angle A_1$\. Теперь проверим условие **второго признака подобия**: $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$ — верно по условию \(из пропорциональности трёх сторон\) $\angle A = \angle A_1$ — доказано Следовательно, по **второму признаку подобия**: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ Теорема **доказана**\. **Третий признак подобия — самый универсальный**, потому что для его применения не нужно знать ни одного угла\. Достаточно просто **измерить все три стороны** и проверить их пропорциональность\. Это особенно полезно в задачах, где: Даны длины всех сторон треугольников Углы найти сложно или невозможно Нужно проверить подобие без дополнительных построений Выбор признака зависит от того, **какие данные даны в задаче**\. ### Примеры применения третьего признака подобия #### 📌 Пример 1: Треугольники с известными сторонами Стороны треугольника $ABC$: $AB = 6$, $BC = 8$, $CA = 10$\. Стороны треугольника $A_1B_1C_1$: $A_1B_1 = 3$, $B_1C_1 = 4$, $C_1A_1 = 5$\. $\dfrac{6}{3} = \dfrac{8}{4} = \dfrac{10}{5} = 2$ По **третьему признаку** $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$\. #### 📌 Пример 2: Равносторонние треугольники Сторона первого равностороннего треугольника $a = 5$\. Сторона второго равностороннего треугольника $b = 10$\. $\dfrac{5}{10} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ По **третьему признаку** все равносторонние треугольники подобны\. **💡 Важное замечание:** Третий признак подобия очень похож на **третий признак равенства треугольников**\. Но в отличие от равенства, здесь стороны должны быть **пропорциональны**, а не равны\. Если коэффициент пропорциональности $k = 1$, то треугольники не просто подобны, а **равны**\. ## Тренажёры для отработки третьего признака подобия треугольников > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tretiy-priznak-podobiya-treugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tretiy-priznak-podobiya-treugolnikov). На платформе **Экзамео** доступны тренажёры, которые помогают довести навыки применения **третьего признака подобия треугольников** до автоматизма\. Каждый тренажёр содержит задачи на **доказательство подобия по трём сторонам и использования его в решении с подробными разборами** для подготовки к контрольным работам в 8 классе и к ОГЭ по математике\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tretiy-priznak-podobiya-treugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tretiy-priznak-podobiya-treugolnikov).