> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/trigonometriya-v-pryamougolnom-treugolnike](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/trigonometriya-v-pryamougolnom-treugolnike). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Тригонометрия \- понятный разбор и задачи с решениями В этом разделе подробно рассматривается **тригонометрия в прямоугольном треугольнике** — одна из важнейших и наиболее практичных тем курса **геометрии 8 класса**\. Раздел «тригонометрия 8 класс» связывает градусные меры острых углов прямоугольного треугольника со соотношениями его сторон \(катетов и гипотенузы\), позволяя находить любые элементы фигуры алгебраическим путем\. Здесь собрана вся ключевая теория, которая входит в школьную программу и проверочные материалы: определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, основные **тригонометрия формулы 8 класс**, удобная таблица тригонометрических значений для основных углов с лайфхаками для её мгновенного запоминания, а также разбор решений типовых **задач на тригонометрию 8 класс**\. Понимание этой темы необходимо для успешного выполнения контрольных работ и сдачи ОГЭ по математике\. Отработать тему тригонометрия в прямоугольном треугольнике можно после теории в интерактивных тренажёрах с подробными решениями\. ## Теоретический справочник: тригонометрия 8 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/trigonometriya-v-pryamougolnom-treugolnike](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/trigonometriya-v-pryamougolnom-treugolnike). Ниже приведены определения, формулы, таблица значений и зависимости, образующие тему тригонометрия геометрии 8 класс\. ### Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ \(противолежащий катет для угла $\alpha$\), $b$ \(прилежащий катет для угла $\alpha$\) и гипотенузой $c$\.  #### Определения тригонометрических функций острого угла • **Синусом** острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: $$ \sin \alpha = \dfrac{a}{c} = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $$ • **Косинусом** острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: $$ \cos \alpha = \dfrac{b}{c} = \dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $$ • **Тангенсом** острого угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету: $$ \mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{a}{b} = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} $$ • **Котангенсом** острого угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету: $$ \mathrm{ctg}\,\alpha = \dfrac{b}{a} = \dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} $$ ### Таблица значений тригонометрических функций для углов $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/trigonometriya-v-pryamougolnom-treugolnike](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/trigonometriya-v-pryamougolnom-treugolnike).  Значения тригонометрических функций для основных углов постоянно встречаются в задачах по геометрии и на контрольных работах в 8 классе\. Однако на ОГЭ по математике очень мала вероятность, что нужно будет использовать именно табличные значения\. #### Функция / Угол #### 30° #### 45° #### 60° $\sin \alpha$ $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos \alpha$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{1}{2}$ $\mathrm{tg}\,\alpha$ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 1 $\sqrt{3}$ $\mathrm{ctg}\,\alpha$ $\sqrt{3}$ 1 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ Однако в самом начале изучения тригонометрии в прямоугольном треугольнике проще не запоминать таблицу, а выучить как её заполнять \- это намного проще\. #### Как быстро запомнить таблицу углов за 1 минуту\! 1\. **Правило синуса \(счёт от 1 до 3\):** Запомните, что у синуса для углов $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ в знаменателе всегда стоит $2$, а в числителе — корень из порядка угла: $\dfrac{\sqrt{1}}{2} = \dfrac{1}{2}$, $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$\. 2\. **Косинус — это синус наоборот:** Запишите строчку синуса в обратном порядке: $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\dfrac{1}{2}$\. 3\. **Тангенс = Синус / Косинус:** Чтобы найти тангенс, делите числитель синуса на числитель косинуса: • для $30^\circ \implies \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$; • для $45^\circ \implies \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$; • для $60^\circ \implies \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$\. ### Основные тригонометрические формулы 8 класса Изучая блок **тригонометрия формулы 8 класс**, важно выучить ключевые соотношения между функциями одного и того же угла и углов, дополняющих друг друга до $90^\circ$: #### Ключевые формулы и тождества: 1\. **Основное тригонометрическое тождество:** $$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $$ 2\. **Связь тангенса и котангенса с синусом и косинусом:** $$ \mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \mathrm{ctg}\,\alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, \quad \mathrm{tg}\,\alpha \cdot \mathrm{ctg}\,\alpha = 1 $$ 3\. **Формулы приведения для углов, дополняющих до **$90^\circ$**:** $$ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha, \quad \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha $$ ### Важные свойства тригонометрических функций Поскольку катет прямоугольного треугольника всегда строго меньше гипотенузы \($a < c$ и $b < c$\), значения синуса и косинуса любого острого угла **всегда лежат в интервале от **$0$** до **$1$: $$ 0 < \sin \alpha < 1, \quad 0 < \cos \alpha < 1 $$ Значения тангенса и котангенса острого угла могут принимать абсолютно любые положительные значения \($> 0$\)\. ### Пошаговый алгоритм решения задач > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/trigonometriya-v-pryamougolnom-treugolnike](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/trigonometriya-v-pryamougolnom-treugolnike). При решении **задач на тригонометрию 8 класс** придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Выделите угол и стороны:** установите, какой катет является противолежащим к данному углу, а какой — прилежащим\. **Выберите функцию:** подберите формулу \(синус, косинус или тангенс\), связывающую известный элемент и искомую сторону\. **Вычислите неизвестную сторону:** выразите искомую величину из пропорции или тождества и запишите ответ\. ### Разбор задач для подготовки к контрольной работе Рассмотрите решения характерных прототипов задач, входящих в **контрольные работы по тригонометрии за 8 класс**\. **Задание:** В прямоугольном треугольнике синус острого угла $\alpha$ равен $\dfrac{3}{5}$\. Найдите $\cos \alpha$ и $\mathrm{tg}\,\alpha$\. **Подробное решение:** 1\) Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25} $$ 2\) Так как $\alpha$ — острый угол прямоугольного треугольника, $\cos \alpha > 0$: $$ \cos \alpha = \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8 $$ 3\) Найдем тангенс угла $\alpha$ по формуле отношения синуса к косинусу: $$ \mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75 $$ **Ответ:** $\cos \alpha = 0{,}8$, $\mathrm{tg}\,\alpha = 0{,}75$\. **Задание:** В прямоугольном треугольнике $ABC$ \($\angle C = 90^\circ$\) гипотенуза $AB = 10\text{ см}$, а острый угол $\angle A = 30^\circ$\. Найдите катеты $BC$ и $AC$\. **Подробное решение:** 1\) По определению синуса $\sin A = \dfrac{BC}{AB} \implies BC = AB \cdot \sin 30^\circ$\. По таблице $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$: $$ BC = 10 \cdot \dfrac{1}{2} = 5\text{ см} $$ 2\) По определению косинуса $\cos A = \dfrac{AC}{AB} \implies AC = AB \cdot \cos 30^\circ$\. По таблице $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$: $$ AC = 10 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\text{ см} $$ **Ответ:** $BC = 5\text{ см}$, $AC = 5\sqrt{3}\text{ см}$\. ## Тренажёры по теме «Тригонометрия в прямоугольном треугольнике» на Экзамео > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/trigonometriya-v-pryamougolnom-treugolnike](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/trigonometriya-v-pryamougolnom-treugolnike). Подготовиться к самостоятельным и **контрольным работам по тригонометрии в 8 классе** можно с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров на образовательной платформе «Экзамео»\. В нашем банке собраны сотни практических заданий на вычисление синуса, косинуса, тангенса, использование таблицы углов и применение тригонометрических формул, составленных строго в соответствии с требованиями ФГОС и ФОП \(по учебникам Атанасяна, Погорелова, Мерзляка\)\. Интерактивная система автоматически проверяет ответы в реальном времени и показывает подробные решения с чертежами к каждому заданию\. Занимайтесь на **Экзамео** в комфортном темпе, осваивайте тригонометрию и получайте только отличные оценки за контрольные работы45 --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/trigonometriya-v-pryamougolnom-treugolnike](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/trigonometriya-v-pryamougolnom-treugolnike).