> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tseloe_ratsionalnoe_uravnenie](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tseloe_ratsionalnoe_uravnenie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Целое рациональное уравнение \- теория и тренажёры \| 8 класс **Целое рациональное уравнение** \- это уравнение, в котором левая и правая части являются **целыми выражениями**, то есть не содержат деления на выражение с переменной\. Такие уравнения включают в себя линейные, квадратные и уравнения более высоких степеней\. На этой странице вы узнаете, как их определять и решать, используя различные методы\. В 8 классе вы уже научились решать линейные и квадратные уравнения\. Целые рациональные уравнения \- это следующий шаг: они могут иметь степень 3, 4 и выше\. Но не пугайтесь, их решение сводится к уже известным вам методам: разложению на множители, замене переменной и другим\. **Целое рациональное уравнение** \- это уравнение вида $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — целые рациональные выражения\. Целые выражения \- это выражения из чисел и переменных, которые составлены с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля\. ### Что такое целое рациональное уравнение > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tseloe_ratsionalnoe_uravnenie](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tseloe_ratsionalnoe_uravnenie). Разберёмся с определением, чтобы отличать целые уравнения от других видов\. ### **Определение** **Целым рациональным уравнением** называется уравнение, левая и правая части которого являются **целыми рациональными выражениями**\. Это означает, что в уравнении **нет деления на выражение, содержащее переменную**\. Если такое деление есть, уравнение является **дробно\-рациональным**\. **Примеры целых рациональных уравнений:** $3x - 5 = 7$ — линейное уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$ — квадратное уравнение $2x^3 - x^2 + 5x - 1 = 0$ — уравнение третьей степени $(x - 2)^2 - 5(x - 2) + 6 = 0$ — целое уравнение с заменой переменной $x^4 - 9x^2 + 18 = 0$ — биквадратное уравнение **Контрпример \(дробно\-рациональное уравнение\):** $\dfrac{x}{x - 2} + \dfrac{3}{x + 1} = 1$ — здесь есть деление на выражение с переменной $x$ **📌 Важно запомнить:** Ключевой признак целого уравнения \- **отсутствие переменной в знаменателе**\. Если переменная есть в знаменателе \- это дробно\-рациональное уравнение\. ### Степень целого уравнения > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tseloe_ratsionalnoe_uravnenie](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tseloe_ratsionalnoe_uravnenie). Каждое целое уравнение имеет свою **степень**\. Это важно, так как степень уравнения определяет, сколько корней оно может иметь и какие методы решения применять\. ### **Определение степени уравнения** **Степенью целого уравнения** называется старшая\(самая большая\) степень многочлена в левой части уравнения, записанного в стандартном виде $P(x) = 0$\. **Примеры:** $3x - 5 = 0$ — уравнение **первой** степени \(линейное\) $x^2 - 4x + 3 = 0$ — уравнение **второй** степени \(квадратное\) $x^3 - 2x^2 + 5x - 1 = 0$ — уравнение **третьей** степени \(кубическое\) $x^4 - 9x^2 + 18 = 0$ — уравнение **четвёртой** степени \(биквадратное\) **Важное свойство:** Уравнение $n$\-й степени имеет **не более **$n$** корней**\. ### Методы решения целых рациональных уравнений Для решения целых уравнений используют несколько основных методов\. Выбор метода зависит от вида уравнения\. Идея метода: представить многочлен в левой части уравнения в виде произведения множителей\. Тогда уравнение сводится к совокупности уравнений более низких степеней\. **Способы разложения:** 1\. Вынесение общего множителя за скобки 2\. Применение формул сокращённого умножения 3\. Способ группировки 4\. Использование теоремы Безу \- подробно разобрали на странице темы [Корни многочлена\. Теорема Безу\. Схема Горнера](/theory/math_grade_8/korni-mnogochlena-teorema-bezu-shema-gornera) **Пример:** $x^3 - 4x = 0$ $x(x^2 - 4) = 0$ $x(x - 2)(x + 2) = 0$ Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$ Этот метод позволяет свести сложное уравнение к более простому путём введения новой переменной\. **Пример 1:** $(x - 2)^2 - 5(x - 2) + 6 = 0$ Пусть $t = x - 2$\. Тогда: $t^2 - 5t + 6 = 0$ $t_1 = 2$, $t_2 = 3$ Обратная замена: $x - 2 = 2 \Rightarrow x = 4$ $x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5$ **Ответ:** $x_1 = 4$, $x_2 = 5$ **Пример 2:** $(x^2 - 7)^2 - 4(x^2 - 7) - 45 = 0$ Пусть $t = x^2 - 7$\. Тогда: $t^2 - 4t - 45 = 0$ $t_1 = 9$, $t_2 = -5$ Обратная замена: $x^2 - 7 = 9 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm4$ $x^2 - 7 = -5 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$ **Ответ:** $x = \pm4$, $x = \pm\sqrt{2}$ #### Биквадратные уравнения Биквадратное уравнение — это частный случай целого уравнения четвёртой степени\. **Определение\.** Уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \neq 0$, называется **биквадратным**\. **Алгоритм решения:** Ввести замену $t = x^2$ \(тогда $t \ge 0$\)\. Решить полученное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$\. Для каждого корня $t_i \ge 0$ решить уравнение $x^2 = t_i$\. **Пример:** $x^4 - 9x^2 + 18 = 0$ Пусть $t = x^2$, $t \ge 0$\. $t^2 - 9t + 18 = 0$ $t_1 = 3$, $t_2 = 6$ $x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$ $x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm\sqrt{6}$ **Ответ:** $x = \pm\sqrt{3}$, $x = \pm\sqrt{6}$ ### Подбор целых корней многочлена > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tseloe_ratsionalnoe_uravnenie](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tseloe_ratsionalnoe_uravnenie). При решении целых уравнений высших степеней часто помогает **теорема о целых корнях многочлена**\. ### **Теорема о целых корнях** Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет **целые корни**, то они являются **делителями свободного члена** этого уравнения\. **Пример:** Для уравнения $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$ свободный член равен 3\. Делители 3: $\pm1, \pm3$\. Проверяем: $x = 1$: $1 - 3 - 1 + 3 = 0$ \- корень\! Значит, $x = 1$ \- корень уравнения\. Затем можно разделить многочлен на $(x - 1)$ и получить квадратное уравнение для нахождения остальных корней\. **💡 Совет:** Теорема о целых корнях значительно **сокращает перебор** возможных корней при решении уравнений высших степеней\. Всегда начинайте с делителей свободного члена\. ### Целые уравнения в ОГЭ Целые рациональные уравнения входят в задания ОГЭ по математике\. Чаще всего это 20ые задания из второй части, в которых может быть и биквадратное уравнение и уравнения с заменой переменной: ### **Типы заданий из ОГЭ** > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tseloe_ratsionalnoe_uravnenie](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tseloe_ratsionalnoe_uravnenie). **Биквадратные уравнения:** $x^4 - 9x^2 + 18 = 0$ **Уравнения с заменой переменной:** $(x^2 - 7)^2 - 4(x^2 - 7) - 45 = 0$ **Уравнения, сводящиеся к квадратным** ### Примеры решения целых уравнений Решим уравнение $x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$\. **Решение:** Разложим левую часть на множители способом группировки: $x^2(x + 1) - 4(x + 1) = 0$ $(x + 1)(x^2 - 4) = 0$ $(x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0$ Корни: $x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$ $x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$ $x + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$ **Ответ:** $-2, -1, 2$ Решим уравнение $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$\. **Решение:** Делители свободного члена 3: $\pm1, \pm3$\. $x = 1$: $1 - 3 - 1 + 3 = 0$ — корень\. Разделим $x^3 - 3x^2 - x + 3$ на $(x - 1)$: $(x - 1)(x^2 - 2x - 3) = 0$ $x^2 - 2x - 3 = 0$ $x_1 = 3$, $x_2 = -1$ **Ответ:** $-1, 1, 3$ ### Типичные ошибки при решении целых уравнений Ошибки при решении уравнений чаще всего возникают при использовании не равносильных переходов \(подробнее о них в теме: [Равносильные уравнения\. Уравнение\-следствие\.](/subjects/math/topics/ravnosilnye-uravneniya-uravnenie-sledstvie?course=math_grade_8)\) #### Ошибка 1: Потеря корней при сокращении **Неправильно** $x^2 = 4x$ $x = 4$ \(сократили на $x$ и потеряли корень $x = 0$\) **Правильно** $x^2 = 4x$ $x^2 - 4x = 0$ $x(x - 4) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = 4$ #### Ошибка 2: Путаница между целыми и дробно\-рациональными уравнениями **Неправильно** $\dfrac{x}{x - 2} + 3 = 0$ считают целым уравнением \(есть деление на $x - 2$\) **Правильно** $\dfrac{x}{x - 2} + 3 = 0$ — это **дробно\-рациональное** уравнение Целое уравнение: $x + 3(x - 2) = 0$ \(после умножения на знаменатель, но с учётом ОДЗ\) **💡 Совет:** При решении целых уравнений **не сокращайте на множители с переменной** — так вы можете потерять корни\. Лучше перенесите всё в одну сторону и разложите на множители\. ## Тренажёры по целым рациональным уравнениям > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tseloe_ratsionalnoe_uravnenie](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tseloe_ratsionalnoe_uravnenie). На платформе **Экзамео** вы найдёте множество **интерактивных тренажёров** по теме «Целые рациональные уравнения»\. Мы подготовили задания разного уровня сложности \- от линейных и квадратных до биквадратных уравнений и уравнений с заменой переменной\. Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным **решением и объяснением**, что позволяет не просто получить ответ, но и **понять алгоритм выполнения**\. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tseloe_ratsionalnoe_uravnenie](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/tseloe_ratsionalnoe_uravnenie).