> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ugly_obrazovannye_hordami_kasatelnymi_i_sekuschimi](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ugly_obrazovannye_hordami_kasatelnymi_i_sekuschimi). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Угол между хордами, касательной и секущей В этом разделе подробно рассматриваются углы, образованные хордами, касательными и секущими в окружности\. Материал содержит фундаментальные геометрические теоремы, строгое доказательство каждой формулы и полный набор правил, позволяющих легко находить **угол между хордами**, **угол между касательной и хордой**, а также углы между секущими линиями\. Подробно разобраны свойства, когда **угол между равными хордами** образует равнобедренные треугольники, и представлены универсальные методы решения проверочных работ\. Приведены примеры решения практических задач, часто встречающихся на уроках геометрии в 8 классе, контрольных работах и в экзаменационных материалах ОГЭ и ЕГЭ по математике\. Понимание того, чему равен **угол между хордами окружности** или **угол между хордой и касательной к окружности**, является базовым элементом при изучении угловых величин дуг и вписанных фигур\. Отработать тему углы, образованные хордами, касательными и секущими можно после теории в тренажёрах с подробными решениями\. ## Теоретический справочник: углы в окружности > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ugly_obrazovannye_hordami_kasatelnymi_i_sekuschimi](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ugly_obrazovannye_hordami_kasatelnymi_i_sekuschimi). Ниже подробно разбираем все определения, свойства и ключевые теоремы о пересечении хорд, касательных и секущих, которые изучаются в 8 классе на занятиях по геометрии\. ### Угол между двумя пересекающимися хордами Если две хорды окружности $AB$ и $CD$ пересекаются во внутренней точке $E$, они образуют четыре вертикальных и смежных угла\. Чтобы **найти угол между хордами**, используется теорема о полусумме заключённых между ними дуг\. #### Теорема об угле между хордами 🎯 **Угол между двумя пересекающимися хордами** измеряется полусуммой дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями за вершину угла: $$ \angle AEC = \dfrac{\cup AC + \cup BD}{2} $$ \[ Чертеж двух пересекающихся хорд AB и CD внутри окружности в точке E с выписанными дугами AC и BD \] **Доказательство:** 1\) Соединим точки $A$ и $D$ отрезком\. Рассмотрим образовавшийся треугольник $\triangle ADE$\. 2\) Искомый угол $\angle AEC$ является внешним углом треугольника $\triangle ADE$ при вершине $E$\. 3\) По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $$\\angle AEC = \\angle ADE \+ \\angle DAE$$ 4\) Углы $\angle ADE$ и $\angle DAE$ являются вписанными углами: • $\angle ADE$ опирается на дугу $\cup AC$, значит, $\angle ADE = \dfrac{\cup AC}{2}$; • $\angle DAE$ опирается на дугу $\cup BD$, значит, $\angle DAE = \dfrac{\cup BD}{2}$\. 5\) Подставляя эти значения, получаем: $$\\angle AEC = \\dfrac\{\\cup AC\}\{2\} \+ \\dfrac\{\\cup BD\}\{2\} = \\dfrac\{\\cup AC \+ \\cup BD\}\{2\}$$ Теорема доказана\! Отдельно стоит отметить случай, когда рассматривается **угол между равными хордами**\. Если хорды $AB$ и $CD$ равны по длине \($AB = CD$\), то они стягивают равные дуги \($\cup AB = \cup CD$\)\. В этом случае треугольник, образованный центром окружности и концами хорд, является равнобедренным, а угол между ними вычисляется через симметрию полученной фигуры\. ### Угол между касательной и хордой > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ugly_obrazovannye_hordami_kasatelnymi_i_sekuschimi](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ugly_obrazovannye_hordami_kasatelnymi_i_sekuschimi). Если через точку касания $A$ проведена касательная прямая $MN$ и хорда $AB$, образуются два смежных угла\. Важнейшая теорема 8 класса определяет, чему равен **угол между хордой и касательной к окружности**\. #### Теорема об угле между касательной и хордой 🎯 **Угол между касательной и хордой**, проведённой через точку касания, измеряется половиной дуги, заключённой внутри этого угла: $$ \angle NAB = \dfrac{\cup AB}{2} $$ \[ Чертеж касательной MN, хорды AB, точки касания A и вписанного угла ACB, опирающегося на ту же дугу AB \] #### Следствие \(Связь с вписанным углом\): Так как вписанный угол, опирающийся на дугу $\cup AB$, также равен половине этой дуги, то **угол между касательной и хордой равен любому вписанному углу**, опирающемуся на ту же самую дугу: $$\\angle NAB = \\angle ACB$$ ### Угол между двумя секущими \(пересечение вне окружности\) Если две секущие пересекаются в точке $P$, лежащей вне окружности, угол между ними вычисляется через полуразность отсекаемых дуг\. #### Теорема об угле между секущими 🎯 **Угол между двумя секущими**, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью градусных мер большей и меньшей дуг, заключённых между его сторонами: $$ \angle P = \dfrac{\cup AC - \cup BD}{2} $$ *\(Эта же формула полуразности дуг применяется для угла между двумя касательными или угла между секущей и касательной, пересекающимися вне окружности\!\)* #### Сводная шпаргалка углов в окружности\! 💡 1\. Вершина в центре $\implies$ **Центральный угол** $= \cup AB$ 2\. Вершина на окружности $\implies$ **Вписанный угол** $= \dfrac{\cup AB}{2}$ 3\. Вершина внутри окружности $\implies$ **Угол между хордами** $= \dfrac{\cup AC + \cup BD}{2}$ 4\. Вершина вне окружности $\implies$ **Угол между секущими** $= \dfrac{\cup AC - \cup BD}{2}$ 5\. Точка касания $\implies$ **Угол между касательной и хордой** $= \dfrac{\cup AB}{2}$ ### Пошаговый алгоритм решения задач Чтобы успешно **найти угол между хордами окружности** или касательными в 8 классе, придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ugly_obrazovannye_hordami_kasatelnymi_i_sekuschimi](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ugly_obrazovannye_hordami_kasatelnymi_i_sekuschimi). **Определите положение вершины угла:** установите, где находится вершина угла \(в центре, на окружности, внутри или вне её\)\. **Найдите градусные меры заключённых дуг:** выразите дуги окружности через центральные углы или переменные\. **Примените соответствующую теорему:** используйте формулу полусуммы \(для точки внутри\) или полуразности \(для точки снаружи\) и выпишите ответ\. ### Разбор типовых задач из проверочных работ за 8 класс Рассмотрите решения характерных задач на углы в окружности из школьной программы и ОГЭ\. **Задание:** Две хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$\. Градусные меры дуг $\cup AC = 40^\circ$ и $\cup BD = 80^\circ$\. Найдите **угол между хордами** $AB$ и $CD$ \($\angle AEC$\)\. **Подробное решение:** 1\) Точка пересечения хорд $E$ находится внутри окружности\. 2\) Воспользуемся теоремой о том, что **угол между хордами окружности равен** полусумме заключённых между ними дуг: $$\\angle AEC = \\dfrac\{\\cup AC \+ \\cup BD\}\{2\}$$ 3\) Подставим известные значения дуг: $$\\angle AEC = \\dfrac\{40^\\circ \+ 80^\\circ\}\{2\} = \\dfrac\{120^\\circ\}\{2\} = 60^\\circ$$ **Ответ:** $60^\circ$\. **Задание:** Через точку $A$ на окружности проведена касательная $MN$ и хорда $AB$, стягивающая дугу в $110^\circ$\. Найдите острый **угол между касательной и хордой**\. **Подробное решение:** 1\) По теореме, **угол между хордой и касательной к окружности** измеряется половиной дуги, стягиваемой этой хордой: $$\\angle MAB = \\dfrac\{\\cup AB\}\{2\}$$ 2\) Подставим градусную меру дуги $\cup AB = 110^\circ$: $$\\angle MAB = \\dfrac\{110^\\circ\}\{2\} = 55^\\circ$$ **Ответ:** $55^\circ$\. ## Тренажёры по теме «Углы в окружности» на Экзамео Отработать теоремы и научиться быстро находить **угол между хордами**, касательными и секущими можно после теории в интерактивных тренажёрах на платформе «Экзамео»\. Задания для 8 класса охватывают нахождение угловых величин через полусуммы и полуразности дуг, свойства вписанных углов и решение задач из банка ОГЭ по математике\. Все упражнения разработаны в соответствии с требованиями ФГОС и опираются на типовые школьные программы\. Система автоматически проверяет ответы и предоставляет подробные решения, что помогает своевременно разобрать ошибки\. Тренируйтесь в удобном темпе и уверенно справляйтесь с проверочными работами\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ugly_obrazovannye_hordami_kasatelnymi_i_sekuschimi](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/ugly_obrazovannye_hordami_kasatelnymi_i_sekuschimi).