<!--
Источник: Экзамео — образовательная платформа для подготовки к экзаменам.
Каноническая HTML-страница: https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/umnozhenie-i-delenie-ratsionalnyh-drobey-vozvedenie-ratsionalnoy-drobi-v-stepen
Эта Markdown-версия предназначена для корректного цитирования, индексации и чтения AI-агентами.
Материал является авторским контентом Экзамео. Не используйте эту копию как самостоятельный источник для перепубликации.
-->

> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам.
>
> Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/umnozhenie-i-delenie-ratsionalnyh-drobey-vozvedenie-ratsionalnoy-drobi-v-stepen](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/umnozhenie-i-delenie-ratsionalnyh-drobey-vozvedenie-ratsionalnoy-drobi-v-stepen).
>
> При цитировании указывайте источник: Экзамео.

# Умножение и деление рациональных дробей \- теория и тренажёры

**Умножение и деление рациональных дробей и возведение рациональной дроби в степень** \- операции, которые позволяют преобразовывать сложные алгебраические выражения\. Эти навыки необходимы для решения уравнений, упрощения выражений, решения задач и успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ по математике\. На этой странице вы узнаете, как выполнять эти действия по правилам, аналогичным правилам для обыкновенных дробей\.

Вы уже умеете умножать, делить и возводить в степень обыкновенные дроби\. В 8 классе эти правила **полностью сохраняются** \- меняются только объекты: вместо чисел в числителях и знаменателях стоят **многочлены**\.

**Умножение рациональных дробей:**

$\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D}$

**Деление рациональных дробей:**

$\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C}$

**Возведение в степень:**

$\left(\dfrac{A}{B}\right)^n = \dfrac{A^n}{B^n}$

### Умножение рациональных дробей

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/umnozhenie-i-delenie-ratsionalnyh-drobey-vozvedenie-ratsionalnoy-drobi-v-stepen](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/umnozhenie-i-delenie-ratsionalnyh-drobey-vozvedenie-ratsionalnoy-drobi-v-stepen).


Умножение рациональных дробей выполняется по тому же правилу, что и умножение обыкновенных дробей\.

### **Правило умножения**

$\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D}$

Чтобы умножить две рациональные дроби, нужно
**Перемножить числители** \(результат записать в числитель\)\.
**Перемножить знаменатели** \(результат записать в знаменатель\)\.
Если возможно, **сократить** полученную дробь\.

**Пример 1:** $\dfrac{2x}{x + 1} \cdot \dfrac{x - 1}{x} = \dfrac{2x(x - 1)}{x(x + 1)} = \dfrac{2(x - 1)}{x + 1}$

**Пример 2:** $\dfrac{5x^2}{x - 2} \cdot \dfrac{x + 2}{x} = \dfrac{5x^2(x + 2)}{x(x - 2)} = \dfrac{5x(x + 2)}{x - 2}$

#### Умножение с предварительным сокращением

Чтобы упростить вычисления, можно **сократить** дроби **до** перемножения\.

Выполните умножение: $\dfrac{x^2 - 4}{x + 2} \cdot \dfrac{3x}{x - 2}$\.

**Решение:**

Разложим $x^2 - 4$ на множители: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$\.

$\dfrac{x^2 - 4}{x + 2} \cdot \dfrac{3x}{x - 2} = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} \cdot \dfrac{3x}{x - 2}$

Сокращаем на $(x + 2)$ и $(x - 2)$:

$= 3x$

**ОДЗ:** $x \neq \pm2$

**Ответ:** $3x$, при $x \neq \pm2$\.

### Деление рациональных дробей

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/umnozhenie-i-delenie-ratsionalnyh-drobey-vozvedenie-ratsionalnoy-drobi-v-stepen](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/umnozhenie-i-delenie-ratsionalnyh-drobey-vozvedenie-ratsionalnoy-drobi-v-stepen).


Деление рациональных дробей заменяется умножением на **дробь, обратную делителю**\. Собственно правило точно такое же, как и для обычных дробей, вам нужно просто перенести его на многочлены

### **Правило деления**

$\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C}$

Чтобы разделить одну рациональную дробь на другую, нужно:

**Перевернуть** дробь\-делитель \(заменить числитель и знаменатель местами\)\.
**Умножить** первую дробь на полученную обратную дробь\.
Если возможно, **сократить** результат\.

**Пример 4:** $\dfrac{2x}{x + 1} : \dfrac{x}{x - 1} = \dfrac{2x}{x + 1} \cdot \dfrac{x - 1}{x} = \dfrac{2(x - 1)}{x + 1}$

#### Пример деления с предварительным сокращением

Выполните деление: $\dfrac{x^2 - 9}{x + 3} : \dfrac{x - 3}{x}$\.

**Решение:**

Разложим $x^2 - 9$ на множители: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$\.

$\dfrac{x^2 - 9}{x + 3} : \dfrac{x - 3}{x} = \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} \cdot \dfrac{x}{x - 3} = x$

**ОДЗ:** $x \neq \pm3$, $x \neq 0$

**Ответ:** $x$, при $x \neq 0, \pm3$\.

### Возведение рациональной дроби в степень

Возведение рациональной дроби в степень выполняется по правилу, аналогичному правилу для обыкновенных дробей и является по сути умножением дроби на такую же дробь\.

### **Правило возведения в степень**

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/umnozhenie-i-delenie-ratsionalnyh-drobey-vozvedenie-ratsionalnoy-drobi-v-stepen](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/umnozhenie-i-delenie-ratsionalnyh-drobey-vozvedenie-ratsionalnoy-drobi-v-stepen).


$\left(\dfrac{A}{B}\right)^n = \dfrac{A^n}{B^n}$

Чтобы возвести рациональную дробь в **натуральную степень**, нужно возвести в эту степень **числитель** и **знаменатель** по отдельности\.

**Пример:** $\left(\dfrac{2x}{y}\right)^3 = \dfrac{(2x)^3}{y^3} = \dfrac{8x^3}{y^3}$

**Пример:** $\left(\dfrac{x^2}{x + 1}\right)^4 = \dfrac{(x^2)^4}{(x + 1)^4} = \dfrac{x^8}{(x + 1)^4}$

#### Возведение в отрицательную степень

При возведении рациональной дроби в **отрицательную степень** дробь переворачивается и затем возводим в степень\.

### **Правило для отрицательной степени**

$\left(\dfrac{A}{B}\right)^{-n} = \left(\dfrac{B}{A}\right)^n$

**Пример:** $\left(\dfrac{x}{y}\right)^{-2} = \left(\dfrac{y}{x}\right)^2 = \dfrac{y^2}{x^2}$

**Важно:** Основание $A$ и $B$ должны быть отличны от нуля\.

### Комбинированные примеры

Упростите выражение: $\left(\dfrac{x^2}{y}\right)^3 \cdot \dfrac{y^2}{x}$\.

**Решение:**

Сначала возведём в степень:

$\left(\dfrac{x^2}{y}\right)^3 = \dfrac{x^6}{y^3}$

Выполним умножение:

$\dfrac{x^6}{y^3} \cdot \dfrac{y^2}{x} = \dfrac{x^6 \cdot y^2}{y^3 \cdot x} = \dfrac{x^5}{y}$

**ОДЗ:** $x \neq 0$, $y \neq 0$

**Ответ:** $\dfrac{x^5}{y}$\.

Выполните деление: $\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} : \dfrac{x - 1}{x + 1}$\.

**Решение:**

Разложим числитель и знаменатель первой дроби:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$

$\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} : \dfrac{x - 1}{x + 1} = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 1)^2} \cdot \dfrac{x + 1}{x - 1} = 1$

**ОДЗ:** $x \neq \pm1$

**Ответ:** $1$, при $x \neq \pm1$\.

### Типичные ошибки при умножении и делении дробей

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/umnozhenie-i-delenie-ratsionalnyh-drobey-vozvedenie-ratsionalnoy-drobi-v-stepen](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/umnozhenie-i-delenie-ratsionalnyh-drobey-vozvedenie-ratsionalnoy-drobi-v-stepen).


#### Ошибка 1: Не переворачивают дробь при делении

**Неправильно**

$\dfrac{2}{x} : \dfrac{3}{y} = \dfrac{6}{xy}$

**Правильно**

$\dfrac{2}{x} : \dfrac{3}{y} = \dfrac{2}{x} \cdot \dfrac{y}{3} = \dfrac{2y}{3x}$

#### Ошибка 2: Сокращают отдельные слагаемые

**Неправильно**

$\dfrac{x + 2}{x + 3} = \dfrac{2}{3}$

**Правильно**

$\dfrac{x + 2}{x + 3}$ — сократить нельзя \(слагаемые сокращать нельзя\)

#### Ошибка 3: Забывают про ОДЗ

**Неправильно**

$\dfrac{x^2}{x} = x$

**Правильно**

$\dfrac{x^2}{x} = x$, при $x \neq 0$

**💡 Совет:** При умножении и делении дробей **всегда** сначала раскладывайте числители и знаменатели на множители, затем сокращайте\. И **всегда** записывайте ОДЗ\.

## Тренажёры по умножению и делению рациональных дробей

На платформе Экзамео вас ждут интерактивные тренажёры по теме «Умножение и деление рациональных дробей\. Возведение рациональной дроби в степень»\. Задания подобраны на разных уровнях сложности — от простых вычислений до более сложных преобразований, требующих разложения на множители\.

К каждому заданию прилагается подробное решение с объяснением, поэтому вы не просто получаете верный ответ, а разбираетесь в самом алгоритме решения\. Двигайтесь в комфортном для себя темпе — если где\-то закрадётся ошибка, система сразу подскажет, где искать неточность

---

## Условия использования материала

Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта.

Разрешено:

- использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала;
- цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео;
- использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации.

Не разрешено:

- копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории;
- выдавать материал Экзамео за собственный контент;
- удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника;
- использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео.

Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/umnozhenie-i-delenie-ratsionalnyh-drobey-vozvedenie-ratsionalnoy-drobi-v-stepen](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/umnozhenie-i-delenie-ratsionalnyh-drobey-vozvedenie-ratsionalnoy-drobi-v-stepen).