<!--
Источник: Экзамео — образовательная платформа для подготовки к экзаменам.
Каноническая HTML-страница: https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/uravneniya_i_neravenstva
Эта Markdown-версия предназначена для корректного цитирования, индексации и чтения AI-агентами.
Материал является авторским контентом Экзамео. Не используйте эту копию как самостоятельный источник для перепубликации.
-->

> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам.
>
> Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/uravneniya_i_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/uravneniya_i_neravenstva).
>
> При цитировании указывайте источник: Экзамео.

# Краткий разбор всех уравнений и неравенств 8 класса

**Уравнения и неравенства** \- это два основных раздела алгебры, которые изучаются на протяжении всего школьного курса\. В 8 классе вы знакомитесь с новыми видами уравнений и неравенств, которые значительно расширяют ваши математические возможности\. На этой странице мы собрали **краткую информацию о всех основных видах**, которые изучаются в 8 классе, чтобы вы могли систематизировать знания и быстро находить нужную информацию\. Подробно разобрали каждый вид уравнений и неравенств на их страницах\.

Материал разделён на два больших блока: **уравнения** и **неравенства**\. Внутри каждого блока рассмотрены основные виды, их определения, методы решения и ключевые особенности\.

## Уравнения в 8 классе

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/uravneniya_i_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/uravneniya_i_neravenstva).


В 8 классе вы изучаете несколько видов уравнений\. Ключевое различие между ними \- **степень уравнения** и наличие переменной в знаменателе\.

### 1\. Линейные уравнения

### **Линейное уравнение**

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/uravneniya_i_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/uravneniya_i_neravenstva).


**Определение\.** Уравнение вида $ax + b = 0$, где $a \neq 0$, называется **линейным**\.

**Общий вид:** $ax + b = 0$, где $x$ \- переменная, $a$ и $b$ \- некоторые числа\.

**Корень:** $x = -\dfrac{b}{a}$ \(единственный\)\.

**Пример:** $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$

**Метод решения:** перенос слагаемых с переменной в левую часть, без переменной \- в правую, приведение подобных, деление на коэффициент при переменной\.

### 2\. Квадратные уравнения

### **Квадратное уравнение**

**Определение\.** Уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$, называется **квадратным**\.

**Коэффициенты:** $a$ \- старший коэффициент, $b$ \- второй коэффициент, $c$ \- свободный член\.

**Дискриминант:** $D = b^2 - 4ac$

**Корни:**
Если $D > 0$: два корня $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
Если $D = 0$: один корень $x = -\dfrac{b}{2a}$
Если $D < 0$: корней нет

**Теорема Виета \(для приведённого уравнения **$x^2 + px + q = 0$**\):**

$x_1 + x_2 = -p$, $x_1 \cdot x_2 = q$

#### Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении $ax^2 + bx + c = 0$ хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю, уравнение называют **неполным**\.

#### **Вид**

#### **Решение**

$ax^2 + bx = 0$ \($c = 0$\)

$x(ax + b) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = -\dfrac{b}{a}$

$ax^2 + c = 0$ \($b = 0$\)

$x^2 = -\dfrac{c}{a}$: два корня \(если $-\dfrac{c}{a} > 0$\) или корней нет

$ax^2 = 0$ \($b = c = 0$\)

$x = 0$ \(единственный корень\)

### 3\. Дробно\-рациональные уравнения

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/uravneniya_i_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/uravneniya_i_neravenstva).


### **Дробно\-рациональное уравнение**

**Определение\.** Уравнение, содержащее **деление на выражение с переменной**, называется **дробно\-рациональным**\.

**Алгоритм решения:**

Найти ОДЗ \(знаменатель не равен нулю\)\.
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель\.
Решить полученное целое уравнение\.
Исключить корни, не входящие в ОДЗ\.

**Пример:** $\dfrac{x}{x - 2} + \dfrac{3}{x + 1} = 1$

ОДЗ: $x \neq 2$, $x \neq -1$\. Умножаем на $(x - 2)(x + 1)$ и решаем\.

### 4\. Уравнения высших степеней \(углублённое изучение\)

### **Уравнения, сводящиеся к квадратным**

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/uravneniya_i_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/uravneniya_i_neravenstva).


В классах с углублённым изучением математики рассматриваются уравнения, которые с помощью замены переменной сводятся к квадратным\.

**Основные виды:**
**Биквадратные:** $ax^4 + bx^2 + c = 0$\. Замена $t = x^2$\.
**С заменой переменной:** $(x^2 - 7)^2 - 4(x^2 - 7) - 45 = 0$\. Замена $t = x^2 - 7$\.
**Возвратные \(симметричные\):** делением на $x^2$ сводятся к квадратным\.

## Неравенства в 8 классе

Неравенства, которые проходятся в 8 классе делятся на **линейные** и **квадратные**\. Также неравенства делятся на строгие и нестрогие неравенства\.

### Строгие и нестрогие неравенства

**Строгие** \- со знаками $>$ или $<$\.

**Пример:** $x > 3$

**Нестрогие** \- со знаками $\ge$ или $\le$\.

**Пример:** $x \le 5$

### 1\. Линейные неравенства

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/uravneniya_i_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/uravneniya_i_neravenstva).


### **Линейное неравенство**

**Определение\.** Неравенство вида $ax + b > 0$ \(или $<$, $\ge$, $\le$\), где $a \neq 0$, называется **линейным**\.

**Пример:** $2x - 4 > 0$

**Правила решения:**

Перенос слагаемых с изменением знака\.
Умножение/деление на положительное число \- знак не меняется\.
Умножение/деление на отрицательное число \- знак неравенства меняется на противоположный\.

**Решение:** $2x > 4 \Rightarrow x > 2$

**Ответ:** $(2; +\infty)$

### 2\. Квадратные неравенства

### **Квадратное неравенство**

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/uravneniya_i_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/uravneniya_i_neravenstva).


**Определение\.** Неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$ \(или $<$, $\ge$, $\le$\), где $a \neq 0$, называется **квадратным**\.

**Пример:** $x^2 - 3x + 2 > 0$

**Методы решения:**

**Метод интервалов:** найти корни соответствующего квадратного уравнения, нанести на числовую ось, определить знаки на промежутках\.
**Графический метод:** построить эскиз параболы и определить, где функция положительна или отрицательна\.

**Решение методом интервалов:**

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$

Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$

### 3\. Системы неравенств

### **Система неравенств**

**Определение\.** **Система неравенств** \- это несколько неравенств, для которых нужно найти **общие решения**\.

**Пример:** $\begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ x + 2 \le 7 \end{cases}$

**Решение:** $x > 2$ и $x \le 5 \Rightarrow x \in (2; 5]$

**Запись ответа:** $(2; 5]$

## Сравнение уравнений и неравенств

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/uravneniya_i_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/uravneniya_i_neravenstva).


#### **Признак**

#### **Уравнение**

#### **Неравенство**

Знак

$=$

$>$, $<$, $\ge$, $\le$

Ответ

Конкретное число \(или множество чисел\)

Числовой промежуток

Умножение на отрицательное число

Знак не меняется

Знак меняется на противоположный

**💡 Совет:** При решении неравенств **всегда** проверяйте, меняется ли знак неравенства при умножении/делении на отрицательное число\. Это самая частая ошибка\!

## Тренажёры по уравнениям и неравенствам

На платформе **Экзамео** мы собрали **интерактивные тренажёры** по всем видам уравнений и неравенств, изучаемым в 8 классе\. Мы подготовили задания разного уровня сложности \- от простых линейных до сложных систем неравенств и уравнений с параметрами\.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения\. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку\.

---

## Условия использования материала

Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта.

Разрешено:

- использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала;
- цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео;
- использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации.

Не разрешено:

- копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории;
- выдавать материал Экзамео за собственный контент;
- удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника;
- использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео.

Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/uravneniya_i_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/uravneniya_i_neravenstva).