> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vpisannaya-i-opisannaya-okruzhnosti-chetyrehugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vpisannaya-i-opisannaya-okruzhnosti-chetyrehugolnikov). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Вписанная и описанная окружности четырёхугольников В этом разделе рассматриваются свойства вписанной и описанной окружностей в четырёхугольнике\. Материал содержит условия существования обеих окружностей, ключевые теоремы и расчётные формулы\. Разобраны признаки, позволяющие определить, можно ли вписать окружность в данный четырёхугольник или описать её около него\. Приведены примеры решения практических задач, в том числе из экзаменов ОГЭ и ЕГЭ по математике\. Отдельное внимание уделено сравнению с треугольниками: в отличие от них, для четырёхугольников выполнение соответствующих условий не является автоматическим и требует проверки\. Отработать свойства вписанной и описанной окружности в четырехугольник можно после теории в тренажерах с подробными решениями\. ## Теоретический справочник: вписанная и описанная окружности > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vpisannaya-i-opisannaya-okruzhnosti-chetyrehugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vpisannaya-i-opisannaya-okruzhnosti-chetyrehugolnikov). Ниже подробно разбираем все теоремы, свойства и формулы для вписанных и описанных окружностей четырёхугольников, которые разбираются в 8 классе на занятиях по геометрии\. ### Окружность, вписанная в четырёхугольник #### Теорема о вписанной окружности 🎯 Окружность называется **вписанной в четырёхугольник**, если она касается всех четырёх его сторон\. **Главное свойство и теорема:** В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда **суммы его противолежащих сторон равны**: $$ AB + CD = BC + AD $$  #### Полезные формулы и свойства: 1\. **Центр вписанной окружности** лежит в точке пересечения биссектрис всех четырёх внутренних углов четырёхугольника\.  2\. **Площадь четырёхугольника** с вписанной окружностью вычисляется по формуле через полупериметр $p$: $$ S = p \cdot r $$ где $p = \dfrac{AB + BC + CD + AD}{2}$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности\. ### Окружность, описанная около четырёхугольника > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vpisannaya-i-opisannaya-okruzhnosti-chetyrehugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vpisannaya-i-opisannaya-okruzhnosti-chetyrehugolnikov). Если окружность проходит через все четыре вершины многоугольника, она называется описанной\. #### Теорема об описанной окружности 🎯 Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда **сумма его противоположных углов равна **$180^\circ$: $$ \angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ $$  • **Центр описанной окружности** лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров ко всем сторонам четырёхугольника\. Теорема о вписанном четырехугольнике очень легко выводится \- советуем запомнить вывод, чтобы не путаться в теоремах, потому что задачи на них встречаются достаточно редко и нужно в голове держать когда можно вписать, когда можно описать окружность, что конечно будет забываться, а вот вывод запомнится надолго и позволит вспомнить свойства вписанных углов, которые тоже проходятся в 8 классе\. Прежде всего стоит вспомнить, что все углы вписанного четырехугольника являются вписанными, значит дуги, на которые они опираются в два раза больше этих углов, тогда возьмем\. Подробно \- здесь: Центральные и вписанные углы $$ \angle D=\alpha,\angle B=\beta $$ Тогда желто\-красная дуга на рисунке будет равна $2\alpha$, а зеленая $2\beta$  Как известно, дуга окружности составляет 360 градусов, значит можно составить следующее уравнение: $$ 360\degree=2\alpha+2\beta $$ Можно поделить все на два и получим требуемое: $$ 180\degree=\alpha+\beta=\angle B+\angle D $$ Теорема доказана и теперь вы ### Таблица для основных видов четырёхугольников и окружностей ##### Четырёхугольник ##### Можно ли вписать окружность? ##### Можно ли описать окружность? **Квадрат** Да \(всегда\) Да \(всегда\) **Прямоугольник** Только если он является квадратом \($a = b$\) Да \(всегда\) **Ромб** Да \(всегда\) Только если он является квадратом **Параллелограмм** Только если он является ромбом Только если он является прямоугольником **Равнобедренная трапеция** Если сумма оснований равна сумме боковых сторон \($a + b = 2c$\) Да \(всегда\) #### Лайфхак для ОГЭ и контрольных\! 💡 Если в задачу входит равнобедренная трапеция, описанная около окружности, помните: высота трапеции равна диаметру вписанной окружности \($h = 2r$\), а боковая сторона равна средней линии \($c = m = \dfrac{a+b}{2}$\)\. ### Пошаговый алгоритм решения задач При решении геометрических задач на вписанные и описанные окружности в 8 классе придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vpisannaya-i-opisannaya-okruzhnosti-chetyrehugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vpisannaya-i-opisannaya-okruzhnosti-chetyrehugolnikov). **Проверьте признак существования окружности:** для вписанной проверьте равенство сумм противоположных сторон, для описанной — сумму противолежащих углов \($180^\circ$\)\. **Используйте свойства отрезков касательных:** если окружность вписана, отрезки касательных, проведённых из одной вершины к окружности, равны между собой\. **Составьте уравнение и найдите искомую величину:** примените формулу площади $S = p \cdot r$ или теорему Пифагора для радиуса и запишите ответ\. ### Разбор типовых задач из контрольных работ за 8 класс Рассмотрите решения задач, характерных для проверочных работ по геометрии в 8 классе\. **Задание:** Около окружности описан четырёхугольник $ABCD$, у которого стороны $AB = 6\text{ см}$, $BC = 8\text{ см}$ и $CD = 11\text{ см}$\. Найдите четвёртую сторону $AD$\. **Подробное решение:** 1\) По свойству четырёхугольника, в который вписана окружность, суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$\. 2\) Подставим известные значения сторон: $6 + 11 = 8 + AD$\. 3\) Вычислим длину стороны $AD$: $17 = 8 + AD \implies AD = 17 - 8 = 9\text{ см}$\. **Ответ:** $9\text{ см}$\. **Задание:** Сторона ромба равна $10\text{ см}$, а один из его углов равен $30^\circ$\. Найдите радиус вписанной в ромб окружности\. **Подробное решение:** 1\) Высота ромба $h$ в точности равна диаметру вписанной в него окружности \($h = 2r$\)\. 2\) Вычислим площадь ромба через сторону и синус угла: $S = a^2 \cdot \sin \alpha = 10^2 \cdot \sin 30^\circ = 100 \cdot 0{,}5 = 50\text{ см}^2$\. 3\) С другой стороны, площадь ромба выражается через сторону и высоту: $S = a \cdot h \implies 50 = 10 \cdot h \implies h = 5\text{ см}$\. 4\) Найдем радиус вписанной окружности \($r = \dfrac{h}{2}$\): $r = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\text{ см}$\. **Ответ:** радиус равен $2{,}5\text{ см}$\. ## Тренажёры по теме «Вписанная и описанная окружности» на Экзамео Отработайте все свойства, формулы и признаки вписанных и описанных окружностей четырёхугольников с помощью интерактивных тренажёров на платформе «Экзамео»\. Задания для 8 класса охватывают применение условий существования окружностей, вычисление элементов четырёхугольников и решение комбинированных геометрических задач\. Все упражнения разработаны в соответствии с требованиями ФГОС и опираются на типовые школьные программы\. Система автоматически проверяет ответы и предоставляет пошаговые решения, что помогает своевременно разобрать ошибки\. Тренируйтесь в удобном темпе и уверенно справляйтесь с проверочными работами\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vpisannaya-i-opisannaya-okruzhnosti-chetyrehugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vpisannaya-i-opisannaya-okruzhnosti-chetyrehugolnikov).