<!--
Источник: Экзамео — образовательная платформа для подготовки к экзаменам.
Каноническая HTML-страница: https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vtoroy-priznak-podobiya-treugolnikov
Эта Markdown-версия предназначена для корректного цитирования, индексации и чтения AI-агентами.
Материал является авторским контентом Экзамео. Не используйте эту копию как самостоятельный источник для перепубликации.
-->

> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам.
>
> Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vtoroy-priznak-podobiya-treugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vtoroy-priznak-podobiya-treugolnikov).
>
> При цитировании указывайте источник: Экзамео.

# Второй признак подобия треугольников \- доказательство

На данной странице мы подробно разберем **второй признак подобия треугольников** — один из трёх основных признаков, которые изучаются в **геометрии 8 класса**\. Этот признак позволяет доказывать подобие треугольников, используя всего **две стороны и угол между ними**, что часто бывает удобнее, чем искать равные углы\.

**Второй признак подобия треугольников — это мощный инструмент для решения геометрических задач**\. Если вы поймете, как доказывается этот признак и почему он работает, вам будет легко применять его в задачах любой сложности, в том числе на **ОГЭ по математике**\.

Платформа **Экзамео** позволяет вам гибко составлять варианты для **контрольных или самостоятельных работ** по заданиям на второй признак подобия\. Вы можете выбрать необходимый уровень сложности и тип задания — система сгенерирует индивидуальные листы заданий в формате **PDF**, которые легко отправить ученикам или распечатать\.

## Второй признак подобия треугольников

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vtoroy-priznak-podobiya-treugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vtoroy-priznak-podobiya-treugolnikov).


### Теорема о втором признаке подобия

### **Формулировка теоремы**

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vtoroy-priznak-podobiya-treugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vtoroy-priznak-podobiya-treugolnikov).


Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны\.

Условия теоремы


$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$

$\angle A = \angle A_1$

Следовательно


$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$

### Доказательство второго признака подобия

Рассмотрим **строгое доказательство второго признака подобия**, которое опирается на **первый признак подобия** и **признаки равенства треугольников**\.

#### **Дано**

Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых:

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$ \(как показано на рисунке\)

$\angle A = \angle A_1$

#### **Доказать**

$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$

#### **Доказательство**

Для того чтобы доказать подобие треугольников, достаточно, используя **первый признак подобия**, доказать, что $\angle B = \angle B_1$\.

**Шаг 1\. Построение вспомогательного треугольника**

Рассмотрим треугольник $ABC_2$, у которого:

$\angle 1 = \angle A_1$

$\angle 2 = \angle B_1$

Треугольники $ABC_2$ и $A_1B_1C_1$ **подобны по первому признаку** \(по двум углам\)\.

Следовательно:

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC_2}{A_1C_1}$

**Шаг 2\. Сравнение с условием**

По условию теоремы:

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$

Из этих двух равенств получаем:

$AC = AC_2$

**Шаг 3\. Равенство треугольников**

Треугольники $ABC$ и $ABC_2$ равны **по двум сторонам и углу между ними**:

$AB$ — общая сторона
$AC = AC_2$ \(доказано выше\)
$\angle A = \angle 1$ \(так как $\angle A = \angle A_1$ и $\angle 1 = \angle A_1$\)

Из равенства треугольников следует:

$\angle B = \angle 2$

А так как $\angle 2 = \angle B_1$ \(по построению\), то:

$\angle B = \angle B_1$

#### **Вывод**

Таким образом, мы доказали, что $\angle B = \angle B_1$\.

Значит, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ имеют два соответственно равных угла: $\angle A = \angle A_1$ \(по условию\) и $\angle B = \angle B_1$ \(доказано\)\.

Следовательно, по **первому признаку подобия**:

$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$

Теорема **доказана**\.

**Второй признак подобия удобен тем**, что для доказательства подобия не нужно искать углы — достаточно проверить **пропорциональность двух пар сторон** и **равенство угла между ними**\.

Это особенно полезно в задачах, где:

Даны длины сторон треугольников
Есть общий угол \(например, при пересечении двух прямых\)
Нужно быстро проверить подобие без поиска равных углов

**Сравнение с первым признаком:**

**Первый признак** — нужно два угла \(легко найти при параллельных прямых\)
**Второй признак** — нужно две стороны и угол между ними \(легко найти, когда известны длины\)

Оба признака равноправны — выбор зависит от того, **какие данные даны в задаче**\.

### Примеры применения второго признака подобия

#### 📌 Пример 1: Треугольники с общим углом

В треугольниках $ABC$ и $ADE$ угол $A$ — общий\.

Известно: $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE} = 2$\.

По **второму признаку** $\triangle ABC \sim \triangle ADE$ \(две стороны пропорциональны, угол между ними равен\)\.

#### 📌 Пример 2: Треугольники с известными сторонами

Стороны треугольника $ABC$: $AB = 6$, $AC = 8$, $\angle A = 60^\circ$\.

Стороны треугольника $A_1B_1C_1$: $A_1B_1 = 3$, $A_1C_1 = 4$, $\angle A_1 = 60^\circ$\.

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{6}{3} = 2$, $\dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{8}{4} = 2$, $\angle A = \angle A_1 = 60^\circ$\.

По **второму признаку** треугольники подобны\.

**💡 Важное замечание:** Второй признак подобия очень похож на **второй признак равенства треугольников**\. Но в отличие от равенства, здесь стороны должны быть **пропорциональны**, а не равны\. Если коэффициент пропорциональности $k = 1$, то треугольники не просто подобны, а **равны**\.

## Тренажёры для отработки второго признака подобия треугольников

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vtoroy-priznak-podobiya-treugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vtoroy-priznak-podobiya-treugolnikov).


На платформе **Экзамео** доступны тренажёры, которые помогают довести навыки применения **второго признака подобия треугольников** до автоматизма\. Каждый тренажёр содержит десятки вариантов задач на **доказательство подобия по двум сторонам и углу между ними** для подготовки к контрольным работам в 8 классе и к ОГЭ по математике\.

---

## Условия использования материала

Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта.

Разрешено:

- использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала;
- цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео;
- использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации.

Не разрешено:

- копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории;
- выдавать материал Экзамео за собственный контент;
- удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника;
- использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео.

Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vtoroy-priznak-podobiya-treugolnikov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vtoroy-priznak-podobiya-treugolnikov).