> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vypuklyi_mnogougolnik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vypuklyi_mnogougolnik). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Выпуклый многоугольник \- разбор темы В этом разделе представлен теоретический материал по теме «Выпуклый многоугольник» в объёме программы геометрии 8 класса\. Рассмотрены определения выпуклого и невыпуклого многоугольника, выведены формулы суммы внутренних и внешних углов, а также приведён способ подсчёта числа диагоналей\. Каждое утверждение сопровождается кратким обоснованием и примерами\. Материал структурирован так, чтобы на его основе можно было без затруднений перейти к изучению четырёхугольников и правильных многоугольников\. ## Всё про выпуклые многоугольники для 8 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vypuklyi_mnogougolnik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vypuklyi_mnogougolnik). Ниже приведены определение выпуклого многоугольника, наглядные отличия от невыпуклого, теорема о сумме углов и формулы для расчёта элементов \- всё это проходится в 8 классе и будет использоваться и на ОГЭ по математике и на ЕГЭ, как профильного так и базового уровня\. ### Выпуклые и невыпуклые многоугольники #### Определение выпуклого многоугольника 🎯 **Многоугольник называется выпуклым**, если он целиком лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины\. Визуально выпуклый и невыпуклые многоуольники выглядят следующим образом:  Теперь соберем их отличия в таблицу ##### Выпуклый многоугольник ##### Невыпуклый многоугольник Лежит **по одну сторону** от прямой каждой своей стороны\. Прямая хотя бы одной стороны **делит многоугольник** на части\. Все внутренние углы **меньше **$180^\circ$\. Содержит хотя бы один угол **больше **$180^\circ$ \(вогнутый\)\. Любой отрезок с концами внутри многоугольника **целиком лежит внутри него**\. Отрезок между двумя внутренними точками может **выходить за пределы** фигуры\. ### Сумма углов выпуклого многоугольника > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vypuklyi_mnogougolnik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vypuklyi_mnogougolnik). #### Формула суммы углов выпуклого $n$\-угольника 🎯 Сумма внутренних углов выпуклого $n$\-угольника равна: $$ S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ $$ где $n$ — количество вершин \(или сторон\) многоугольника \($n \ge 3$\)\. Подробно разобрали вывод формулы суммы углов выпуклого n\-угольника ниже  Чтобы вычислить сумму внутренних углов выпуклого $n$\-угольника $A_1 A_2 \dots A_n$, применим метод разбиения на треугольники: 1\. Выберем одну вершину $A_1$ и соединим её диагоналями со всеми не соседними вершинами\. 2\. Проведённые диагонали разобьют $n$\-угольник на $n - 2$** треугольника**\. 3\. Сумма углов каждого треугольника равна $180^\circ$, а сумма всех углов этих треугольников в точности совпадает с суммой внутренних углов исходного многоугольника\. #### Внешние углы и количество диагоналей Дополнительно важно упомянуть про остальные характеристики выпуклого $n$\-угольника, они могут понадобиться на контрольных и самостоятельных работах по многоугольникам в 8 классе\. 1 ##### **Сумма внешних углов** Внешним углом многоугольника называется угол, смежный с его внутренним углом\. Сумма внешних углов выпуклого $n$\-угольника, взятых по одному при каждой вершине, **всегда равна **$360^\circ$ \(не зависит от числа сторон $n$\!\)\. Зная этот факт можно запросто рассчитывать внутренний угол 2 ##### **Число диагоналей многоугольника:** Из каждой из $n$ вершин можно провести $n - 3$ диагонали \(ко всем вершинам, кроме самой себя и двух соседних\)\. Так как каждая диагональ соединяет две вершины, общее количество диагоналей вычисляется по формуле: $$ N=\dfrac{n(n - 3)}{2} $$ #### Готовые значения сумм углов для запоминания\! Постарайтесь их запомнить \- они позволят ускорить расчеты в задачах • **Треугольник \(**$n = 3$**\):** $(3 - 2) \cdot 180^\circ = 180^\circ$ • **Четырёхугольник \(**$n = 4$**\):** $(4 - 2) \cdot 180^\circ = 360^\circ$ • **Пятиугольник \(**$n = 5$**\):** $(5 - 2) \cdot 180^\circ = 540^\circ$ • **Шестиугольник \(**$n = 6$**\):** $(6 - 2) \cdot 180^\circ = 720^\circ$ ##### Разбор типовых задач на многоугольники для 8 класса Рассмотрите решения задач, характерных для уроков геометрии по многоугольникам в 8 классе\. Эти же задачи потом могут вам встретиться на ОГЭ по математике, поэтому постарайтесь их понять и отработать в тренажерах\. **Задание:** Найдите число сторон выпуклого многоугольника, если сумма его внутренних углов равна $1260^\circ$\. **Подробное решение:** 1\) Воспользуемся формулой суммы углов выпуклого $n$\-угольника: $S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$\. 2\) Подставим данную по условию сумму $S_n = 1260^\circ$: $(n - 2) \cdot 180^\circ = 1260^\circ$\. 3\) Разделим обе части уравнения на $180^\circ$: $n - 2 = \dfrac{1260}{180} \implies n - 2 = 7$\. 4\) Выразим количество сторон $n$: $n = 7 + 2 = 9$\. **Ответ:** многоугольник имеет $9$ сторон \(девятиугольник\)\. **Задание:** Сколько диагоналей можно провести в выпуклом восьмиугольнике? **Подробное решение:** 1\) По условию задачи $n = 8$ \(восьмиугольник\)\. 2\) Воспользуемся формулой числа диагоналей $N = \dfrac{n(n - 3)}{2}$\. 3\) Подставим $n = 8$ в формулу: $N = \dfrac{8 \cdot (8 - 3)}{2} = \dfrac{8 \cdot 5}{2} = \dfrac{40}{2} = 20$\. **Ответ:** $20$ диагоналей\. ## Тренажёры по теме «Выпуклый многоугольник» на Экзамео Ниже представлены задания на свойства многоугольников \(сумма углов, стороны, диагонали, площадь\), составленные по материалам школьной программы геометрии 8 класса\. К каждому заданию в тренажерах вы найдете подробное пошаговое решение, которое поможет разобраться с ошибками, если они возникнут\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vypuklyi_mnogougolnik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vypuklyi_mnogougolnik).