> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vzaimnoe-raspolozhenie-dvuh-okruzhnostey](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vzaimnoe-raspolozhenie-dvuh-okruzhnostey). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Взаимное расположение двух окружностей \(8 класс\) На этой странице представлен подробный теоретический и практический разбор темы **«Взаимное расположение двух окружностей» по геометрии для 8 класса**\. Он включает в себя геометрические условия взаимного пересечения и касания окружностей, освоить математические строгие равенства и неравенства, связывающие радиусы $R_1, R_2$ и расстояние между центрами $d$, а также уверенно решать проверочные задачи и задания ОГЭ\. Взаимное расположение двух окружностей на плоскости определяется соотношением между их радиусами и длиной отрезка, соединяющего их центры \(межатомным/центральным расстоянием $d = O_1O_2$\)\. ## 5 случаев взаимного расположения двух окружностей > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vzaimnoe-raspolozhenie-dvuh-okruzhnostey](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vzaimnoe-raspolozhenie-dvuh-okruzhnostey). Рассмотрим все возможные виды расположения двух окружностей с центрами $O_1, O_2$ и радиусами $R_1, R_2$ \(при условии $R_1 \ge R_2$ во всех рассматриваемых случаях\)\. Все эти расположения окружностей проходятся в 8 классе и вы должны учитывать их при выполнении задач в самостоятельных и контрольных работах, а так же на ОГЭ по математике\. Сначала на эти виды расположения двух окружностей нужно будет обращать особое внимание, потому что различное расположение приводит к многовариантности решения задач, но после отработки заданий в тренажерах вы гарантировано их запомните ### Окружности касаются \(ровно 1 общая точка\) Две окружности имеют **ровно одну общую точку**, если они касаются\. Различают два вида касания: ##### Внешнее касание Окружности расположены по разные стороны от общей касательной, это самый частый вариант расположения окружностей\. **Расстояние между центрами:** $$ d = R_1 + R_2 $$  ##### Внутреннее касание Одна окружность находится внутри другой, общая точка лежит на линии центров\. **Расстояние между центрами:** $$ d = R_1 - R_2 $$  \[ Место для иллюстрации: Внешнее и внутреннее касание двух окружностей с отмеченными центрами O1, O2, точкой касания и линией центров \] ### Окружности пересекаются \(ровно 2 общие точки\) > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vzaimnoe-raspolozhenie-dvuh-okruzhnostey](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vzaimnoe-raspolozhenie-dvuh-okruzhnostey). Две окружности пересекаются в **двух точках**, если расстояние между их центрами удовлетворяет двойному неравенству \(неравенство треугольника для $O_1, O_2$ и точки пересечения\): #### Условие пересечения 🎯 $$ R_1 - R_2 < d < R_1 + R_2 $$ #### Главное в пересечении окружностей: Общая хорда пересекающихся окружностей AB перпендикулярна линии центров $O_1O_2$ и делится ею пополам\. Это свойство активно используется в задачах с двумя окружностями, в том числе во второй части ОГЭ по математике\. Рассмотрим это на рисунке  На рисунке AB \- общая хорда двух пересекающихся окружностей, делится отрезком, соединяющим центры пополам ### Окружности не имеют общих точек Если окружности не пересекаются и не касаются, возможны три варианта их взаимного расположения, которые разбираются в этой теме в 8 классе, нужно их тоже учитывать, потому что в задачах чаще всего не будет рисунка, будет просто определение: 1 ##### Расположены вне друг друга \(снаружи\) Расстояние между центрами больше суммы радиусов $$ d > R_1 + R_2 $$  2 ##### **Одна окружность строго внутри другой** Расстояние между центрами меньше разности радиусов $$ d < R_1 - R_2 $$  3 ##### **Концентрические окружности** Центры окружностей совпадают, расстояние между центрами равно 0 $$ d=0 $$  ##### Взаимное расположение ##### Число общих точек ##### Соотношение между $d$ и $R_1, R_2$ **Одна внутри другой \(не касаются\)** $0$ $d < R_1 - R_2$ \(при $d = 0$ — концентрические\) **Внутреннее касание** $1$ $d = R_1 - R_2$ **Пересекаются** $2$ $R_1 - R_2 < d < R_1 + R_2$ **Внешнее касание** $1$ $d = R_1 + R_2$ **Вне друг друга \(снаружи\)** $0$ $d > R_1 + R_2$ #### Важное свойство точки касания\! 💡 При любом касании \(внешнем или внутреннем\) **точка касания строго лежит на прямой **$O_1O_2$, проходящей через центры двух окружностей \(линии центров\)\! ### Разбор типовых заданий на взаимное расположение окружности из проверочных работ для 8 класс Рассмотрим варианты заданий на взаимное расположение окружностей из учебников и задачников для 8 класса по геометрии\. Каждое решение оформлено пошагово, как требуется в домашних и самостоятельных работах\. Обратите особо внимание на то, что из одного условия задачи может следовать две различные картинки \- такие ситуации будут встречаться и на ОГЭ и на ЕГЭ во второй части и именно многовариантность задач с окружности, основанная на **взаимном расположении двух окружностей** то самое место, где ребята часто теряют баллы **Задание:** Радиусы двух окружностей равны $5\text{ см}$ и $8\text{ см}$, а расстояние между их центрами равно $10\text{ см}$\. Каково взаимное расположение этих окружностей? **Подробное решение:** 1\) Из условия задачи: $R_1 = 8\text{ см}$, $R_2 = 5\text{ см}$, расстояние $d = 10\text{ см}$\. 2\) Найдем сумму и разность радиусов: • $R_1 + R_2 = 8 + 5 = 13\text{ см}$; • $R_1 - R_2 = 8 - 5 = 3\text{ см}$\. 3\) Сравним расстояние между центрами $d = 10\text{ см}$ с полученными значениями: $3 < 10 < 13 \implies R_1 - R_2 < d < R_1 + R_2$\. 4\) Неравенство выполнено, следовательно, окружности **пересекаются в двух точках**\. **Ответ:** окружности пересекаются в 2 точках\. **Задание:** Две окружности с радиусами $12\text{ см}$ и $4\text{ см}$ касаются\. Найдите расстояние между их центрами, если касание: а\) внешнее; б\) внутреннее\. **Подробное решение:** 1\) **При внешнем касании:** $d = R_1 + R_2 = 12 + 4 = 16\text{ см}$\. 2\) **При внутреннем касании:** $d = R_1 - R_2 = 12 - 4 = 8\text{ см}$\. **Ответ:** а\) $16\text{ см}$; б\) $8\text{ см}$\. ## Тренажёры с задачами на взаимное расположение окружностей на Экзамео > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vzaimnoe-raspolozhenie-dvuh-okruzhnostey](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vzaimnoe-raspolozhenie-dvuh-okruzhnostey). Отработайте все случаи взаимного расположения двух окружностей с помощью интерактивных тренажёров на платформе «Экзамео»\. Задания для 8 класса охватывают различные варианты пересечения, касания и отсутствия общих точек\. Все упражнения разработаны в соответствии с требованиями ФГОС и опираются на типовые школьные программы по геометрии\. Система автоматически проверяет ответы и предоставляет пошаговые решения, что позволяет сразу разобрать ошибки\. Тренируйтесь в удобном режиме и уверенно справляйтесь с проверочными работами\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vzaimnoe-raspolozhenie-dvuh-okruzhnostey](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vzaimnoe-raspolozhenie-dvuh-okruzhnostey).