> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vzaimnoe_raspolozhenie_pryamoi_i_okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vzaimnoe_raspolozhenie_pryamoi_i_okruzhnosti). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Взаимное расположение прямой и окружности \- 8 класс Справочник содержит всю необходимую теорию по теме «Взаимное расположение прямой и окружности» в объёме геометрии 8 класса\. Разобраны условия, при которых прямая не пересекает окружность, касается её или пересекает в двух точках; введены понятия секущей и касательной\. Отдельно рассмотрена связь между расстоянием от центра до прямой и величиной радиуса — ключевой критерий для определения типа расположения\. Материал поможет подготовиться к текущим проверочным работам и ОГЭ\. Данная тема является основой для дальнейшего изучения угловых и метрических свойств в окружности\. Отработать теорию вы сможете в тренажерах в конце страницы ## 3 случая взаимного расположения прямой и окружности для 8 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vzaimnoe_raspolozhenie_pryamoi_i_okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vzaimnoe_raspolozhenie_pryamoi_i_okruzhnosti). Пусть дана окружность радиуса $r$ с центром в точке $O$, а $d$ — расстояние от центра $O$ до некоторой прямой $p$ \(длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $p$\)\. В зависимости от соотношения между $d$ и $r$ возможны ровно три случая\. Зависимость радиуса и расстояния до прямой лежит в основе задач на взаимное расположение прямой и окружности в 8 классе, рассмотрим примеры таких задач после теории\. ### Секущая Если расстояние от центра окружности до прямой меньше её радиуса \($d < r$\), прямая и окружность имеют **ровно две общие точки и такая прямая называется секущей**\. #### Определение секущей 🎯 Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется **секущей**\. • Отрезок секущей, лежащий внутри окружности, называется **хордой**\.  ### Касательная > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vzaimnoe_raspolozhenie_pryamoi_i_okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vzaimnoe_raspolozhenie_pryamoi_i_okruzhnosti). Если расстояние от центра окружности до прямой равно её радиусу \($d = r$\), прямая и окружность имеют **ровно одну общую точку**\. #### Определение касательной 🎯 Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется **касательной к окружности**, а их общая точка — **точкой касания**\.  #### Главное свойство касательной: Касательная к окружности **перпендикулярна радиусу**, проведённому в точку касания \($p \perp r$\)\. ### Расстояние больше радиуса \($d > r$\) — нет общих точек Если расстояние от центра окружности до прямой больше её радиуса \($d > r$\), прямая и окружность **не имеют общих точек** \($0$ общих точек\)\. Прямая проходит целиком снаружи окружности\.  ### Сводная таблица вариантов расположения ##### Соотношение между $d$ и $r$ ##### Число общих точек ##### Название прямой ##### Геометрическая особенность $d < r$ $2$ **Секущая** Прямая пересекает окружность, образуется хорда\. $d = r$ $1$ **Касательная** Прямая перпендикулярна радиусу в точке касания\. $d > r$ $0$ Проходит вне окружности Прямая и окружность не имеют пересечений\. #### Запомни для решения задач\! 💡 Сколько бы прямая и окружность ни располагались на плоскости, они **никогда не могут иметь больше 2 общих точек**\! #### Примеры использования взаимного расположения прямой и окружности в задачах по геометрии в 8 классе Рассмотрите решения задач, характерных для уроков геометрии в 8 классе на расположение прямой и окружности в 8 классе\. Задачи закладывают основы для **Задание:** Радиус окружности равен $8\text{ см}$\. Каково взаимное расположение прямой и окружности, если расстояние от центра окружности до прямой равно: а\) $5\text{ см}$; б\) $8\text{ см}$; в\) $11\text{ см}$? **Подробное решение:** 1\) По условию $r = 8\text{ см}$\. 2\) **Случай а\) **$d = 5\text{ см}$**:** Так как $5 < 8$ \($d < r$\), прямая является секущей и имеет с окружностью **2 общие точки**\. 3\) **Случай б\) **$d = 8\text{ см}$**:** Так как $8 = 8$ \($d = r$\), прямая является касательной и имеет с окружностью **1 общую точку**\. 4\) **Случай в\) **$d = 11\text{ см}$**:** Так как $11 > 8$ \($d > r$\), прямая проходит вне окружности и имеет **0 общих точек**\. **Ответ:** а\) 2 общие точки \(секущая\); б\) 1 общая точка \(касательная\); в\) 0 общих точек\. **Задание:** Прямая пересекает окружность радиуса $10\text{ см}$ и отсекает хорду длиной $16\text{ см}$\. Найдите расстояние от центра окружности до этой прямой\. **Подробное решение:** 1\) Пусть $AB = 16\text{ см}$ — хорда, образованная пересечением секущей прямой и окружности радиуса $R = OA = OB = 10\text{ см}$\. 2\) Расстояние от центра $O$ до прямой — перпендикуляр $OK \perp AB$\. 3\) В равнобедренном треугольнике $\triangle AOB$ \($OA = OB = 10\text{ см}$\) перпендикуляр $OK$ является высотой и медианой\. Следовательно, $AK = KB = 16 : 2 = 8\text{ см}$\. 4\) Из прямоугольного треугольника $\triangle OAK$ по теореме Пифагора находим искомое расстояние $d = OK$: $OK = \sqrt{OA^2 - AK^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\text{ см}$\. **Ответ:** $6\text{ см}$\. ## Тренажёры по теме «Взаимное расположение прямой и окружности» для 8 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vzaimnoe_raspolozhenie_pryamoi_i_okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vzaimnoe_raspolozhenie_pryamoi_i_okruzhnosti). Закрепить знания о расположении прямой и окружности помогут онлайн\-тренажёры «Экзамео»\. Для восьмиклассников собраны задачи на распознавание случаев касания, пересечения и отсутствия общих точек, а также на применение соответствующих признаков в геометрических конструкциях\. Упражнения составлены с учётом образовательных стандартов и охватывают все типовые ситуации из школьной практики\. Каждое задание сопровождается автоматической проверкой и подробным решением, что позволяет эффективно подготовиться к самостоятельным и контрольным работам\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vzaimnoe_raspolozhenie_pryamoi_i_okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_8/topics/vzaimnoe_raspolozhenie_pryamoi_i_okruzhnosti).