> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/arifmeticheskaya_progressiya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/arifmeticheskaya_progressiya). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Арифметическая прогрессия: формулы n\-го члена и суммы На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме **«Арифметическая прогрессия»** для учащихся **9 класса**\. Эксперты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь девятиклассникам освоить понятие числовых последовательностей, выучить все необходимые формулы $n$\-го члена и суммы, понять принципы решения практико\-ориентированных задач и успешно подготовиться к контрольным работам и сдаче ОГЭ по математике\. В повседневной жизни мы регулярно сталкиваемся с процессами, которые увеличиваются или уменьшаются с равным постоянным шагом: накопительные вклады, физическое ускорение, этажи зданий, схемы выплат кредитов и даже спортивные тренировки\. В математике такие последовательности называются арифметической прогрессией\. ## Арифметическая прогрессия — 9 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/arifmeticheskaya_progressiya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/arifmeticheskaya_progressiya). **Арифметическая прогрессия** — это числовая последовательность $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом $d$\. • **Рекуррентная формула\(формула n\-го члена\):** $a_{n+1} = a_n + d$ • **Разность прогрессии \(**$d$**\):** число, на которое каждый следующий член отличается от предыдущего: $$ d = a_{n+1} - a_n $$ **Примеры арифметических последовательностей:** 1\) $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$ — к каждому числу прибавляется $3$; 2\) $10, 8, 6, 4, 2, \ldots$ — из каждого числа вычитается $2$ \(прибавляется $-2$\); 3\) $-15, -10, -5, 0, 5, \ldots$ — к каждому числу прибавляется $5$\. **Виды прогрессии по значению d:** 1\) если $d > 0$, прогрессия **возрастающая** \(например: $3, 7, 11, 15, \ldots$, где $d = 4$\); 2\) если $d < 0$, прогрессия **убывающая** \(например: $20, 15, 10, 5, \ldots$, где $d = -5$\); 3\) если $d = 0$, прогрессия **стационарная** \($7, 7, 7, 7, \ldots$\)\. ### Формулы арифметической прогрессии Для успешного решения всех типов задач в 9 классе и на ОГЭ достаточно выучить ключевые формулы, они помогут вам на самостоятельных работах по арифметическим прогрессиям: ##### Название формулы ##### Математическая запись ##### Описание и когда применять **Формула **$n$**\-го члена** $a_n = a_1 + d(n - 1)$ Позволяет найти любой член прогрессии с номером $n$, зная только первый член $a_1$ и разность $d$\. **Характеристическое свойство** $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ Каждый член \(начиная со второго\) равен среднему арифметическому своих соседних членов\. **Сумма первых **$n$** членов \(Основная\)** $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ Применяется, когда известны **первый** \($a_1$\) и **последний** \($a_n$\) члены суммы\. **Сумма первых **$n$** членов \(Через d\)** $S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$ Применяется, когда **последний член **$a_n$** неизвестен**, но дана разность $d$\. **Связь двух любых членов** $a_n = a_k + d(n - k)$ Позволяет выразить любой член $a_n$ через любой другой известный член $a_k$\. Для ОГЭ по математике эти формулы запоминать не нужно, они будут в справочном материале, однако запомнить как их использовать будет очень полезно\. ##### Арифметическая прогрессия в ОГЭ и ЕГЭ по математике На экзаменах вы будете встречать задачи, связанные с арифметическими прогрессиями \- на ОГЭ это 14 задание, а вот на ЕГЭ профильного уровня арифметическая прогрессия является просто частью задач во второй формуле #### Где арифметическая прогрессия применяется в реальной жизни? Законы арифметической прогрессии лежат в основе множества повседневных и профессиональных процессов: ##### 1\. Финансы и копилка Вы решили откладывать деньги: в первую неделю 100 рублей, а в каждую последующую — на 50 рублей больше, чем в предыдущую \(100, 150, 200, 250\.\.\.\)\. С помощью формулы суммы $S_n$ можно за пару секунд посчитать, сколько денег накопится ровно за 52 недели \(за год\), не складывая 52 числа вручную\! ##### 2\. Спорт Спортсмен на тренировке увеличивает количество отжиманий каждый день на 3 раза\. Количество отжиманий образует арифметическую прогрессию Например в первый день он делал 20 отжиманий, во второй \- 23, в третий 26 и так далее ##### 3\. Медицина и спорт Врач назначает прием лекарства по схеме: начать с 5 капель и каждый день увеличивать дозу на 2 капли\. На второй день надо принять 7 капель, далее 9 и так далее ##### 4\. Архитектура и амфитеатры В зрительных залах и амфитеатрах каждый следующий ряд содержит на фиксированное число кресел больше, чем предыдущий \(например, в 1 ряду — 15 мест, во 2 — 18, в 3 — 21\.\.\.\)\. #### Алгоритм решения задач на арифметическую прогрессию Чтобы безошибочно решать задачи на самостоятельных работах по арифметическим прогрессиям и в задании №14 ОГЭ, придерживайтесь этого алгоритма: ### Порядок действий: Пошаговый алгоритм > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/arifmeticheskaya_progressiya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/arifmeticheskaya_progressiya). **Выпишите известные величины из условия:** определите, что дано \($a_1$, $d$, $n$, $a_n$ или $S_n$\)\. Найдите разность $d$ \(если она не дана\): используйте формулу $d = a_{k+1} - a_k$ или выразите $d$ через связь двух членов $a_n = a_k + d(n - k)$\. **Выберите нужную формулу:** • Если нужно найти отдельное значение в конкретный день/шаг $\to$ формула $n$\-го члена $a_n = a_1 + d(n - 1)$\. • Если нужно найти **общее количество** за все дни/шаги вместе $\to$ формула суммы $S_n$\. **Подставьте данные в формулу и вычислите итоговый ответ\.** ##### Ошибки при решении задач на арифметические прогрессии При решении задач на арифметическую прогрессию ученики 9 класса чаще всего допускают следующие две ошибки: ##### Ошибка в коэффициенте при разности \(n вместо n\-1\) Писать в формуле $a_n = a_1 + d \cdot n$ вместо $a_1 + d(n - 1)$\. Помните: чтобы дойти от 1\-го члена до $n$\-го, мы делаем ровно $n - 1$ шаг\! ##### Путаница между отдельным членом an и суммой Sn Путать «сколько проехали **в 5\-й день**» \($a_5$\) и «сколько проехали **ВСЕГО за 5 дней**» \($S_5$\)\. Внимательно читайте вопрос задачи\! Постарайтесь обращать на это внимание на самостоятельных и контрольных работах чтобы правильно выполнять задачи ##### Пример решения задач на арифметическую прогрессию Рассмотрим примеры решения и оформления задач на арифметическую последовательность формата ОГЭ по математике \(задание №14\) \. **Задание:** В амфитеатре 14 рядов\. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем ряду на 3 места больше, чем в предыдущем\. Сколько всего мест в амфитеатре? **Подробное решение:** 1\) **Запишем дано:** • Первый член $a_1 = 20$ \(мест в 1 ряду\)\. • Разность $d = 3$ \(увеличение мест в каждом ряду\)\. • Количество рядов $n = 14$\. 2\) Нам нужно найти общее количество мест во всех 14 рядах, то есть сумму $S_{14}$\. 3\) Применим формулу суммы через $d$: $S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$ 4\) Подставим известные значения: $S_{14} = \frac{2 \cdot 20 + 3 \cdot (14 - 1)}{2} \cdot 14$ $S_{14} = \frac{40 + 3 \cdot 13}{2} \cdot 14 = \frac{40 + 39}{2} \cdot 14 = \frac{79}{2} \cdot 14 = 79 \cdot 7 = 553$\. **Ответ:** 553 места\. **Задание:** Дана арифметическая прогрессия $-12, -8, -4, \ldots$ Найдите номер члена этой прогрессии, равного $40$\. **Подробное решение:** 1\) **Запишем данные:** • Первый член $a_1 = -12$\. • Второй член $a_2 = -8$\. • Найдем разность: $d = a_2 - a_1 = -8 - (-12) = -8 + 12 = 4$\. • Искомый член $a_n = 40$\. 2\) Используем формулу $n$\-го члена: $a_n = a_1 + d(n - 1)$ $40 = -12 + 4(n - 1)$ 3\) Решим полученное уравнение относительно $n$: $40 + 12 = 4(n - 1)$ $52 = 4(n - 1)$ $n - 1 = 52 : 4$ $n - 1 = 13 \implies n = 14$\. **Ответ:** $n = 14$\. ## Задания на арифметическую прогрессию для 9 класса на Экзамео На образовательной платформе **Экзамео** подготовлена база заданий и онлайн\-тренажёров по теме **«Арифметическая прогрессия» для 9 класса**\. Систематические тренировки тренажёре помогут отработать решение прототипов задания №14 из ОГЭ по математике, научиться мгновенно применять формулы суммы и $n$\-го члена прогрессии --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/arifmeticheskaya_progressiya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/arifmeticheskaya_progressiya).