> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/chetnye_i_nechetnye_funktsii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/chetnye_i_nechetnye_funktsii). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Чётные и нечётные функции На это странице разбираем тему алгебры за 9 класс — **«Чётные и нечётные функции»**\. Понятие чётности является одной из важнейших исследуемых характеристик функции\. Здесь вы найдёте всю необходимую теорию по программе **чётная и нечётная функция 9 класс**: строгие алгебраические определения, свойства симметрии, которой обладают **графики чётной и нечётной функции**, пошаговый **алгоритм определения чётности**, а также подробный разбор типовых примеров из проверочных работ\. Отработать тему чётные и нечётные функции можно после изучения теории в [интерактивных тренажёрах](#chetnaya-i-nechetnaya-funktsiya-9-klass-na-platforme-ekzameo) с подробными решениями\. ## Определение чётной и нечётной функции > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/chetnye_i_nechetnye_funktsii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/chetnye_i_nechetnye_funktsii). Первое и главное условие для исследования функции на чётность — **симметричность её области определения **$D(f)$** относительно начала координат**\. Это означает, что если точка $x$ принадлежит области определения, то и противоположная точка $-x$ также обязана в неё входить \($x \in D(f) \implies -x \in D(f)$\)\. Проблема в том, что очень часто девятиклассники забывают про область определения, поэтому обязательно уделите ей внимание\. Если область определения симметрична, то функцию проверяют по следующему правилу: #### Определение чётной и нечётной функции 🎯 • Функция $y = f(x)$ называется **чётной**, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство: $$ f(-x) = f(x) $$ • Функция $y = f(x)$ называется **нечётной**, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство: $$ f(-x) = -f(x) $$ Если не выполняется ни одно из этих равенств \(или область определения несимметрична\), то функция называется **функцией общего вида** \(ни чётной, ни нечётной\)\. Из этого можно сделать вывод, что для того, чтобы определить четность функции достаточно подставить \-х вместо х и преобразовать выражение, а далее сравнить его со исходной функцией \- если совпадет, значит четная, если нет, надо домножить всю функцию на минус 1 и сравнить \- если совпадет, значит нечетная, а если не совпала оба раза \- значит функция общего вида ### Графики чётных и нечётных функций и их симметрия Чётность функции помимо подстановки отрицательного аргумента в функции можно так же определить по симметрии графика\. ##### 1\. График чётной функции 📈 График чётной функции **симметричен относительно оси ординат \(**$OY$**\)**\.  *\(Примеры: парабола *$y = x^2$*, модуль *$y = |x|$*, косинус *$y = \cos x$*\)\. Если перегнуть чертёж по оси *$OY$*, левая и правая ветви полностью совпадут\.* ##### 2\. График нечётной функции 📉 График нечётной функции **симметричен относительно начала координат — точки **$(0; 0)$\.  *\(Примеры: кубическая парабола *$y = x^3$*, гипербола *$y = \dfrac{1}{x}$*, синус *$y = \sin x$*\)\. Поворот графика на *$180^\circ$* вокруг *$(0;0)$* оставляет его неизменным\.* ### Свойства чётных и нечётных функций > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/chetnye_i_nechetnye_funktsii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/chetnye_i_nechetnye_funktsii). Ниже перечислены основные **свойства чётных и нечётных функций**, помогающие проводить алгебраические преобразования и которые могут понадобиться на устных зачетах по алгебре в 9 классе: ##### Операция над функциями ##### Результат для чётных функций ##### Результат для нечётных функций **Сумма / Разность \(**$f \pm g$**\)** Сумма двух чётных функций всегда **чётная**\. Сумма двух нечётных функций всегда **нечётная**\. **Произведение / Частное \(**$f \cdot g$**, **$\frac{f}{g}$**\)** Произведение двух чётных функций **чётно**\. Произведение двух нечётных функций **чётно** \($- \cdot - = +$\)\. **Смешанное произведение** Произведение чётной и нечётной функций всегда **нечётно** \($+ \cdot - = -$\)\. Произведение чётной и нечётной функций всегда **нечётно**\. #### Важное свойство нечётной функции\! 💡 Если непрерывная нечётная функция $y = f(x)$ определена в точке $x = 0$, то её значение в этой точке **строго равно нулю**: $$ f(0) = 0 $$ *\(Так как *$f(-0) = -f(0) \implies f(0) = -f(0) \implies 2f(0) = 0 \implies f(0) = 0$*\)\.* ### Алгоритм: как определить чётную и нечётную функцию Чтобы исследовать функцию $y = f(x)$ на чётность, придерживайтесь единого пошагового алгоритма: ### Порядок действий: **Найдите область определения **$D(f)$**:** проверьте, является ли она симметричной относительно нуля\. Если $D(f)$ несимметрична \(например, $x \in [0; +\infty)$\), то функция сразу является **функцией общего вида**\. **Составьте выражение для **$f(-x)$**:** подставьте вместо переменной $x$ выражение $(-x)$ в аналитическую формулу функции\. **Упростите выражение и сделайте вывод:** • Если получилось $f(-x) = f(x)$ $\implies$ функция **чётная**; • Если получилось $f(-x) = -f(x)$ $\implies$ функция **нечётная**; • Если $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$ $\implies$ функция **общего вида**\. ### Разбор типовых задач из контрольных работ за 9 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/chetnye_i_nechetnye_funktsii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/chetnye_i_nechetnye_funktsii). Рассмотрите решения характерных задач на исследование чётности функций из школьной программы за 9 класс\. **Задание:** Исследуйте на чётность функцию $f(x) = x^4 - 3x^2 + 5$\. **Подробное решение:** 1\) Область определения функции — все действительные числа \($D(f) = \mathbb{R}$\)\. Она симметрична относительно нуля\. 2\) Найдем $f(-x)$, подставив $(-x)$ вместо $x$: $$ f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 5 $$ 3\) Так как $(-x)^4 = x^4$ и $(-x)^2 = x^2$, получаем: $$ f(-x) = x^4 - 3x^2 + 5 = f(x) $$ 4\) Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является чётной\. **Ответ:** функция $f(x)$ — чётная\. **Задание:** Исследуйте на чётность функцию $f(x) = \dfrac{2x^3}{x^2 - 4}$\. **Подробное решение:** 1\) Область определения: знаменатель не равен нулю \($x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$\)\. Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$ симметрична относительно начала координат\. 2\) Найдем выражение для $f(-x)$: $$ f(-x) = \dfrac{2(-x)^3}{(-x)^2 - 4} = \dfrac{-2x^3}{x^2 - 4} = -\dfrac{2x^3}{x^2 - 4} $$ 3\) Заметим, что полученное выражение равно $-f(x)$: $$ f(-x) = -f(x) $$ 4\) Следовательно, данная функция является нечётной\. **Ответ:** функция $f(x)$ — нечётная\. ## Тренажёры по теме чётные и нечётные функции для 9 класса Отработать тему **чётная и нечётная функция** можно с помощью тренажёров для 9 классе на образовательной платформе «Экзамео»\. Система автоматически проверяет полученные ответы и показывает подробные пошаговые решения к каждому заданию, чтобы вы могли лучше разобраться в теме и подготовиться к самостоятельным и контрольным работам\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/chetnye_i_nechetnye_funktsii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/chetnye_i_nechetnye_funktsii).