> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/chislovye_posledovatelnosti_2](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/chislovye_posledovatelnosti_2). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Прогрессии: арифметическая и геометрическая На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме **«Числовые последовательности»** для учащихся **9 класса**\. Эксперты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь девятиклассникам глубоко понять свойства последовательностей, выучить все формулы арифметической и геометрической прогрессий, научиться решать контрольные работы и успешно подготовиться к сдаче ОГЭ по математике\. В повседневной жизни и природе мы постоянно сталкиваемся со списками чисел, идущих в строго определённом порядке: нумерация домов на улице, дни недели, тиканье часов, этапы вычислений или рост вкладов в банке\. В алгебре такие упорядоченные наборы называют числовыми последовательностями\. ## Понятие числовой последовательности — 9 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/chislovye_posledovatelnosti_2](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/chislovye_posledovatelnosti_2). **Числовая последовательность** — это множество чисел, где каждому числу присвоен свой порядковый номер $n$ \($n = 1, 2, 3, \ldots$\)\. • **Обозначение:** последовательность записывают как $(a_n)$ или $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$, где $a_1$ — первый член, а $a_n$ — $n$\-й \(общий\) член\. • **Способы задания последовательностей:** 1\) **Словесный** — описание правила словами \(например: «последовательность простых чисел»\); 2\) **Аналитический \(формулой **$n$**\-го члена\)** — например, $a_n = 2n + 1$; 3\) **Рекуррентный** — когда любой член выражается через предыдущие \(например, $a_{n+1} = a_n + 5$ при известном $a_1$\)\. ### Арифметическая и геометрическая прогрессии В школьном курсе алгебры 9 класса особое место занимают два важнейших вида числовых последовательностей — **арифметическая** и **геометрическая** прогрессии\. Их главное различие заключается в математическом действии, с помощью которого формируется каждый следующий член: ##### Арифметическая прогрессия \(сложение\) Каждый следующий член получается **прибавлением** одного и того же числа $d$ \(разность\): $a_{n+1} = a_n + d$ *Пример:* $3, 7, 11, 15, 19, \ldots$ \($d = 4$\)\. ##### Геометрическая прогрессия \(умножение\) Каждый следующий член получается **умножением** на одно и то же ненулевое число $q$ \(знаменатель\): $b_{n+1} = b_n \cdot q$ *Пример:* $3, 6, 12, 24, 48, \ldots$ \($q = 2$\)\. ### Сводная таблица формул прогрессий > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/chislovye_posledovatelnosti_2](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/chislovye_posledovatelnosti_2). Для подготовки к самостоятельным, контрольным работам и экзаменам удобно использовать единую сводную таблицу формул арифметической и геометрической прогрессий: ##### Параметр / Формула ##### Арифметическая прогрессия ##### Геометрическая прогрессия **Шаг прогрессии** Разность: $d = a_{n+1} - a_n$ Знаменатель: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$ **Формула **$n$**\-го члена** $a_n = a_1 + d(n - 1)$ $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ **Характеристическое свойство** $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$ **Сумма первых **$n$** членов** $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ $S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$ $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ \($q \neq 1$\) Для ОГЭ по математике ключевые формулы прогрессий хранятся в справочных материалах, однако быстро определять тип последовательности и правильно подставлять значения невероятно важно для получения высокого балла\. ##### Числовые последовательности в экзаменах и контрольных работах В школьной программе 9 класса контрольная работа по теме «Числовые последовательности» проверяет сразу два навыка: вычисление членов по формулам и решение текстовых задач из задания №14 ОГЭ\. На ЕГЭ профильного уровня эти знания применяются в сложных банковских задачах \(№16\) и олимпиадной задаче №19\. #### Числовые последовательности вокруг нас Законы прогрессий легко заметить в обыденной жизни, если посмотреть на них с точки зрения математики: ##### 1\. Линейные процессы \(Арифметические\) • Выплата кредита с равным уменьшением долга; • Дозировка лекарства с ежедневным ростом на одинаковое число капель; • Количество ступней или ступеней на лестничных пролётах\. ##### 2\. Взрывные процессы \(Геометрические\) • Рост банковского депозита при ежегодном начислении сложных процентов; • Деление клеток и размножение бактерий в благоприятной среде; • Цепная реакция в физике и вирусные репосты в социальных сетях\. #### Алгоритм определения типа последовательности Чтобы быстро понять, с какой именно последовательностью вы столкнулись в контрольной работе или задаче ОГЭ, используйте пошаговый алгоритм: ### Порядок действий: Пошаговый алгоритм **Запишите первые несколько членов последовательности:** выпишите подряд $a_1, a_2, a_3, a_4$\. **Проверьте разности соседних членов:** найдите $a_2 - a_1$ и $a_3 - a_2$\. Если разности равны, то перед вами **арифметическая прогрессия** \($d = a_2 - a_1$\)\. **Проверьте отношения соседних членов:** если разности разные, посчитайте $\frac{a_2}{a_1}$ и $\frac{a_3}{a_2}$\. Если отношения равны, перед вами **геометрическая прогрессия** \($q = \frac{a_2}{a_1}$\)\. \*\*Примените подходящую формулу $n$\-го члена или суммы\.\*\* ##### Типичные ошибки при решении задач на последовательности При синтаксическом и алгебраическом анализе заданий ученики 9 класса чаще всего допускают следующие две ошибки: ##### Путаница в формуле n\-го члена Использовать формулу $a_n = a_1 + d \cdot n$ или $b_n = b_1 \cdot q^n$ вместо показателя \*\*$n - 1$\*\*\. Напоминаем: количество шагов от первого элемента всегда на единицу меньше его номера\! ##### Неверный выбор между an и Sn Искать сумму $S_n$, когда в условии спрашивается значение отдельного элемента $a_n$ \(или наоборот\)\. Всегда обращайте внимание на слова «всего», «суммарно» или «на конкретном шаге»\. Постарайтесь обращать на это внимание на самостоятельных и контрольных работах, чтобы правильно выполнять задачи\. ##### Разбор практических задач на последовательности Рассмотрим примеры решения и оформления типовых задач по теме «Числовые последовательности» из курса алгебры 9 класса\. **Задание:** Последовательность задана формулой $c_n = n^2 - 3n$\. Найдите пятый член этой последовательности \($c_5$\) и проверьте, является ли число $10$ членом данной последовательности\. **Подробное решение:** 1\) \*\*Найдём $c_5$:\*\* подставим $n = 5$ в формулу: $c_5 = 5^2 - 3 \cdot 5 = 25 - 15 = 10$\. 2\) **Проверим число 10:** при подстановке $n = 5$ мы получили в точности $10$\. Так как $n = 5$ — целое положительное натуральное число, число 10 является 5\-м членом этой последовательности\. **Ответ:** $c_5 = 10$; да, является\. **Задание:** Последовательность задана условиями: $y_1 = 3$, $y_{n+1} = 2y_n - 1$\. Найдите третий член этой последовательности \($y_3$\)\. **Подробное решение:** 1\) Посчитаем второй член $y_2$ при $n = 1$: $y_2 = 2y_1 - 1 = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$\. 2\) Посчитаем третий член $y_3$ при $n = 2$: $y_3 = 2y_2 - 1 = 2 \cdot 5 - 1 = 10 - 1 = 9$\. **Ответ:** $y_3 = 9$\. ## Задания на числовые последовательности для 9 класса на Экзамео На образовательной платформе **Экзамео** подготовлена база заданий и онлайн\-тренажёров по теме **«Числовые последовательности» для 9 класса**\. Систематические тренировки на тренажёре помогут отработать решение всех типов контрольных работ, научат легко различать прогрессии и безошибочно решать задание №14 из ОГЭ по математике\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/chislovye_posledovatelnosti_2](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/chislovye_posledovatelnosti_2).