> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/dlina_okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/dlina_okruzhnosti). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Задачи на длину окружности для 9 класса **Задачи на длину окружности** входят в фундаментальный раздел геометрии за **9 класс** \(глава «Длина окружности и площадь круга» по учебнику Атанасяна\) и составляют основу практических и геометрических заданий ОГЭ по математике \(номера 5, 15, 16 и 23\)\. В отличие от периметров многоугольников, которые вычисляются простым сложением отрезков, длина замкнутой кривой линии выражается через фундаментальную математическую константу $\pi$ и линейные параметры круга — радиус или диаметр\. В курсе 9 класса школьники изучают переход от периметров правильных многоугольников к длине окружности, вывод формул $C = 2\pi R$ и $C = \pi D$, а также расчёт длины дуги через центральный градусный угол\. Эти навыки регулярно требуются в прикладных сюжетах ОГЭ: от расчёта числа оборотов и пробега автомобильного колеса до нахождения путей движения стрелок часов и планиметрических конструкций с касательными\. Ниже систематизирована вся теория, представлен строгий геометрический вывод формулы, пошагово разобраны типовые задачи и открыт доступ к [онлайн\-тренажёрам Экзамео](#trenazher-zadachi-na-dlinu-okruzhnosti-ekzameo) с моментальной проверкой ответов\. ## Формула длины окружности и ключевые соотношения — 9 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/dlina_okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/dlina_okruzhnosti). **Окружность** — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра на расстояние радиуса $R$\. Длина окружности \($C$\) выражается через радиус $R$ или диаметр $D = 2R$: $$ C = 2\pi R = \pi D $$  • **Геометрический смысл числа **$\pi$**:** отношение длины любой окружности к её диаметру является величиной постоянной и обозначается греческой буквой $\pi$ \(иррациональное число $\pi \approx 3{,}14159... \approx \dfrac{22}{7}$\): $$ \pi = \dfrac{C}{D} = \dfrac{C}{2R} $$ • **Один оборот колеса:** путь, который прокатывает колесо по прямой за один полный оборот без проскальзывания, в точности равен длине его окружности: $S_1 = C = \pi D$\. При $N$ оборотах пройденное расстояние равно $S = N \cdot \pi D$\. • **Линейная пропорциональность:** в отличие от площади, длина окружности зависит от радиуса линейно: увеличение радиуса в $k$ раз приводит к увеличению длины окружности ровно в $k$ раз\. В курсе геометрии 9 класса формула длины окружности строго выводится через предел периметров правильных вписанных и описанных многоугольников: 1\. Возьмём две произвольные окружности с радиусами $R_1$ и $R_2$ и длинами $C_1$ и $C_2$\. Впишем в каждую из них правильный $n$\-угольник\. 2\. Сторона правильного вписанного $n$\-угольника выражается через радиус формулой $a_n = 2R \sin\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right)$, а его периметр равен: $$ P_n = n \cdot a_n = 2R \cdot n \sin\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right) $$ 3\. Составим отношение периметров этих двух многоугольников: $$ \dfrac{P_{n, 1}}{P_{n, 2}} = \dfrac{2R_1 \cdot n \sin\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right)}{2R_2 \cdot n \sin\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right)} = \dfrac{2R_1}{2R_2} $$ 4\. При бесконечном увеличении числа сторон многоугольника \($n \to \infty$\) контур многоугольника приближается к окружности, а его периметр стремится к длине окружности: $P_n \to C$\. 5\. Переходя к пределу, получаем пропорцию: $\dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{2R_1}{2R_2}$, откуда перекрёстным умножением: $$ \dfrac{C_1}{2R_1} = \dfrac{C_2}{2R_2} = \text{const} = \pi $$ Отношение длины окружности к её диаметру не зависит от размеров окружности и всегда равно числу $\pi$\. Отсюда следует каноническая формула: $C = 2\pi R = \pi D$\.  ### Формулы длины окружности и её элементов Для быстрого выбора формулы при решении геометрических и практических задач используйте таблицу соотношений: ##### Элемент окружности ##### Формула длины ##### Выражение радиуса ##### Применение в задачах **Окружность \(через радиус\)** $C = 2\pi R$ $R = \dfrac{C}{2\pi}$ Базовая формула планиметрии при известном радиусе\. **Окружность \(через диаметр\)** $C = \pi D$ $D = \dfrac{C}{\pi}$ Применяется в прикладных задачах ОГЭ \(колёса, трубы, стволы деревьев\)\. **Длина дуги \(градусы\)** $l = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ}$ $R = \dfrac{180^\circ \cdot l}{\pi \alpha}$ $\alpha$ — центральный угол дуги\. При $\alpha = 180^\circ$ длина полуокружности равна $\pi R$\. **Длина дуги \(радианы\)** $l = R \cdot \varphi$ $R = \dfrac{l}{\varphi}$ $\varphi$ — угол в радианах\. Связь радиан и градусов: $1\text{ рад} = \dfrac{180^\circ}{\pi}$\. **Число оборотов колеса** $N = \dfrac{S}{\pi D}$ $S$ — путь, $D$ — диаметр Используется для расчёта расстояний одометров, спидометров и передачи шестерён\. #### Где встречаются задачи на длину окружности Задания на вычисление длины окружности и её дуг включены в различные разделы школьной программы и экзаменационные КИМы: ##### Задания 15 и 16 ОГЭ \(геометрия\) Нахождение радиуса по известной длине окружности \($C = 18\pi \implies R = 9$\), расчёт длины дуги по центральному углу, а также вычисление периметров секторов в 1–2 действия\. ##### Задание 5 ОГЭ \(шины и колёса\) Расчёт пути автомобиля за один оборот колеса \($L = \pi D$\), сравнение изменения пробега при установке шин другого диаметра и определение погрешности показаний спидометра\. ##### Контрольные работы за 9 класс Проверочные работы по теме «Длина окружности и площадь круга»: расчёт путей часовых стрелок, нахождение центрального угла по длине дуги, задачи на вращающиеся блоки и шкивы\. ##### Профильный ЕГЭ и физика В стереометрии ЕГЭ \(длина окружности основания конуса и цилиндра\), а также в кинематике физики для вычисления линейной скорости вращения: $v = \dfrac{2\pi R}{T} = 2\pi R \nu$\. #### Задания на длину окружности с пошаговыми решениями Ниже приведены подробные решения пяти задач на длину окружности, дуги и вращение, характерных для самостоятельных работ в 9 классе и заданий ОГЭ по математике\. **Условие:** Радиус окружности равен $8\text{ см}$\. Найдите длину этой окружности\. Чему равна длина окружности, если её диаметр равен $10\text{ см}$? В ответе укажите точные значения с числом $\pi$\. **Пошаговое решение:** 1\) **Вычислим длину окружности по радиусу \(**$R = 8\text{ см}$**\):** $$ C_1 = 2\pi R = 2 \cdot \pi \cdot 8 = 16\pi\text{ см} $$ 2\) **Вычислим длину окружности по диаметру \(**$D = 10\text{ см}$**\):** $$ C_2 = \pi D = 10\pi\text{ см} $$ *\(Если в практической задаче требуется приближённое значение, подставляют *$\pi \approx 3{,}14$*: *$C_1 \approx 16 \cdot 3{,}14 = 50{,}24\text{ см}$*, *$C_2 \approx 10 \cdot 3{,}14 = 31{,}4\text{ см}$*\)*\. **Ответ:** $16\pi\text{ см}$ и $10\pi\text{ см}$\. **Условие:** Радиус окружности равен $15$, а центральный угол дуги равен $72^\circ$\. Найдите длину этой дуги\. В ответе запишите $\dfrac{l}{\pi}$\. **Пошаговое решение:** 1\) **Запишем формулу длины дуги окружности в градусах:** $$ l = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ} $$ 2\) **Подставим исходные числовые данные \(**$R = 15, \alpha = 72^\circ$**\):** $$ l = \dfrac{\pi \cdot 15 \cdot 72^\circ}{180^\circ} $$ 3\) **Выполним рациональное сокращение дроби:** • Сократим числа $15$ и $180$ на $15$: $\dfrac{180}{15} = 12$\. • Подставим полученный знаменатель: $$ l = \dfrac{\pi \cdot 72}{12} = 6\pi $$ 4\) **Разделим результат на **$\pi$** по требованию условия задачи:** $$ \dfrac{l}{\pi} = \dfrac{6\pi}{\pi} = 6 $$ **Ответ:** $6$\. **Условие:** Длина дуги окружности равна $10\pi\text{ см}$, а соответствующий ей центральный угол равен $120^\circ$\. Найдите радиус этой окружности\. **Пошаговое решение:** 1\) **Запишем формулу длины дуги:** $$ l = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ} $$ 2\) **Выразим радиус окружности \(**$R$**\):** $$ R = \dfrac{180^\circ \cdot l}{\pi \alpha} $$ 3\) **Подставим заданные величины \(**$l = 10\pi, \alpha = 120^\circ$**\):** $$ R = \dfrac{180 \cdot 10\pi}{\pi \cdot 120} = \dfrac{180 \cdot 10}{120} $$ 4\) **Сократим дробь:** Числа $180$ и $120$ сокращаются на $60$: $\dfrac{180}{120} = \dfrac{3}{2}$\. $$ R = \dfrac{3 \cdot 10}{2} = \dfrac{30}{2} = 15\text{ см} $$ **Ответ:** $15\text{ см}$\. **Условие:** Колесо велосипеда имеет диаметр $70\text{ см}$\. Сколько полных оборотов сделает колесо на дистанции $2198\text{ метров}$? При расчётах примите $\pi \approx 3{,}14$\. **Пошаговое решение:** 1\) **Согласуем единицы измерения:** Переведём диаметр колеса в метры: $$ D = 70\text{ см} = 0{,}7\text{ м} $$ 2\) **Найдём длину окружности колеса \(путь за один полный оборот\):** $$ C = \pi D = 3{,}14 \cdot 0{,}7 = 2{,}198\text{ метра} $$ 3\) **Вычислим необходимое число оборотов колеса \(**$N$**\):** Разделим общее расстояние $S = 2198\text{ м}$ на длину окружности: $$ N = \dfrac{S}{C} = \dfrac{2198}{2{,}198} = 1000\text{ оборотов} $$ **Ответ:** $1000$\. **Условие:** Длина минутной стрелки настенных часов равна $6\text{ см}$\. Какой путь преодолеет конец этой стрелки за $40\text{ минут}$? Примите $\pi \approx 3{,}14$, результат округлите до десятых\. **Пошаговое решение:** 1\) **Определим градусную меру угла поворота стрелки:** За $60\text{ минут}$ минутная стрелка описывает полный круг в $360^\circ$\. Скорость поворота составляет $360^\circ : 60 = 6^\circ/\text{мин}$\. За $40\text{ минут}$ стрелка повернётся на угол: $$ \alpha = 40 \cdot 6^\circ = 240^\circ $$ *\(Или через долю круга: *$\dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3}$* полного оборота\)*\. 2\) **Вычислим длину дуги, описанной концом стрелки радиуса **$R = 6\text{ см}$**:** $$ l = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ} = \dfrac{\pi \cdot 6 \cdot 240^\circ}{180^\circ} = \dfrac{\pi \cdot 1440}{180} = 8\pi\text{ см} $$ 3\) **Выполним численное вычисление и округление:** $$ l = 8 \cdot 3{,}14 = 25{,}12\text{ см} \approx 25{,}1\text{ см} $$ **Ответ:** $25{,}1\text{ см}$\. ##### Типичные ошибки в задачах на длину окружности При решении геометрических задач на длину окружности девятиклассники чаще всего допускают следующие четыре ошибки: ##### Путаница формул длины и площади Вычисляют длину окружности как $\pi R^2$, путая её с площадью круга\. Длина окружности — одномерная линейная величина \(сантиметры, метры\), поэтому радиус входит в формулу строго **в первой степени**: $C = 2\pi R$\. ##### Деление на 360° вместо 180° в формуле дуги Записывают формулу длины дуги как $l = \dfrac{\pi R \alpha}{360^\circ}$, теряя множитель 2 в числителе\. Формула $C = 2\pi R$ после сокращения двойки со знаменателем $360^\circ$ даёт в знаменателе строго $180^\circ$: $l = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ}$\. ##### Задвоение коэффициента при диаметре Зная диаметр $D$, вычисляют длину по ошибочной формуле $C = 2\pi D$\. Двойка нужна только при работе с радиусом\! При вычислении через диаметр длина окружности равна просто $\pi D$\. ##### Преждевременное округление числа π В заданиях ОГЭ, где в ответе требуют указать величину $\dfrac{l}{\pi}$, начинают подставлять $3{,}14$ и делить в столбик\. Число $\pi$ в таких заданиях **полностью сокращается**, а в бланк ответа всегда вносится целое число или конечная десятичная дробь\. ## Задания на длину окружности для 9 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/dlina_okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/dlina_okruzhnosti). Онлайн\-тренажёры платформы Экзамео содержат большой банк задач на вычисление длины окружности, дуги и радиуса для учащихся 9 класса и подготовки к экзамену ОГЭ по математике с подробными решениями и проверкой ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/dlina_okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/dlina_okruzhnosti).