> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/funktsiya_y_x_ee_svoistva_i_grafik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/funktsiya_y_x_ee_svoistva_i_grafik). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Функция кубического корня и график На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме **«Функция **$y = \sqrt[3]{x}$**, её свойства и график» по алгебре для 9 класса**\. Материал подготовлен для систематизации знаний школьной программы, выполнения контрольных работ, а также подготовки к заданиям с функциями и графиками на ОГЭ и ЕГЭ по математике\. В курсе алгебры 9 класса функция кубического корня $y = \sqrt[3]{x}$ является обратной к степенной функции с нечётным показателем $y = x^3$\. В отличие от функции квадратного корня $y = \sqrt{x}$, кубический корень извлекается из абсолютно любого действительного числа — как положительного, так и отрицательного\. Понимание этого различия спасает от ошибок при нахождении области определения сложных выражений и построении графиков\. Ниже подробно рассмотрены свойства функции, составлена наглядная таблица ключевых опорных точек, разобран внешний вид графика \(кубической параболы, положенной на бок\), а также решены практические уравнения и неравенства графическим методом\. После теоретического разбора на странице доступны [интерактивные онлайн\-тренажёры с автоматической проверкой ответов](#trenazhery-kubicheskiy-koren-ekzameo) для закрепления темы\. ## Что такое кубический корень? — 9 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/funktsiya_y_x_ee_svoistva_i_grafik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/funktsiya_y_x_ee_svoistva_i_grafik). **Кубическим корнем** \(корнем третьей степени\) из действительного числа $a$ называется такое число $b$, куб которого равен $a$: $$ \sqrt[3]{a} = b \iff b^3 = a $$ • **Главное отличие от квадратного корня:** подкоренное выражение может быть отрицательным\! Например, $\sqrt[3]{-8} = -2$, так как $(-2)^3 = -8$\. • **Вынесение знака минус:** для любого числа $a$ справедливо равенство $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$\. Минус свободно выносится за знак кубического корня\. • **Взаимно обратные функции:** функции $y = x^3$ и $y = \sqrt[3]{x}$ являются взаимно обратными на всей числовой оси, а их графики симметричны относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей — прямой $y = x$\. ### Свойства функции кубического корня Исследуем функцию $y = \sqrt[3]{x}$ по стандартной аналитической схеме, принятой в курсе алгебры 9 класса: ##### Свойство ##### Математическое описание **1\. Область определения **$D(f)$ $x \in (-\infty; +\infty)$ \(любое действительное число $\mathbb{R}$\) **2\. Область значений **$E(f)$ $y \in (-\infty; +\infty)$ \(значения могут быть сколь угодно большими и малыми\) **3\. Чётность / нечётность** **Нечётная функция**: $f(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -f(x)$\. График симметричен относительно начала координат $(0; 0)$ **4\. Нули функции** $y = 0$ при $x = 0$ \(график проходит через точку начала координат\) **5\. Промежутки знакопостоянства** $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$ \(I четверть\); $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$ \(III четверть\) **6\. Монотонность \(возрастание / убывание\)** **Строго возрастает** на всей области определения: если $x_2 > x_1$, то $\sqrt[3]{x_2} > \sqrt[3]{x_1}$ **7\. Ограниченность и экстремумы** Не ограничена ни снизу, ни сверху; точек максимума и минимума не имеет **8\. Непрерывность** Непрерывна на всей числовой прямой $\mathbb{R}$ \(график чертится одной плавной линией без разрывов\) #### График функции кубического корня График функции $y = \sqrt[3]{x}$ представляет собой ветвь кубической параболы, зеркально отражённую относительно прямой $y = x$\. Кривая плавно выходит из третьей координатной четверти, проходит через центр координат $(0; 0)$ и уходит в первую координатную четверть\. Для аккуратного построения графика в тетради используют следующие удобные целочисленные значения аргумента $x$: ##### $x$ $-8$ $-1$ $0$ $1$ $8$ $27$ $-27$ ##### $y = \sqrt[3]{x}$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $-3$ ##### Важная геометрическая особенность в начале координат 💡 В точке $(0; 0)$ касательная к графику функции $y = \sqrt[3]{x}$ расположена строго вертикально \(совпадает с осью ординат $Oy$\)\. Поэтому при приближении к началу координат график становится очень крутым, а при удалении от нуля по оси $Ox$ — напротив, стелется горизонтально, нарастая медленнее любой линейной функции\.  График $y = \sqrt[3]{x}$ ### Сравнение с другими функциями > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/funktsiya_y_x_ee_svoistva_i_grafik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/funktsiya_y_x_ee_svoistva_i_grafik). Чтобы не путать функции корней на экзаменах, сопоставим их ключевые параметры: ##### Кубический корень $y = \sqrt[3]{x}$ • **Область определения:** вся прямая $x \in (-\infty; +\infty)$\. • **Отрицательные аргументы:** существуют \($\sqrt[3]{-27} = -3$\)\. • **График:** расположен в **I и III** четвертях координатной плоскости\. • **Симметрия:** центральная относительно начала координат $(0; 0)$\. ##### Квадратный корень $y = \sqrt{x}$ • **Область определения:** только неотрицательные числа $x \in [0; +\infty)$\. • **Отрицательные аргументы:** не имеют смысла в действительных числах\. • **График:** расположен строго в **I** четверти плоскости\. • **Симметрия:** точек и осей симметрии не имеет \(одна полуветвь параболы\)\. ### Практический разбор типовых задач Рассмотрим образцы решений ключевых задач, которые встречаются в контрольных работах за 9 класс и в заданиях ОГЭ\. **Задание:** Сравните числа: а\) $\sqrt[3]{25}$ и $\sqrt[3]{31}$; б\) $\sqrt[3]{-10}$ и $\sqrt[3]{-17}$; в\) $3$ и $\sqrt[3]{26}$\. **Подробное решение:** Используем фундаментальное свойство: **функция **$y = \sqrt[3]{x}$** строго возрастает на всей области определения**\. Значит, большему значению подкоренного выражения соответствует большее значение корня: 1\) Так как $25 < 31$, то $\sqrt[3]{25} < \sqrt[3]{31}$\. 2\) Сравним отрицательные числа: $-10 > -17$, следовательно, $\sqrt[3]{-10} > \sqrt[3]{-17}$\. 3\) Представим число $3$ в виде кубического корня: $3 = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{27}$\. Так как $27 > 26$, то $\sqrt[3]{27} > \sqrt[3]{26}$, откуда $3 > \sqrt[3]{26}$\. **Ответ:** а\) $\sqrt[3]{25} < \sqrt[3]{31}$; б\) $\sqrt[3]{-10} > \sqrt[3]{-17}$; в\) $3 > \sqrt[3]{26}$\. **Задание:** Решите графически уравнение $\sqrt[3]{x} = x$\. **Подробное решение:** 1\) Построим в одной системе координат графики двух функций: • $y_1 = \sqrt[3]{x}$ \(кубический корень\); • $y_2 = x$ \(прямая — биссектриса I и III четвертей\)\. 2\) Найдём абсциссы точек пересечения этих графиков: • При $x = -1$: $y_1 = \sqrt[3]{-1} = -1$ и $y_2 = -1 \implies$ точка $(-1; -1)$; • При $x = 0$: $y_1 = \sqrt[3]{0} = 0$ и $y_2 = 0 \implies$ точка $(0; 0)$; • При $x = 1$: $y_1 = \sqrt[3]{1} = 1$ и $y_2 = 1 \implies$ точка $(1; 1)$\. 3\) Других точек пересечения графики не имеют, так как при $x > 1$ прямая $y = x$ растёт быстрее кубического корня\. **Ответ:** $x_1 = -1;\ x_2 = 0;\ x_3 = 1$\. #### Пошаговый алгоритм решения заданий с функцией $y = \sqrt[3]{x}$ Чтобы избежать досадных ошибок при работе с функциями корней, следуйте простому алгоритму: **Проверьте показатель степени корня:** если показатель корня нечётный \($3, 5, \ldots$\), подкоренное выражение может принимать любые значения \(ограничение $x \geq 0$ накладывать не нужно\)\. **Учитывайте знаки при вычислениях:** при наличии знака «минус» под корнем вынесите его наружу по правилу $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$\. **Для построения выбирайте полные кубы:** используйте значения аргумента $x \in \{-8, -1, 0, 1, 8\}$, для которых кубический корень извлекается нацело\. **Используйте строгую монотонность при решении неравенств:** так как функция возрастает, неравенство $\sqrt[3]{f(x)} > \sqrt[3]{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$ без смены знака и без дополнительных ограничений ОДЗ\. #### Типичные ошибки школьников При изучении кубического корня девятиклассники чаще всего допускают следующие три характерные ошибки: ##### Поиск ОДЗ как для квадратного корня Школьники по привычке требуют $x \geq 0$ для выражения $\sqrt[3]{x}$\. Это грубая ошибка\! Корень нечётной степени извлекается из абсолютно любого отрицательного числа: $\sqrt[3]{-64} = -4$\. ##### Потеря знака минус перед числом Запись равенства $\sqrt[3]{-8} = 2$ вместо $-2$\. Помните: нечётная степень сохраняет знак числа, поэтому результат извлечения кубического корня из отрицательного числа обязан быть отрицательным\. ##### Построение графика только в первой четверти Изображение графика $y = \sqrt[3]{x}$ только при $x \geq 0$, забывая про левую ветвь в третьей четверти\. График функции кубического корня обязан проходить через точку $(0; 0)$ и продолжаться влево\-вниз\! ## Тренажёры по теме «Функция кубического корня» для 9 класса Ниже представлены интерактивные тренажёры с практическими задачами на исследование свойств функции кубического корня, чтение графиков, сравнение значений и графическое решение уравнений для 9 класса\. К каждому заданию приведено детальное пошаговое объяснение с наглядными графиками, что поможет довести решение таких задач до автоматизма\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/funktsiya_y_x_ee_svoistva_i_grafik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/funktsiya_y_x_ee_svoistva_i_grafik).