> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/geometricheskaya_progressiya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/geometricheskaya_progressiya). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Геометрическая прогрессия: формулы, свойства и примеры На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме **«Геометрическая прогрессия»** для учащихся **9 класса**\. Эксперты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь девятиклассникам освоить понятие числовых последовательностей, выучить все необходимые формулы $n$\-го члена и суммы, понять принципы решения практико\-ориентированных задач и успешно подготовиться к контрольным работам и сдаче ОГЭ по математике\. В повседневной жизни мы регулярно сталкиваемся с процессами, которые увеличиваются или уменьшаются в одно и то же количество раз: сложный процент по вкладам, размножение бактерий, деление клеток, распространение информации в соцсетях и динамика эпидемий\. В математике такие последовательности называются геометрической прогрессией\. ## Геометрическая прогрессия — 9 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/geometricheskaya_progressiya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/geometricheskaya_progressiya). **Геометрическая прогрессия** — это числовая последовательность $b_1, b_2, b_3, \ldots, b_n$ \($b_1 \neq 0$\), в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же ненулевое число $q$\. • **Рекуррентная формула:** $b_{n+1} = b_n \cdot q$ • **Знаменатель прогрессии \(**$q$**\):** число, во сколько раз каждый следующий член отличается от предыдущего: $$ q = \frac{b_{n+1}}{b_n} $$ **Примеры геометрических последовательностей:** 1\) $2, 6, 18, 54, 162, \ldots$ — каждое число умножается на $3$; 2\) $64, 32, 16, 8, 4, \ldots$ — каждое число умножается на $\frac{1}{2}$ \(уменьшается в 2 раза\); 3\) $5, -10, 20, -40, 80, \ldots$ — каждое число умножается на $-2$ \(знакочередующаяся прогрессия\)\. **Виды прогрессии по значению q \(при **$b_1 > 0$**\):** 1\) если $q > 1$, прогрессия **возрастающая** \(например: $3, 6, 12, 24, \ldots$, где $q = 2$\); 2\) если $0 < q < 1$, прогрессия **бесконечно убывающая** \(например: $100, 10, 1, 0{,}1, \ldots$, где $q = 0{,}1$\); 3\) если $q < 0$, прогрессия **знакочередующаяся** \($2, -6, 18, -54, \ldots$\)\. ### Формулы геометрической прогрессии Для успешного решения всех типов задач в 9 классе и на ОГЭ достаточно выучить ключевые формулы, они помогут вам на самостоятельных работах по геометрическим прогрессиям: ##### Название формулы ##### Математическая запись ##### Описание и когда применять **Формула **$n$**\-го члена** $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ Позволяет найти любой член прогрессии с номером $n$, зная только первый член $b_1$ и знаменатель $q$\. **Характеристическое свойство** $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$ или $|b_n| = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$ Квадрат любого члена \(начиная со второго\) равен произведению его соседних членов \(среднее геометрическое\)\. **Сумма первых **$n$** членов \(Основная\)** $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ \(при $q \neq 1$\) Применяется для быстрого подсчёта суммы первых $n$ членов через $b_1$ и $q$\. **Сумма через последний член** $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$ \(при $q \neq 1$\) Удобно использовать, если известный последний член суммы $b_n$\. **Связь двух любых членов** $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$ Позволяет выразить любой член $b_n$ через любой другой известный член $b_k$\. Для ОГЭ по математике эти формулы запоминать не нужно, они будут в справочном материале, однако запомнить как их использовать будет очень полезно\. ##### Геометрическая прогрессия в ОГЭ и ЕГЭ по математике На экзаменах вы будете встречать задачи, связанные с геометрическими прогрессиями — на ОГЭ это задание №14, а на ЕГЭ профильного уровня геометрическая прогрессия активно используется в экономических задачах \(№16\) и задачах с параметром\. #### Где геометрическая прогрессия применяется в реальной жизни? Законы геометрической прогрессии описывают процессы взрывного \(экспоненциального\) роста или быстрого затухания: ##### 1\. Банки и сложные проценты При открытии вклада с капитализацией процентов сумма на счёте увеличивается каждый год в одно и то же число раз\. Например, под 10% годовых сумма ежегодно умножается на 1,1\. ##### 2\. Биология и бактерии Одна бактерия делится пополам каждые 20 минут\. Количество бактерий образует геометрическую прогрессию: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64\.\.\. со знаменателем $q = 2$\. ##### 3\. Соцсети и вирусный контент Вы отправляете репост 3 друзьям, каждый из них отправляет ещё 3 своим знакомым\. Количество просмотров растёт как геометрическая прогрессия: 3, 9, 27, 81, 243\.\.\. ##### 4\. Физика и полураспад При радиоактивном распаде или охлаждении тела величина уменьшается за равные промежутки времени в одинаковое количество раз \(знаменатель $0 < q < 1$\)\. #### Алгоритм решения задач на геометрическую прогрессию Чтобы безошибочно решать задачи на самостоятельных работах по геометрическим прогрессиям и в задании №14 ОГЭ, придерживайтесь этого алгоритма: ### Порядок действий при решении задач на геометрические прогрессии > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/geometricheskaya_progressiya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/geometricheskaya_progressiya). **Выпишите известные величины из условия:** определите, что дано \($b_1$, $q$, $n$, $b_n$ или $S_n$\)\. Найдите знаменатель $q$ \(если он не дан\): используйте формулу $q = \frac{b_{k+1}}{b_k}$ или выразите $q$ через связь двух членов $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$\. **Выберите нужную формулу:** • Если нужно найти отдельное значение в конкретный шаг/период $\to$ формула $n$\-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$\. • Если нужно найти **общее количество** за все периоды вместе $\to$ формула суммы $S_n$\. **Подставьте данные в формулу и аккуратно вычисления со степенями\.** ##### Ошибки при решении задач на геометрические прогрессии При решении задач на геометрическую прогрессию ученики 9 класса чаще всего допускают следующие две ошибки: ##### Ошибка в показателе степени \(n вместо n\-1\) Писать в формуле $b_n = b_1 \cdot q^n$ вместо $b_1 \cdot q^{n-1}$\. Помните: чтобы дойти от 1\-го члена до $n$\-го, мы умножаем на знаменатель $q$ ровно $n - 1$ раз\! ##### Путаница между сложением и умножением Применять правила арифметической прогрессии вместо геометрической \(прибавлять разность $d$ вместо умножения на знаменатель $q$\)\. Внимательно проверяйте тип последовательности\! Постарайтесь обращать на это внимание на самостоятельных и контрольных работах, чтобы правильно выполнять задачи\. ##### Пример решения задач на геометрическую прогрессию Рассмотрим примеры решения и оформления задач на геометрическую последовательность формата ОГЭ по математике \(задание №14\)\. **Задание:** В пробирке находится 5 бактерий\. Каждую минуту каждая бактерия делится на две\. Сколько бактерий будет в пробирке через 6 минут? **Подробное решение:** 1\) **Запишем дано:** • Исходное количество в момент времени 0 минут: $b_1 = 5$\. • Бактерии удваиваются каждые 60 секунд: знаменатель $q = 2$\. • Проходит 6 периодов деления\. Обратите внимание: в начальный момент \($n=1$\) прошло 0 минут, а через 6 минут мы ищем 7\-й член последовательности \($n = 7$\)\. 2\) Применим формулу $n$\-го члена: $b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$ 3\) Подставим известные значения: $b_7 = 5 \cdot 2^6 = 5 \cdot 64 = 320$\. **Ответ:** 320 бактерий\. **Задание:** Вычислите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 3$, а знаменатель $q = 2$\. **Подробное решение:** 1\) **Запишем данные:** • Первый член $b_1 = 3$\. • Знаменатель $q = 2$\. • Количество членов $n = 5$\. 2\) Используем формулу суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ 3\) Подставим данные и вычислим: $S_5 = \frac{3 \cdot (2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{3 \cdot (32 - 1)}{1} = 3 \cdot 31 = 93$\. **Ответ:** $S_5 = 93$\. ## Задания на геометрическую прогрессию для 9 класса на Экзамео На образовательной платформе **Экзамео** подготовлена база заданий и онлайн\-тренажёров по теме **«Геометрическая прогрессия» для 9 класса**\. Систематические тренировки на тренажёре помогут отработать решение прототипов задания №14 из ОГЭ по математике, научиться мгновенно применять формулы суммы и $n$\-го члена прогрессии --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/geometricheskaya_progressiya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/geometricheskaya_progressiya).