> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/geometriya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/geometriya). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Онлайн\-тренажёры по геометрии для 9 класса На этой странице представлен **тренажёры по геометрии для 9 класса**, разработанный методистами и преподавателями платформы Экзамео\. Этот практический модуль создан как полноценная цифровая альтернатива печатным пособиям с ключевым преимуществом — мгновенной автоматической проверкой ответов и пошаговым разбором решений к каждому заданию с рисунками для пояснений\. Курс геометрии 9 класса завершает изучение планиметрии в основной школе и напрямую готовит выпускников к сдаче ОГЭ по математике\. ## Что входит в онлайн\-тренажёр по геометрии 9 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/geometriya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/geometriya). **Векторы и метод координат:** сложение векторов по правилам треугольника и параллелограмма, умножение вектора на число, скалярное произведение, координаты вектора, расстояние между точками и уравнение окружности\. **Теоремы синусов и косинусов:** решение произвольных треугольников, формулы площадей через синус угла, нахождение сторон и углов без прямоугольного треугольника\. **Длина окружности и площадь круга:** переход от угловых величин к метрическим, формулы длины дуги, площади кругового сектора и сегмента через число $\pi$\. **Правильные многоугольники:** формулы углов, радиусы вписанных и описанных окружностей для правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника\. **Движения плоскости:** осевая и центральная симметрия, параллельный перенос и поворот фигуры вокруг точки\. ### Тематические блоки тренажёра и разбор прототипов Ниже приведены практические блоки онлайн\-тренажёра, соответствующие разделам федеральной рабочей программы\. Каждый блок снабжён примером типового экзаменационного задания с подробным пошаговым разбором\. #### Блок 1: Векторы и метод координат на плоскости Задания на векторы проверяют умение оперировать координатами направленных отрезков, находить длину вектора $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ и применять скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\alpha$\. **Задание:** Даны векторы $\vec{a}\{3; -4\}$ и $\vec{b}\{2; 6\}$\. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а также длину вектора $\vec{a}$\. **Пошаговый разбор решения:** 1\) **Скалярное произведение через координаты:** Формула: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$\. $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + (-4) \cdot 6 = 6 - 24 = -18 $$ 2\) **Длина вектора **$\vec{a}$**:** Формула длины: $|\vec{a}| = \sqrt{x_a^2 + y_a^2}$\. $$ |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$ **Ответ:** скалярное произведение равно $-18$; длина вектора равна $5$\. #### Блок 2: Соотношения в треугольнике \(теоремы синусов и косинусов\) В 9 классе школьники выходят за рамки прямоугольных треугольников: теорема косинусов $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ обобщает теорему Пифагора для любого угла, а расширенная теорема синусов $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ связывает стороны треугольника с радиусом описанной окружности\. **Задание:** В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 5$, $AC = 8$, а угол между ними $\angle A = 60^\circ$\. Найдите длину третьей стороны $BC$\. **Пошаговый разбор решения:** 1\) Применим теорему косинусов для стороны $BC$: $$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A $$ 2\) Подставим известные числовые значения \(напомним, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$\): $$ BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ $$ $$ BC^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 89 - 40 = 49 $$ 3\) Извлечём квадратный корень: $$ BC = \sqrt{49} = 7 $$ **Ответ:** $7$\. #### Блок 3: Правильные многоугольники, длина окружности и площадь круга Данный блок объединяет метрические формулы окружности $C = 2\pi R$, $S = \pi R^2$, расчёт дуг и площадей секторов с правильными $n$\-угольниками, где отрабатывается связь стороны с радиусами $R$ и $r$\. **Задание:** В правильный шестиугольник вписана окружность радиуса $r = 3\sqrt{3}$\. Найдите сторону этого шестиугольника и площадь кругового сектора этой окружности, опирающегося на центральный угол $120^\circ$\. В ответе для площади запишите величину $\frac{S}{\pi}$\. **Пошаговый разбор решения:** 1\) Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника связан со стороной формулой $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$: $$ 3\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \implies a = 3 \cdot 2 = 6 $$ 2\) Формула площади сектора круга радиуса $r$: $$ S_{\text{сект}} = \dfrac{\pi r^2 \alpha}{360^\circ} $$ 3\) Подставим радиус $r = 3\sqrt{3}$ \(тогда $r^2 = 9 \cdot 3 = 27$\) и угол $\alpha = 120^\circ$: $$ S_{\text{сект}} = \dfrac{\pi \cdot 27 \cdot 120^\circ}{360^\circ} = \dfrac{\pi \cdot 27}{3} = 9\pi $$ 4\) Искомая величина в ответе: $\dfrac{S}{\pi} = \dfrac{9\pi}{\pi} = 9$\. **Ответ:** сторона равна $6$; $\dfrac{S}{\pi} = 9$\. #### Блок 4: Геометрия на клетчатой бумаге \(Задание №18 ОГЭ\) Отработка геометрических навыков на координатной сетке: нахождение длин средних линий, высот, расстояний от точки до прямой, тангенсов острых и тупых углов, а также расчёт площадей произвольных фигур стандартными формулами, методом рамки и формулой Пика\. **Задание:** На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция\. Верхнее горизонтальное основание равно $3$ клеткам, нижнее горизонтальное основание равно $7$ клеткам\. Найдите длину средней линии этой трапеции\. **Пошаговый разбор решения:** 1\) Вспомним теорему о средней линии трапеции: средняя линия параллельна основаниям, а её длина равна полусумме длин оснований: $$ m = \dfrac{a + b}{2} $$ 2\) Подставим подсчитанные по клеткам основания: $$ m = \dfrac{3 + 7}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 $$ **Ответ:** $5$\. #### Блок 5: Анализ геометрических утверждений \(Задание №19 ОГЭ\) Задание №19 проверяет глубокое знание определений, признаков и аксиом за все три года обучения \(7–9 классы\)\. В тренажёре собрана база из более чем 200 утверждений с разбором типичных формулировок\-ловушек\. **Задание:** Какие из следующих утверждений верны? Запишите их номера в порядке возрастания без пробелов и запятых\. 1\. Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия\. 2\. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника\. 3\. Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина его гипотенузы\. **Пошаговый разбор утверждений:** • **1\. Неверно\.** Отношение площадей подобных фигур равно **квадрату** коэффициента подобия \($k^2$\), а не самому коэффициенту $k$\. • **2\. Верно\.** По третьему признаку равенства треугольников диагональ параллелограмма даёт два треугольника с тремя соответственно равными сторонами\. • **3\. Верно\.** Прямой угол опирается на диаметр, поэтому гипотенуза служит диаметром описанной окружности, а её середина — центром\. **Ответ:** $23$\. ### Преимущества интерактивного тренажёра Экзамео > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/geometriya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/geometriya). В отличие от бумажных рабочих тетрадей и статичных сайтов с готовыми домашними заданиями \(ГДЗ\), интерактивный онлайн\-тренажёр на Экзамео построен по методике адаптивного закрепления навыка: ##### Генератор вариантов 🔄 Числовые значения в заданиях генерируются динамически\. Списать готовый ответ невозможно: ученик решает задачу самостоятельно, вырабатывая твёрдое понимание формул\. ##### Мгновенный разбор 💡 Если допущена ошибка, система не просто указывает неверный ответ, а выводит подробное решение с чертежом и ссылками на теоретические теоремы\. ##### Контроль двух баллов 🎯 Специальный режим «ОГЭ\-Геометрия» моделирует реальные блоки заданий №15–19, отслеживая преодоление обязательного двухбалльного порога экзамена\. #### Пошаговый алгоритм эффективных занятий на тренажёре Чтобы занятия приносили максимальный результат, придерживайтесь проверенного алгоритма подготовки: **Выберите тему или режим:** выберите конкретный раздел, вызывающий трудности \(например, «Теорема косинусов» или «Окружность на клетках»\), либо запустите комплексный случайный тест формата ОГЭ\. **Сделайте собственный чертёж в черновике:** визуализируйте условие задачи, отметьте известные стороны, углы и обязательно выделите искомую величину знаком вопроса\. **Решите задачу и введите числовой ответ:** вводите целые числа или конечные десятичные дроби через запятую без указания единиц измерения \(см, градусы, м²\)\. **Разберите ошибку при её возникновении:** не переходите к следующей задаче вслепую — прочитайте пошаговый комментарий платформы и закрепите проблемную формулу в конспекте\. ## Интерактивные тренажёры по геометрии 9 класса на Экзамео Ниже запущен интерактивный тренажёр по курсу геометрии 9 класса\. Выбирайте интересующий тематический блок или тренируйте смешанные экзаменационные варианты ОГЭ\. Решайте примеры, отслеживайте личную статистику правильных ответов и получайте максимальные баллы на контрольных работах и основном государственном экзамене\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/geometriya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/geometriya).