> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/gomotetiya-i-ee-svoystva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/gomotetiya-i-ee-svoystva). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Гомотетия: определение, коэффициенты, свойства и задачи На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме **«Гомотетия и её свойства» по геометрии для 9 класса**\. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический материал с наглядными определениями центра и коэффициента гомотетии, доказательствами ключевых свойств, алгоритмами построения фигур и подробным разбором типовых задач из контрольных работ и ОГЭ\. Гомотетия — это базовое геометрическое преобразование, которое лежит в основе всей теории подобия фигур в 9 классе\. В отличие от движений \(поворота, параллельного переноса, осевой и центральной симметрий\), сохраняющих размеры, гомотетия изменяет размеры фигуры в одно и то же число раз, сохраняя её форму\. ## Теоретический справочник: всё о гомотетии > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/gomotetiya-i-ee-svoystva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/gomotetiya-i-ee-svoystva). Ниже подробно разобраны понятие гомотетии, геометрический смысл коэффициента $k$ и основные свойства этого преобразования\. ### Определение гомотетии и её параметры #### Определение гомотетии: **Гомотетией** с центром $O$ и коэффициентом $k \neq 0$ называется преобразование плоскости, переводящее каждую точку $X$ в такую точку $X'$ $\vec{OX'} = k \cdot \vec{OX}$ Точка $O$ называется **центром гомотетии**, а число $k$ — **коэффициентом гомотетии**\. • **Если **$k > 0$**:** точки $X$ и $X'$ • **Если **$k < 0$**:** точка $X'$ \[ Место для иллюстрации: Построение гомотетичных точек при k \> 0 и k < 0 с центром O \] #### Частные случаи коэффициента гомотетии\! 💡 • При $k = 1$ гомотетия является **тождественным преобразованием** \(фигура переходит сама в себя\)\. • При $k = -1$ гомотетия совпадает с **центральной симметрией** относительно точки $O$\. • При $|k| > 1$ фигура **увеличивается** в $|k|$ раз; при $|k| < 1$ — **уменьшается** в $\frac{1}{|k|}$ раз\. ### Ключевые свойства гомотетии > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/gomotetiya-i-ee-svoystva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/gomotetiya-i-ee-svoystva). Так как гомотетия является частным случаем **преобразования подобия**, она обладает всеми его фундаментальными свойствами: **1\. Переход прямых и отрезков:** Гомотетия переводит прямую в параллельную ей прямую \(или в саму себя, если прямая проходит через центр гомотетии $O$\)\. Отрезок $AB$ переходит в параллельный отрезок $A'B'$, причём $A'B' = |k| \cdot AB$\. **2\. Сохранение углов:** При гомотетии сохраняется величина любых углов \($\angle A'B'C' = \angle ABC$\)\. **3\. Подобие фигур:** Любые две гомотетичные фигуры **подобны** с коэффициентом подобия $h = |k|$\. **4\. Отношение площадей:** Отношение площадей двух гомотетичных фигур равно квадрату модуля коэффициента гомотетии: $\dfrac{S_{F'}}{S_F} = k^2$ ### Применение гомотетии в технике и жизни Принцип гомотетии лежит в основе большинства оптических устройств и технологий масштабирования графики\. ##### Проекторы и Фотокамеры 📽️ Кинопроектор или линза фотоаппарата проектирует изображение на экран или матрицу\. Фокус линзы является центром гомотетии, а получаемое изображение — гомотетичной копией оригинала с отрицательным коэффициентом $k$ \(перевёрнутое изображение\)\. ##### Пантограф и Векторная графика 💻 Прибор пантограф использует рычаги для черчения гомотетичных копий карт и чертежей\. В компьютерной графике векторное масштабирование изображений \(Zoom\) производит пересчёт координат точек относительно центра экрана по формулам гомотетии\. ### Пошаговый алгоритм построения гомотетичной фигуры Чтобы построить фигуру \(например, треугольник $A'B'C'$\), гомотетичную заданной фигуре $ABC$ относительно центра $O$ с коэффициентом $k$, придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/gomotetiya-i-ee-svoystva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/gomotetiya-i-ee-svoystva). **Проведите лучи из центра **$O$** через вершины фигуры:** проведите прямые $OA$, $OB$, $OC$\. **Измерьте расстояния от центра до вершин:** измерьте длины отрезков $OA$, $OB$, $OC$\. **Отложите новые отрезки с учётом **$k$**:** \- Если $k > 0$, отложите на луче $OA$ отрезок $OA' = k \cdot OA$\. \- Если $k < 0$, отложите на противоположном луче отрезок $OA' = |k| \cdot OA$\. Аналогично постройте точки $B'$ и $C'$\. **Соедините полученные вершины:** соедините точки $A'$, $B'$, $C'$ отрезками\. Полученный треугольник $A'B'C'$ — искомый\. ### Разбор типовых задач из контрольных работ за 9 класс Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных, контрольных работ за 9 класс и экзамена ОГЭ по геометрии\. **Задание:** Треугольник $A'B'C'$ получен из треугольника $ABC$ гомотетией с коэффициентом $k = -3$\. Найдите площадь треугольника $A'B'C'$, если площадь треугольника $ABC$ равна $12\text{ см}^2$\. **Подробное решение:** 1\) По свойству гомотетии отношение площадей гомотетичных фигур равно квадрату коэффициента гомотетии: $\dfrac{S_{A'B'C'}}{S_{ABC}} = k^2$ 2\) Находим $k^2$: $k^2 = (-3)^2 = 9$ 3\) Вычисляем площадь $S_{A'B'C'}$: $S_{A'B'C'} = 9 \cdot S_{ABC} = 9 \cdot 12 = 108\text{ (см}^2)$\. **Ответ:** $108\text{ см}^2$\. **Задание:** Точка $A(2; 4)$ при гомотетии с центром в начале координат $O(0; 0)$ переходит в точку $A'(-6; -12)$\. Найдите коэффициент гомотетии $k$\. **Подробное решение:** 1\) По определению гомотетии с центром в начале координат векторы удовлетворяют соотношению: $\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}$ 2\) Координаты вектора $\vec{OA} = (2; 4)$, а координаты вектора $\vec{OA'} = (-6; -12)$\. 3\) Составим равенство для координат: $-6 = k \cdot 2 \implies k = -3$ $-12 = k \cdot 4 \implies k = -3$ 4\) Коэффициенты совпадают, следовательно, $k = -3$\. **Ответ:** $k = -3$\. ## Тренажёры по гомотетии на Экзамео Закрепите теорию и свойства гомотетии на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные задания, карточки на построение и проверочные тесты по теме **«Гомотетия и её свойства» за 9 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии \(учебники Атанасяна, Погорелова, Мерзляка\)\. В базе платформы представлены сотни задач разного уровня сложности с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми решениями\. Переходите к тренажёрам по геометрии на **Экзамео**, тренируйтесь в удобном темпе и уверенно получайте отличные оценки на контрольных работах и ОГЭ\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/gomotetiya-i-ee-svoystva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/gomotetiya-i-ee-svoystva).