> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/krugovoy-sektor-okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/krugovoy-sektor-okruzhnosti). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Сектор круга: площадь сектора, длина дуги В этом разделе подробно рассматривается тема **«Сектор круга и дуга окружности» по геометрии за 9 класс**\. Понятия сектора и сегмента являются логическим продолжением изучения темы 9 класса Длина окружности Здесь собрана вся ключевая теория 9 класса: определение **сектора окружности и круга**, основные **формулы** для центрального угла в градусах и радианах, свойства, которые имеет **хорда сектора окружности**, а также разбор типовых задач с подробными решениями\. Отработать тему сектор круга можно после теории в [тренажёрах](#sektor-kruga-9-klass-na-platforme-ekzameo) с подробными решениями по задачам для 9 класса\. ## Что такое сектор круга и дуга окружности > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/krugovoy-sektor-okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/krugovoy-sektor-okruzhnosti). Важно различать понятия границы \(окружности\) и плоской фигуры \(круга\): #### Определения темы 🎯 • **Сектор круга \(круговой сектор\):** это часть круга, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами, проведёнными к концам этой дуги\. • **Дуга сектора окружности:** это часть окружности, заключённая между двумя радиусами\. Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла $\alpha$\. • **Хорда сектора окружности:** это отрезок, соединяющий концы дуги данного сектора\.  На рисунке AOB \- сектор окружности, AB\(отрезок\) \- хорда сектора окружности, AB\(дуга\) \- дуга сектора окружности Два радиуса делят круг на два сектора: малый \(с центральным углом $\alpha \leqslant 180^\circ$\) и большой \(с центральным углом $360^\circ - \alpha$\)\. ### Формула площади сектора круга Площадь всего круга радиуса $R$ равна $S = \pi R^2$, а его полный центральный угол составляет $360^\circ$\. Следовательно, на $1^\circ$ приходится $\dfrac{\pi R^2}{360}$ площади\. Отсюда получаем ключевую формулу: #### Формула площади сектора окружности 🎯 Если центральный угол $\alpha$ задан в градусах: $$ S_{\text{сект}} = \dfrac{\pi R^2 \cdot \alpha}{360^\circ} $$ Если центральный угол задан в радианах \($\phi$ рад\), то формула выглядит еще проще: $S_{\text{сект}} = \dfrac{1}{2} R^2 \phi$, однако радианы в обычной школьной программе по математике проходятся в 10 классе\(Радианная мера угла\) Задачи на площадь сектора окружности встречаются как в 9 классе, так и на ОГЭ по математике в 16 задании, давайте разберём одну из таких задач **Задание:** Радиус круга равен $6\text{ см}$, а центральный угол сектора равен $120^\circ$\. Найдите площадь сектора окружности\. В ответе укажите $\dfrac{S}{\pi}$\.  **Подробное решение:** 1\) Воспользуемся формулой площади сектора круга: $$ S_{\text{сект}} = \dfrac{\pi R^2 \cdot \alpha}{360^\circ} $$ 2\) Подставим $R = 6\text{ см}$ и $\alpha = 120^\circ$: $$ S_{\text{сект}} = \dfrac{\pi \cdot 6^2 \cdot 120^\circ}{360^\circ} = \dfrac{\pi \cdot 36 \cdot 1}{3} = 12\pi\text{ см}^2 $$ 3\) Находим значение $\dfrac{S}{\pi} = \dfrac{12\pi}{\pi} = 12$\. **Ответ:** $12$\. ### Длина дуги и хорда сектора окружности > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/krugovoy-sektor-okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/krugovoy-sektor-okruzhnosti). По аналогии с площадью вычисляется и **длина сектора окружности** \(длина дуги $l$\): #### Сводный справочник формул сектора: 1\. **Длина дуги сектора \(**$l$**\):** $$ l = \dfrac{2\pi R \cdot \alpha}{360^\circ} = \dfrac{\pi R \cdot \alpha}{180^\circ} $$ 2\. **Связь площади сектора и длины дуги:** $$ S_{\text{сект}} = \dfrac{l \cdot R}{2} $$ 3\. **Хорда сектора окружности \(**$a$**\):** Соединив концы дуги, получим равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $R$ и углом $\alpha$ при вершине\. Длина хорды выражается по теореме синусов или из прямоугольного треугольника: $$ a = 2R \sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) $$ Задачи на длину дуги сектора окружности встречаются на контрольных работах в 9 классе и в том числе один такой вид задач может быть на ОГЭ по математике, давайте разберем пример задачи из самостоятельной работы\. **Задание:** Длина дуги сектора окружности равна $4\pi\text{ см}$, а его площадь равна $20\pi\text{ см}^2$\. Найдите радиус сектора окружности\. **Подробное решение:** 1\) Используем формулу, связывающую площадь сектора и длину дуги: $$ S_{\text{сект}} = \dfrac{l \cdot R}{2} $$ 2\) Выразим радиус сектора $R$: $$ R = \dfrac{2 \cdot S_{\text{сект}}}{l} $$ 3\) Подставим данные из условия $S_{\text{сект}} = 20\pi$ и $l = 4\pi$: $$ R = \dfrac{2 \cdot 20\pi}{4\pi} = \dfrac{40\pi}{4\pi} = 10\text{ см} $$ **Ответ:** $10\text{ см}$\. #### Сравнительная таблица элементов сектора Ниже собраны все основные формулы и элементы сектора окружности, которые могут встречаться в задачах в 9 классе в единую таблицу ##### Элемент сектора ##### Формула вычисления ##### Геометрическое пояснение **Площадь сектора \(**$S_{\text{сект}}$**\)** $$ S = \dfrac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} = \dfrac{l R}{2} $$ Доля площади круга, ограниченная центральным углом $\alpha$\. **Длина дуги \(**$l$**\)** $$ l = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ} $$ Часть длины окружности, опирающаяся на угол $\alpha$\. **Периметр сектора \(**$P_{\text{сект}}$**\)** $$ P = l + 2R $$ Сумма длины дуги и двух границами\-радиусов\. **Хорда дуги \(**$a$**\)** $$ a = 2R \sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) $$ Основание равнобедренного треугольника с бедрами $R$\. #### Лайфхак для экзамена ОГЭ\! 💡 1\. **Формула Аналога треугольника:** Запомните аналог $S = \dfrac{l \cdot R}{2}$ с площадью обычного треугольника $S = \dfrac{a \cdot h}{2}$, где роль основания играет длина дуги $l$, а роль высоты — радиус $R$\. 2\. **Доля от круга:** Если центральный угол равен $60^\circ$, то сектор составляет $\dfrac{60^\circ}{360^\circ} = \dfrac{1}{6}$ часть всего круга; если $90^\circ$ — то $\dfrac{1}{4}$ часть \(четверть круга\)\. ### Пошаговый алгоритм решения задач При выполнении практических и проверочных заданий на **сектор окружности** придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Выпишите известные величины:** зафиксируйте радиус $R$, центральный угол $\alpha$ или длину дуги $l$\. **Найдите долю от полного круга:** вычислите отношение $\dfrac{\alpha}{360^\circ}$\. **Подставьте значения в формулу:** вычислите площадь $S_{\text{сект}}$ или длину дуги $l$ и выпишите ответ \(сохраняя число $\pi$ или подставляя $\pi \approx 3{,}14$ по условию\)\. ### Разбор типовых задач из контрольных работ и ОГЭ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/krugovoy-sektor-okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/krugovoy-sektor-okruzhnosti). Рассмотрите решения характерных задач из ОГЭ и проверочных работ за 9 класс\. ## Тренажёры по теме «Сектор круга» на Экзамео Ниже собраны тренажеры, составленные по задачам на сектор круга, его площадь и длину дуги для 9 класса из ОГЭ по математике и учебников по геометрии с подробными пошаговыми решениями и автоматической проверкой ответов\. Там же вы найдете задачи из самостоятельных и контрольных работ по этой теме\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/krugovoy-sektor-okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/krugovoy-sektor-okruzhnosti).