> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/kvadratnye_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/kvadratnye_neravenstva). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Квадратные неравенства \| Алгебра 9 класс На этой странице представлен исчерпывающий учебный справочник по теме **«Квадратные неравенства» по алгебре для 9 класса**\. Эксперты и методисты платформы Экзамео подготовили этот материал, чтобы помочь девятиклассникам уверенно освоить ключевые способы решения неравенств второй степени, подготовиться к самостоятельным и контрольным работам, а также безошибочно решить задание №13 в ОГЭ по математике и заложить прочный фундамент для задания №15 профильного ЕГЭ\. В курсе алгебры 9 класса квадратные неравенства являются одним из центральных разделов\. Независимо от внешнего вида выражения — является ли оно полным квадратным трёхчленом или неполным квадратным уравнением без свободного члена или без переменной в первой степени — общий принцип решения всегда одинаков: сначала находим нули функции \(корни соответствующего уравнения\), а затем определяем знаки на числовой оси либо с помощью эскиза параболы, либо через универсальный метод интервалов с обязательной проверкой каждого промежутка пробной точкой\. После изучения теории на странице доступны [интерактивные онлайн\-тренажёры с автоматической проверкой ответов](#trenazhery-po-kvadratnym-neravenstvam-ekzameo) и подробными решениями для закрепления материала\. ## Что такое квадратное неравенство? — 9 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/kvadratnye_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/kvadratnye_neravenstva). **Квадратным неравенством** \(неравенством второй степени\) называется неравенство вида: $$ ax^2 + bx + c > 0 \quad (\text{или } \geq 0,\ < 0,\ \leq 0) $$ где $x$ — переменная, $a$, $b$, $c$ — действительные числа, причём главный коэффициент $a \neq 0$\. ##### **Единый принцип для всех видов:** полные \($ax^2 + bx + c \lor 0$\) и неполные \($ax^2 + bx \lor 0$ или $ax^2 - c \lor 0$\) квадратные неравенства решаются по одному и тому же сценарию: приравниваем выражение к нулю, находим корни уравнения и наносим их на ось, после чего применяем **графический метод параболы** или **метод интервалов**\. ##### **Строгие и нестрогие знаки:** при знаках $>$ и $<$ точки на числовой оси выкалываются \(круглые скобки в ответе\), а при знаках $\geq$ и $\leq$ точки закрашиваются \(квадратные скобки в ответе\)\. ### Виды квадратных неравенств и поиск корней Перед нанесением точек на числовую прямую необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения\. Способ поиска корней зависит от структуры выражения, но дальнейший алгоритм остаётся неизменным: ##### Тип неравенства ##### Вид уравнения ##### Способ нахождения нулей **Полное квадратное** $ax^2 + bx + c = 0$ Дискриминант $D = b^2 - 4ac$ или теорема Виета: $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ **Неполное без **$c$** \(**$c = 0$**\)** $ax^2 + bx = 0$ Вынесение $x$ за скобки: $x(ax + b) = 0 \implies x_1 = 0,\ x_2 = -\dfrac{b}{a}$ **Неполное без **$b$** \(**$b = 0$**\)** $ax^2 - c = 0$ Разность квадратов или перенос: $x^2 = \dfrac{c}{a} \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{\dfrac{c}{a}}$ ### Способ 1: Графический метод \(с помощью параболы\) > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/kvadratnye_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/kvadratnye_neravenstva). Графический метод опирается на геометрический смысл квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, графиком которой является **парабола**\. Знак неравенства указывает, где график расположен относительно оси абсцисс $Ox$: #### Правило чтения эскиза параболы: 1\. Смотрим на знак коэффициента $a$: если $a > 0$, ветви параболы направлены **вверх**; если $a < 0$, ветви направлены **вниз**\. 2\. Отмечаем точки пересечения с осью $Ox$ \(корни уравнения\)\. 3\. Часть параболы, которая находится **выше оси **$Ox$, соответствует значениям $> 0$ \(плюс\)\. 4\. Часть параболы, которая находится **ниже оси **$Ox$, соответствует значениям $< 0$ \(минус\)\.  Разберём решение квадратного неравенства методом параболы на конкретном примере: **Задание:** Решите квадратное неравенство $x^2 - 4x - 5 \leq 0$\. **Пошаговый разбор:** 1\) **Найдём нули квадратичной функции:** Приравняем выражение к нулю: $x^2 - 4x - 5 = 0$\. По теореме Виета или через дискриминант: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2 $$ $$ x_1 = \dfrac{4 - 6}{2} = -1, \quad x_2 = \dfrac{4 + 6}{2} = 5 $$ 2\) **Построим эскиз параболы:** Коэффициент $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх\. Нанесём корни на ось $Ox$\. Знак неравенства нестрогий \($\leq$\), поэтому точки **закрашенные**: $x = -1$ и $x = 5$\. 3\) **Определим знаки по графику:** • При $x < -1$ и $x > 5$ парабола проходит над осью $Ox$ \(знак $+$\)\. • На промежутке между корнями $[-1; 5]$ парабола опускается под ось $Ox$ \(знак $-$\)\. 4\) Так как в условии требуется знак $\leq 0$ \(меньше либо равно нулю\), выбираем промежуток с минусом, включая концы\. **Ответ:** $x \in [-1; 5]$\. ### Способ 2: Метод интервалов с подстановкой точек Метод интервалов — самый надёжный способ решения любых неравенств\. Никогда не чередуйте знаки механически наугад\! Чтобы исключить ошибку из\-за чётных степеней или скрытых знаков минус перед скобками, знак на каждом интервале необходимо определять непосредственной подстановкой контрольной точки в разложенное выражение\. #### Алгоритм метода интервалов с проверкой: 1\. Перенесите все слагаемые в левую часть, чтобы справа остался ноль\. 2\. Найдите корни выражения и разложите левую часть на линейные множители: $a(x - x_1)(x - x_2)$\. 3\. Нанесите корни на числовую ось, разбив её на отдельные интервалы\. 4\. **Проверьте каждый интервал:** выберите из каждого промежутка любое удобное число \(пробную точку\), подставьте его в скобки и определите итоговый знак произведения\. 5\. Заштрихуйте интервалы, знак которых совпадает со знаком неравенства\.  Разберём полное решение неполного квадратного неравенства методом интервалов с подробным расчётом каждого знака: **Задание:** Решите квадратное неравенство $2x^2 - 8x > 0$\. **Пошаговый разбор:** 1\) **Разложим левую часть на множители:** Вынесем общий множитель $2x$ за скобки: $$ 2x(x - 4) > 0 $$ 2\) **Найдём нули функции:** $$ 2x(x - 4) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 4 $$ 3\) **Нанесём точки на числовую ось:** Знак неравенства строгий \($>$\), поэтому точки $x = 0$ и $x = 4$ **выколотые** \(пустые кружки\)\. Точки разделили числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$\. 4\) **Проверим каждый интервал подстановкой пробной точки:** • **Интервал 1: **$(-\infty; 0)$ Возьмём пробное число $x = -1$: $$ 2 \cdot (-1) \cdot (-1 - 4) = (-2) \cdot (-5) = +10 > 0 $$ Знак на интервале: **«\+»**\. • **Интервал 2: **$(0; 4)$ Возьмём пробное число $x = 1$: $$ 2 \cdot 1 \cdot (1 - 4) = 2 \cdot (-3) = -6 < 0 $$ Знак на интервале: **«–»**\. • **Интервал 3: **$(4; +\infty)$ Возьмём пробное число $x = 5$: $$ 2 \cdot 5 \cdot (5 - 4) = 10 \cdot 1 = +10 > 0 $$ Знак на интервале: **«\+»**\. 5\) Так как исходное неравенство содержит знак $> 0$, выбираем интервалы со знаком **плюс**\. **Ответ:** $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$\. ### Особые случаи: дискриминант $D \leq 0$ Если при вычислении корней дискриминант получается отрицательным или равным нулю, это не означает, что у неравенства нет решений\. В таких случаях парабола не пересекает ось $Ox$ либо лишь касается её в одной точке: ##### Случай 1: $D < 0$ \(корней нет\) 🚫 Парабола не имеет общих точек с осью $Ox$\. Она целиком лежит по одну сторону от оси: • Если $a > 0$, вся парабола находится выше оси: выражение $ax^2 + bx + c > 0$ верно при **любом** $x \in \mathbb{R}$, а неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ **не имеет решений**\. • Если $a < 0$, вся парабола лежит под осью: неравенство $< 0$ верно всегда \($x \in \mathbb{R}$\), а $> 0$ решений не имеет\. ##### Случай 2: $D = 0$ \(один корень / касание\) 🎯 Вершина параболы лежит на оси $Ox$, выражение сворачивается в полный квадрат $a(x - x_0)^2$: • Неравенство $(x - 3)^2 > 0$ выполняется при всех $x$, кроме $x = 3$ \($x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$\)\. • Неравенство $(x - 3)^2 \geq 0$ верно при **любом** $x \in \mathbb{R}$\. • Неравенство $(x - 3)^2 \leq 0$ имеет **единственное решение**: $x = 3$\. • Неравенство $(x - 3)^2 < 0$ **не имеет решений**\. #### Пошаговый алгоритм решения любого квадратного неравенства При выполнении заданий на контрольных работах и на ОГЭ придерживайтесь следующей универсальной схемы: **Приведите неравенство к стандартному виду:** перенесите все члены влево, раскройте скобки, приведите подобные слагаемые\. Справа обязательно должен остаться $0$\. Если коэффициент при $x^2$ отрицательный, умножьте всё неравенство на $-1$ и **не забудьте развернуть знак неравенства**\. **Найдите корни трёхчлена:** решите уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ через дискриминант или разложение на множители\. **Нанесите корни на числовую ось:** обратите внимание на строгость знака\. При $>$ или $<$ рисуйте **выколотые точки** \(пустые кружки\), при $\geq$ или $\leq$ рисуйте **закрашенные точки**\. **Определите знаки:** проведите схематичную параболу через точки либо подставьте конкретные проверочные числа из каждого интервала в исходное разложение\. **Запишите числовой промежуток:** заштрихуйте нужные участки и запишите ответ в виде объединения интервалов, строго соблюдая круглые и квадратные скобки\. #### Типичные ошибки девятиклассников При анализе самостоятельных работ и экзаменационных бланков ОГЭ чаще всего выявляются три грубые ошибки: ##### Извлечение корня без второго знака Решать неравенство $x^2 > 9$ в виде $x > 3$, забывая про левый луч $x < -3$\. Помните: квадратное неравенство всегда решается через разложение $(x - 3)(x + 3) > 0$ и числовую ось\! ##### Деление на переменную x Сокращать неравенство $x^2 - 4x > 0$ на $x$, получая неверный ответ $x > 4$\. Делить на выражение с переменной категорически запрещено, так как $x$ может быть отрицательным или нулём\. Нужно выносить $x$ за скобки\! ##### Механическое чередование знаков без проверки Автоматически расставлять знаки «$+ - +$» наобум\. Если перед старшим коэффициентом стоял минус \(например, $-x^2 + 2x + 3 > 0$\) или выражение содержало полный квадрат, знаки могут вести себя иначе\. Проверка пробной точкой обязательна\! ## Тренажёры по теме «Квадратные неравенства» на платформе Экзамео > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/kvadratnye_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/kvadratnye_neravenstva). Ниже представлены интерактивные тренажёры с практическими заданиями на решение полных и неполных квадратных неравенств, работу с параболой и применение метода интервалов для 9 класса\. К каждому заданию подготовлены пошаговые иллюстрации и разборы, что позволит безошибочно подготовиться к самостоятельным работам и сдать ОГЭ по математике на высший балл\. ##### Где квадратные неравенства применяются на практике? Квадратные неравенства возникают везде, где физический или экономический закон описывается квадратичной параболической зависимостью: ##### Баллистика и высота полёта ракеты 🚀 Высота подброшенного тела над землёй описывается формулой $h(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$\. Чтобы узнать, в течение какого промежутка времени сигнальная ракета находится выше заданной зоны обнаружения \(например, $h(t) \geq 40\text{ м}$\), инженеры составляют и решают квадратное неравенство относительно времени $t$\. Решение вида $t \in [t_1; t_2]$ показывает интервал безопасного наблюдения\. ##### Безубыточность производства в экономике 📈 Прибыль предприятия часто моделируется квадратичной функцией от объёма выпускаемой продукции $q$: $P(q) = -a q^2 + b q - c$\. Знак «минус» возникает из\-за резкого роста складских и логистических расходов при перепроизводстве\. Решение квадратного неравенства $P(q) > 0$ задаёт так называемую зону рентабельности — минимальный и максимальный тираж товара, при котором фирма не уходит в убыток\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/kvadratnye_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/kvadratnye_neravenstva).