> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/osnovnoe_trigonometricheskoe_tozhdestvo_formuly_privedeniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/osnovnoe_trigonometricheskoe_tozhdestvo_formuly_privedeniya). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Основное тригонометрическое тождество и формулы приведения **Основное тригонометрическое тождество и формулы приведения в 9 классе** открывают важнейшую главу школьной геометрии\. Если в 8 классе тригонометрические функции определялись только для острых углов прямоугольного треугольника \(от $0^\circ$ до $90^\circ$\), то в 9 классе тригонометрия распространяется на тупые углы до $180^\circ$\. Это расширение необходимо для решения произвольных треугольников — остроугольных, прямоугольных и тупоугольных\. В курсе геометрии 9 класса формулы приведения и тригонометрические тождества не являются абстрактными формулами: они служат прямым рабочим аппаратом для **теоремы косинусов**, **теоремы синусов** и **формулы площади треугольника** \($S = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$\)\. При решении геометрических задач девятиклассникам не требуется сложная тригонометрическая окружность — достаточно уметь преобразовывать углы через $180^\circ$ \(например, находить $\sin 150^\circ$ или $\cos 120^\circ$\) и аккуратно учитывать знаки функций\. Ниже приведены все необходимые правила, сводные таблицы значений тупых углов, разбор задач для самостоятельных работ и доступ к [онлайн\-тренажёрам Экзамео](#trenazher-formuly-privedeniya-9-klass-ekzameo) с мгновенной проверкой ответов\. ## Основное тригонометрическое тождество и формулы приведения — 9 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/osnovnoe_trigonometricheskoe_tozhdestvo_formuly_privedeniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/osnovnoe_trigonometricheskoe_tozhdestvo_formuly_privedeniya). **Основное тригонометрическое тождество** связывает синус и косинус одного и того же угла и справедливо для абсолютно любого угла $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$: $$ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $$ $$ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} $$ $$ \cos \alpha=\pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} $$ Косинус отрицательный при α \> 90° При выражения синуса и косинуса перед квадратным корнем должен обязательно стоять знак плюс\-минус, но тут есть некоторые особенности углов, которые разбираются в 9 классе **Знаки тригонометрических функций в треугольнике \(**$0^\circ < \alpha < 180^\circ$**\):** — **Синус всегда положителен:** для любого угла треугольника $\sin\alpha > 0$\. Синус тупого угла положителен в точности так же, как и синус острого\! — **Косинус меняет знак:** для острых углов \($0^\circ < \alpha < 90^\circ$\) косинус положителен \($\cos\alpha > 0$\), для прямого угла $\cos 90^\circ = 0$, а для тупых углов \($90^\circ < \alpha < 180^\circ$\) косинус **всегда отрицателен** \($\cos\alpha < 0$\)\. В 9 классе на уроках геометрии вводится не полная окружность, а **единичная полуокружность**, расположенная в верхней полуплоскости \($y \ge 0$\) с центром в начале координат и радиусом $R = 1$\. • Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, поэтому ни один угол в треугольнике не может быть больше или равен $180^\circ$\. Соответственно, геометрия 9 класса работает исключительно в диапазоне углов от $0^\circ$ до $180^\circ$ \(I и II координатные четверти\)\. • Координаты точки $M$ на единичной полуокружности по определению равны: абсцисса $x = \cos\alpha$, ордината $y = \sin\alpha$\. Поскольку полуокружность лежит выше оси $Ox$, ордината $y$ всегда неотрицательна, откуда $\sin\alpha \ge 0$\. Абсцисса $x$ правее оси $Oy$ положительна \($\cos\alpha > 0$ при $\alpha < 90^\circ$\), а левее оси $Oy$ — отрицательна \($\cos\alpha < 0$ при $\alpha > 90^\circ$\)\. • *Перспектива 10 класса:* Полноценная тригонометрическая окружность на все $360^\circ$, радианы \($\pi$\), отрицательные углы и общее мнемоническое правило «лошади» для формул приведения через $\dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2}, 2\pi$ подробно изучаются в курсе **алгебры и начал анализа 10 класса**\. В 9 классе для успешного решения контрольных работ и ОГЭ достаточно твёрдо знать формулы приведения через $180^\circ - \alpha$\. ##### Если не получается выучить основное тригонометрическое тождество Для ОГЭ по математике можно выводить значение косинуса по известному значению синуса и наоборот используя определение известной функции через соотношение катета и гипотенузы и далее через теорему Пифагора Рассмотрим пример: $\cos\alpha=0,8^{}$, найти sinα Нарисуем прямоугольный треугольник и вспомним, что косинус угла это отношение прилежащего катета к гипотенузе\. Тогда обозначим прилежащий катет за 8x, а гипотенузу за 10x  И применим теорему Пифагора $$ \left(10x\right)^2=\left(8x\right)^2+y^2 $$ $$ y^2=100x^2-64x^2=36x^2=\left(6x\right)^2 $$ $$ y=6x $$ $$ \sin\alpha=\frac{6x}{10x}=0,6 $$ ### Формулы приведения для 9 класса Главные формулы приведения, которые нужно знать в 9 классе: $$ \sin(180^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha $$ $$ cos(180-\alpha) = -cos\alpha $$ значения для тупых углов вычисляются через известные табличные значения острых углов: Формулы ниже с очень маленькой вероятностью пригодятся на ОГЭ по математике, но могут встречаться на контрольных и самостоятельных работах в 9 классе: $$ \tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha \quad (\alpha \neq 90^\circ) $$ **Формулы приведения через **$90^\circ$** \(для смежных углов прямоугольного треугольника\):** $$ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha, \qquad \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha $$ ##### Угол $\alpha$ ##### Формула приведения ##### sinα ##### cosα ##### tgα $90^\circ$ граница четвертей $1$ $0$ не существует $120^\circ$ $180^\circ - 60^\circ$ $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $-\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}$ $-\sqrt{3}$ $135^\circ$ $180^\circ - 45^\circ$ $\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $-\cos 45^\circ = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $-1$ $150^\circ$ $180^\circ - 30^\circ$ $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ $-\cos 30^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $180^\circ$ развёрнутый угол $0$ $-1$ $0$ #### Где формулы приведения применяются в геометрии 9 класса Основное тождество и формулы приведения через $180^\circ$ служат фундаментом четырёх главных теорем геометрии 9 класса: ##### Теорема косинусов для тупого угла В формуле $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$, если угол $\gamma$ тупой, его косинус отрицателен \($\cos\gamma = -\cos(180^\circ - \gamma)$\)\. Минус на минус даёт плюс: $c^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos(180^\circ - \gamma)$\. Сторона напротив тупого угла всегда длиннее суммы квадратов катетов\! ##### Теорема синусов \($\dfrac{a}{\sin\alpha} = 2R$\) В теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности\. Так как $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, синус угла $150^\circ$ равен $\sin 30^\circ = 0{,}5$, что позволяет мгновенно находить радиус описанной окружности тупоугольного треугольника\. ##### Площадь треугольника \($S = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$\) Площадь треугольника с тупым углом вычисляется точно так же, как и с острым: $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$\. В параллелограмме сумма соседних углов равна $180^\circ$, поэтому их синусы равны: $\sin\alpha = \sin(180^\circ - \alpha)$\. ##### Поиск косинуса по синусу на ОГЭ Из основного тождества $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$\. Если известно, что угол треугольника тупой, косинус выбирается строго со знаком минус: $\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$\. Это классическая задача задания 15 ОГЭ\. #### Задания на формулы приведения с пошаговыми решениями Ниже приведены подробные решения пяти ключевых задач по геометрии за 9 класс, типичных для контрольных и самостоятельных работ по учебнику Атанасяна и заданий ОГЭ по математике\. **Условие:** Найдите $\cos\alpha$ и $\tan\alpha$, если известно, что $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$ и угол $\alpha$ — тупой \($90^\circ < \alpha < 180^\circ$\)\. **Пошаговое решение:** 1\) **Применим основное тригонометрическое тождество:** $$ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \implies \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $$ 2\) **Подставим значение синуса:** $$ \cos^2\alpha = 1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25} $$ 3\) **Определим знак косинуса:** По условию угол $\alpha$ — тупой \($90^\circ < \alpha < 180^\circ$\), поэтому косинус отрицателен: $$ \cos\alpha = -\sqrt{\dfrac{16}{25}} = -\dfrac{4}{5} = -0{,}8 $$ 4\) **Найдём тангенс угла:** $$ \tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\dfrac{3}{5}}{-\dfrac{4}{5}} = -\dfrac{3}{4} = -0{,}75 $$ **Ответ:** $\cos\alpha = -0{,}8$; $\tan\alpha = -0{,}75$\. **Условие:** В треугольнике стороны равны $a = 5$ и $b = 8$, а угол между ними равен $120^\circ$\. Найдите третью сторону треугольника\. **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём косинус тупого угла **$120^\circ$** по формуле приведения:** $$ \cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2} = -0{,}5 $$ 2\) **Запишем теорему косинусов для третьей стороны **$c$**:** $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 120^\circ $$ 3\) **Подставим числа \(обратите внимание на смену знака перед удвоенным произведением\):** $$ c^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) $$ $$ c^2 = 25 + 64 + 40 = 129 $$ 4\) **Найдём длину стороны **$c$**:** $$ c = \sqrt{129} $$ **Ответ:** $\sqrt{129}$\. **Условие:** Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны $6\text{ см}$ и $10\text{ см}$, а угол между ними равен $150^\circ$\. **Пошаговое решение:** 1\) **Вычислим синус тупого угла **$150^\circ$** по формуле приведения:** $$ \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 $$ 2\) **Применим формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними:** $$ S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma $$ 3\) **Подставим числовые значения:** $$ S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 150^\circ = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \dfrac{1}{2} = 30 \cdot \dfrac{1}{2} = 15\text{ см}^2 $$ **Ответ:** $15\text{ см}^2$\. **Условие:** В треугольнике сторона $a = 6\sqrt{2}$, а противолежащий ей угол равен $135^\circ$\. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности\. **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём синус угла **$135^\circ$** по формуле приведения:** $$ \sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ 2\) **Запишем расширенную теорему синусов:** $$ \dfrac{a}{\sin\alpha} = 2R $$ 3\) **Подставим данные и найдём диаметр **$2R$**:** $$ 2R = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sin 135^\circ} = \dfrac{6\sqrt{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{6\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 12 $$ 4\) **Найдём радиус описанной окружности:** $$ R = \dfrac{12}{2} = 6 $$ **Ответ:** $6$\. **Условие:** Упростите выражение: $\dfrac{\sin(180^\circ - \alpha) \cdot \cos(90^\circ - \alpha)}{1 - \cos^2(180^\circ - \alpha)}$ при условии $\sin\alpha \neq 0$\. **Пошаговое решение:** 1\) **Преобразуем числитель по формулам приведения:** • $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ • $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ Числитель равен: $\sin\alpha \cdot \sin\alpha = \sin^2\alpha$\. 2\) **Преобразуем знаменатель:** • $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha \implies \cos^2(180^\circ - \alpha) = (-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha$\. Знаменатель равен: $1 - \cos^2\alpha$\. 3\) **Применим основное тригонометрическое тождество в знаменателе:** $$ 1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha $$ 4\) **Выполним сокращение дроби:** $$ \dfrac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = 1 $$ **Ответ:** $1$\. ##### Типичные ошибки в формулах приведения и тождествах При решении геометрических задач с тупыми углами девятиклассники чаще всего допускают следующие четыре ошибки: ##### Минус у синуса тупого угла Считают, что раз косинус тупого угла отрицателен, то и синус тоже должен быть отрицательным: $\sin 150^\circ = -0{,}5$\. В любом треугольнике синус угла **всегда положителен**: $\sin(180^\circ - \alpha) = +\sin\alpha$\! ##### Потеря минуса у косинуса в теореме косинусов Подставляют в формулу $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 120^\circ$ значение $\cos 120^\circ = +0{,}5$ вместо $-0{,}5$\. Для тупого угла косинус отрицателен, поэтому перед удвоенным произведением знак «минус» **обязан смениться на «плюс»**\. ##### Путаница формул 90° и 180° При вычитании из $180^\circ$ ошибочно меняют функцию на кофункцию, записывая $\sin(180^\circ - 30^\circ) = \cos 30^\circ$\. Приведение через $180^\circ$ **сохраняет название функции** \(синус остаётся синусом, косинус — косинусом\)\. Название меняется только при $90^\circ$\! ##### Положительный косинус тупого угла Находя $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha}$ для тупого угла, забывают поставить знак минус перед корнем\. Если в условии сказано, что угол тупой, косинус всегда строго **меньше нуля**: $\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$\. ## Задания на формулы приведения для 9 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/osnovnoe_trigonometricheskoe_tozhdestvo_formuly_privedeniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/osnovnoe_trigonometricheskoe_tozhdestvo_formuly_privedeniya). Онлайн\-тренажёры Экзамео включают полную базу практических заданий по теме «Основное тригонометрическое тождество и формулы приведения» для 9 класса и подготовки к ОГЭ по математике\. Тренируйтесь находить тригонометрические функции тупых углов, применять теоремы синусов и косинусов, сверяйте пошаговые подсказки и доводите решение геометрических задач до полного автоматизма\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/osnovnoe_trigonometricheskoe_tozhdestvo_formuly_privedeniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/osnovnoe_trigonometricheskoe_tozhdestvo_formuly_privedeniya).