> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/ploschad_kruga](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/ploschad_kruga). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Задачи на площадь круга с решениями в тренажёрах **Задачи на площадь круга** составляют важную часть программы геометрии за **9 класс** \(глава «Длина окружности и площадь круга» по учебнику Атанасяна\) и регулярно встречаются в экзаменационных вариантах ОГЭ по математике \(задания 15, 16 и 23\)\. В отличие от многоугольников, ограниченных прямыми отрезками, круг представляет собой гладкую фигуру, площадь которой напрямую выражается через математическую константу $\pi$ и квадрат радиуса\. Помимо нахождения площади самого круга, в курсе 9 класса изучаются его составные части: круговой сектор \(доля круга, ограниченная дугой и двумя радиусами\), круговой сегмент и круговое кольцо \(область между двумя концентрическими окружностями\)\. Понимание этих формул необходимо для решения комплексных геометрических задач, где круг комбинируется с вписанными или описанными треугольниками, квадратами и правильными многоугольниками\. Ниже приведены строгий вывод формулы, сводная таблица соотношений, подробные эталоны решений ключевых практических задач и интерактивные [онлайн\-тренажёры Экзамео](#trenazher-zadachi-na-ploschad-kruga-ekzameo) с моментальной проверкой ответов\. ## Формула площади круга и ключевые соотношения — 9 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/ploschad_kruga](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/ploschad_kruga). **Кругом** называется часть плоскости, ограниченная окружностью и содержащая её центр вместе со всеми внутренними точками\. Площадь круга равна произведению числа $\pi$ на квадрат его радиуса: $$ S = \pi R^2 $$  • **Через диаметр \(**$D$**\):** так как радиус равен половине диаметра \($R = \dfrac{D}{2}$\), формула через диаметр принимает вид: $$ S = \pi \left(\dfrac{D}{2}\right)^2 = \dfrac{\pi D^2}{4} $$ • **Площадь кругового кольца:** разность площадей внешнего круга радиуса $R$ и внутреннего круга радиуса $r$: $$ S_{\text{кольца}} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2) $$  • **Квадратичная зависимость:** увеличение радиуса круга в $k$ раз приводит к увеличению его площади в $k^2$ раз\. Например, при увеличении радиуса в 3 раза площадь круга возрастает в $3^2 = 9$ раз\. В курсе геометрии формула площади круга строго выводится через предел площадей правильных вписанных многоугольников при бесконечном увеличении числа их сторон \($n \to \infty$\)\. Однако, чтобы понять вывод этой формулы сначала необходимо знать тему [Предел функции](/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/predel_funktsii), которая по общей школьной программе проходятся в 10 классе 1\. Впишем в круг радиуса $R$ правильный $n$\-угольник\. Разобьём его отрезками из центра на $n$ равных равнобедренных треугольников с боковыми сторонами $R$ и основанием $a_n$\.  2\. Высота каждого такого треугольника, проведённая к основанию, называется апофемой $r_n$\. Площадь одного треугольника равна $\dfrac{1}{2} a_n r_n$\. 3\. Площадь всего правильного многоугольника $S_n$ равна сумме площадей $n$ треугольников: $$ S_n = n \cdot \left(\dfrac{1}{2} a_n r_n\right) = \dfrac{1}{2} (n \cdot a_n) r_n = \dfrac{1}{2} P_n r_n $$ где $P_n = n \cdot a_n$ — периметр вписанного многоугольника\. 4\. При неограниченном увеличении числа сторон \($n \to \infty$\) периметр многоугольника стремится к длине окружности $P_n \to C = 2\pi R$, а апофема приближается к радиусу $r_n \to R$\. 5\. Подставляя эти предельные значения в формулу площади, получаем точное выражение для площади круга: $$ S = \lim_{n \to \infty} S_n = \dfrac{1}{2} \cdot (2\pi R) \cdot R = \pi R^2 $$ ### Формулы площади круга и его элементов Для быстрого выбора нужного алгоритма при решении задач используйте сводную таблицу соотношений: ##### Геометрическая фигура ##### Формула площади ##### Связь с радиусом и диаметром ##### Особенности применения **Круг** $S = \pi R^2 = \dfrac{\pi D^2}{4}$ $R = \sqrt{\dfrac{S}{\pi}}$ В ответах ОГЭ часто просят записать величину $\dfrac{S}{\pi}$, исключая приближение числа $\pi$\. **Круговой сектор** $S = \dfrac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} = \dfrac{1}{2} l R$ $\alpha$ — угол в градусах, $l$ — длина дуги Через длину дуги сектора $l = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ}$ площадь выражается компактно: $S = \dfrac{l R}{2}$\. **Круговое кольцо** $S = \pi(R^2 - r^2)$ $R$ — внешний, $r$ — внутренний радиус Через длину хорды $AB$ внешнего круга, касающейся внутреннего: $S = \dfrac{\pi AB^2}{4}$\. **Круговой сегмент** $S = S_{\text{сект}} \pm S_{\Delta}$ $S_{\Delta} = \dfrac{1}{2} R^2 \sin\alpha$ При $\alpha < 180^\circ$ площадь треугольника вычитается из сектора, при $\alpha > 180^\circ$ — прибавляется\. #### Где встречаются задачи на площадь круга Задания на вычисление площади круга и его элементов активно используются в школьных и государственных аттестациях: ##### Задания 15 и 16 ОГЭ \(первая часть\) Нахождение радиуса по известной площади круга \($S = 64\pi \implies R = 8$\), вычисление площади кругового сектора по центральному углу и поиск площади круга, описанного около квадрата или прямоугольного треугольника\. ##### Задание 23 ОГЭ \(вторая часть\) Сложные планиметрические задачи на вычисление площадей заштрихованных фигур \(сегментов, остатков круга при пересечении фигурами\) с полным обоснованием и доказательством\. ##### Контрольные работы за 9 класс Тематические контрольные по главе «Длина окружности и площадь круга»: расчёт площади кольца, нахождение угла сектора по заданной площади и радиусу, комбинации с правильными многоугольниками\. ##### Задание 1 Профильного ЕГЭ Задачи на окружности и углы, площадь сектора круга на квадратной решётке и комбинации тел вращения в стереометрии \(площадь основания цилиндра и конуса\)\. #### Задания на площадь круга с пошаговыми решениями Ниже приведены подробные эталоны решений пяти ключевых задач на площадь круга и его элементов, типичных для контрольных работ в 9 классе и экзаменационных заданий ОГЭ\. **Условие:** Площадь круга равна $49\pi\text{ см}^2$\. Найдите диаметр этого круга и длину ограничивающей его окружности\. **Пошаговое решение:** 1\) **Запишем формулу площади круга:** $$ S = \pi R^2 $$ 2\) **Найдём радиус круга \(**$R$**\):** $$ \pi R^2 = 49\pi \implies R^2 = 49 \implies R = \sqrt{49} = 7\text{ см} $$ 3\) **Вычислим диаметр круга \(**$D$**\):** $$ D = 2R = 2 \cdot 7 = 14\text{ см} $$ 4\) **Найдём длину окружности \(**$C$**\):** $$ C = 2\pi R = 2 \cdot \pi \cdot 7 = 14\pi\text{ см} $$ **Ответ:** диаметр равен $14\text{ см}$, длина окружности равна $14\pi\text{ см}$\. **Условие:** Радиус круга равен $12$, а центральный угол сектора равен $150^\circ$\. Найдите площадь этого кругового сектора\. В ответе запишите $\dfrac{S}{\pi}$\. **Пошаговое решение:** 1\) **Запишем формулу площади кругового сектора:** $$ S = \dfrac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} $$ 2\) **Подставим известные значения \(**$R = 12, \alpha = 150^\circ$**\):** $$ S = \dfrac{\pi \cdot 12^2 \cdot 150^\circ}{360^\circ} = \dfrac{\pi \cdot 144 \cdot 150}{360} $$ 3\) **Сократим дробь:** • Сократим числа $150$ и $360$ на $30$: $\dfrac{150}{360} = \dfrac{5}{12}$\. • Подставим полученную дробь: $$ S = \pi \cdot 144 \cdot \dfrac{5}{12} = \pi \cdot \left(\dfrac{144}{12}\right) \cdot 5 = \pi \cdot 12 \cdot 5 = 60\pi $$ 4\) **Разделим результат на **$\pi$** по требованию задачи:** $$ \dfrac{S}{\pi} = \dfrac{60\pi}{\pi} = 60 $$ **Ответ:** $60$\. **Условие:** Найдите площадь кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями с радиусами $R = 10\text{ см}$ и $r = 6\text{ см}$\. В ответе укажите $\dfrac{S}{\pi}$\. **Пошаговое решение:** 1\) **Запишем формулу площади кругового кольца:** $$ S_{\text{кольца}} = \pi(R^2 - r^2) $$ 2\) **Вычислим разность квадратов радиусов:** $$ R^2 - r^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 $$ *\(Второй способ через разность квадратов: *$(10 - 6)(10 + 6) = 4 \cdot 16 = 64$*\)*\. 3\) **Найдём площадь кольца:** $$ S_{\text{кольца}} = 64\pi\text{ см}^2 $$ 4\) **Разделим на **$\pi$**:** $$ \dfrac{S}{\pi} = 64 $$ **Ответ:** $64$\. **Условие:** В квадрат со стороной $a = 10$ вписан круг\. Найдите площадь этого круга и площадь оставшейся части квадрата вне круга \(примите $\pi \approx 3{,}14$\)\. **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём радиус вписанного круга \(**$r$**\):** Диаметр круга, вписанного в квадрат, равен стороне этого квадрата: $$ D = a = 10 \implies r = \dfrac{a}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 $$ 2\) **Вычислим площадь вписанного круга:** $$ S_{\text{кр}} = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \approx 25 \cdot 3{,}14 = 78{,}5 $$ 3\) **Вычислим площадь квадрата:** $$ S_{\text{кв}} = a^2 = 10^2 = 100 $$ 4\) **Найдём площадь оставшейся части квадрата вне круга:** $$ S_{\text{ост}} = S_{\text{кв}} - S_{\text{кр}} \approx 100 - 78{,}5 = 21{,}5 $$ **Ответ:** площадь круга равна $25\pi$ \(или $\approx 78{,}5$\), площадь остатка равна $\approx 21{,}5$\. **Условие:** В круге радиуса $R = 8$ проведён центральный угол $\angle AOB = 90^\circ$\. Хорда $AB$ отсекает круговой сегмент\. Найдите площадь меньшего кругового сегмента\. **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём площадь соответствующего кругового сектора:** При центральном угле $\alpha = 90^\circ$ сектор представляет собой ровно четверть круга: $$ S_{\text{сект}} = \dfrac{\pi R^2 \cdot 90^\circ}{360^\circ} = \dfrac{\pi R^2}{4} = \dfrac{\pi \cdot 8^2}{4} = \dfrac{64\pi}{4} = 16\pi $$ 2\) **Найдём площадь треугольника **$\Delta AOB$**:** Треугольник $\Delta AOB$ является прямоугольным и равнобедренным \($OA = OB = R = 8$\): $$ S_{\Delta} = \dfrac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32 $$ 3\) **Вычислим площадь кругового сегмента:** Площадь сегмента равна разности площадей сектора и треугольника: $$ S_{\text{сегм}} = S_{\text{сект}} - S_{\Delta} = 16\pi - 32 = 16(\pi - 2) $$ **Ответ:** $16\pi - 32$ \(или $16(\pi - 2)$\)\. ##### Типичные ошибки в задачах на площадь круга При решении геометрических задач на площадь круга учащиеся чаще всего допускают следующие четыре ошибки: ##### Путаница формулы длины и площади Считают площадь круга по формуле $S = 2\pi R$ вместо $S = \pi R^2$\. Запомните размерность: площадь — величина двумерная \($\text{см}^2$\), поэтому радиус в ней обязательно должен быть **во второй степени** \($R^2$\)\. ##### Деление на 180° в формуле сектора Путают формулу длины дуги сектора с его площадью и делят на $180^\circ$ вместо $360^\circ$: $S = \dfrac{\pi R^2 \alpha}{180^\circ}$\. Полный угол круга составляет $360^\circ$, поэтому делить нужно строго на $360^\circ$\! ##### Вычисление площади кольца как π\(R \- r\)² Вместо разности квадратов вычисляют квадрат разности: $S = \pi(R - r)^2$\. Это грубейшая алгебраическая ошибка\! Площадь кольца равна $\pi(R^2 - r^2)$, что равно $\pi(R - r)(R + r)$, а не $\pi(R - r)^2$\. ##### Подстановка диаметра вместо радиуса Зная, что диаметр круга равен $10$, подставляют его в формулу $S = \pi \cdot 10^2 = 100\pi$\. Диаметр необходимо предварительно **разделить на два**: $R = 5$, откуда истинная площадь $S = 25\pi$\. ## Задания на площадь круга для 9 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/ploschad_kruga](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/ploschad_kruga). Онлайн\-тренажёры образовательной платформы Экзамео включают полную базу заданий на вычисление площади круга, кругового сектора и кольца для 9 класса и подготовки к ОГЭ по математике\. Тренируйтесь решать задачи онлайн в тренажерах с подробными пошаговыми решениями и уверенно получайте максимальные баллы на контрольных и экзаменах\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/ploschad_kruga](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/ploschad_kruga).