> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/podobnye_mnogougolniki](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/podobnye_mnogougolniki). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Подобные многоугольники \- теория и задания с решениями **Подобные многоугольники** — одна из фундаментальных тем курса геометрии за **9 класс**, расширяющая базовую теорию подобия треугольников на любые произвольные плоские фигуры\. С понятием геометрического подобия мы непрерывно встречаемся в окружающем мире: фотоснимки разного масштаба, географические карты, чертежи деталей, архитектурные макеты зданий и экраны цифровых устройств с разным разрешением сохраняют точную форму объекта, пропорционально изменяя лишь его линейные размеры\. В школьной программе и экзаменационных материалах ОГЭ и ЕГЭ по математике знание свойств подобных многоугольников требуется для расчёта неизвестных сторон, углов, периметров и особенно площадей\. Главный закон подобия гласит: линейные размеры фигур изменяются пропорционально коэффициенту $k$, а их площади — пропорционально квадрату этого коэффициента \($k^2$\)\. Ниже приведены строгое определение, вывод теоремы об отношении площадей, сравнительная таблица свойств, детальный разбор типовых задач для подготовки к контрольным работам в 9 классе и интерактивные [онлайн\-тренажёры Экзамео](#trenazher-podobnye-mnogougolniki-9-klass-ekzameo) с проверкой ответов и пошаговыми решениями\. ## Определение и свойства подобных многоугольников — 9 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/podobnye_mnogougolniki](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/podobnye_mnogougolniki). **Подобные многоугольники** — это два многоугольника с одинаковым числом вершин, у которых соответствующие углы равны, а сходственные стороны строго пропорциональны\. \[Место для иллюстрации: Два подобных пятиугольника A1B1C1D1E1 и A2B2C2D2E2 с равными углами и пропорциональными сходственными сторонами\] • **Коэффициент подобия \(**$k$**\):** отношение длин сходственных сторон \(сторон, соединяющих вершины соответственно равных углов\): $$ \dfrac{A_1B_1}{A_2B_2} = \dfrac{B_1C_1}{B_2C_2} = \dfrac{C_1D_1}{C_2D_2} = \ldots = k $$ • **Отношение периметров:** отношение периметров двух подобных многоугольников в точности равно коэффициенту их подобия: $$ \dfrac{P_1}{P_2} = k $$ • **Отношение площадей подобных многоугольников:** площади двух подобных многоугольников относятся как **квадрат коэффициента подобия**: $$ \dfrac{S_1}{S_2} = k^2 $$ • **Важное отличие от треугольников:** для многоугольников с числом сторон $n \ge 4$ одного лишь равенства углов или одной пропорциональности сторон **недостаточно** для подобия\! Например, у квадрата и прямоугольника углы равны \($90^\circ$\), но стороны не пропорциональны; у квадрата и ромба стороны пропорциональны, но углы различны\. Должны выполняться оба условия одновременно\. Теорема о том, что отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия \($k^2$\), строго доказывается методом триангуляции \(разбиением на подобные треугольники\): 1\. Пусть даны два подобных многоугольника $F_1$ и $F_2$ с коэффициентом подобия $k$\. Выберем в многоугольнике $F_1$ некоторую вершину и проведём из неё все непересекающиеся диагонали\. Они разобьют многоугольник $F_1$ на $(n - 2)$ треугольника: $\Delta_1, \Delta_2, \ldots, \Delta_{n-2}$\. 2\. Проведём соответствующие диагонали из сходственной вершины во втором многоугольнике $F_2$\. Он также разобьётся на $(n - 2)$ треугольника: $\Delta'_1, \Delta'_2, \ldots, \Delta'_{n-2}$\. 3\. Каждый треугольник $\Delta_i$ подобен соответствующему треугольнику $\Delta'_i$ по второму признаку подобия \(по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними\) с тем же коэффициентом подобия $k$\. 4\. По теореме об отношении площадей подобных треугольников отношение площадей каждой пары равно $k^2$: $$ \dfrac{S(\Delta_1)}{S(\Delta'_1)} = \dfrac{S(\Delta_2)}{S(\Delta'_2)} = \ldots = \dfrac{S(\Delta_{n-2})}{S(\Delta'_{n-2})} = k^2 $$ 5\. Применяя свойство равных дробей \(если $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \ldots = k^2$, то $\frac{a_1 + a_2 + \ldots}{b_1 + b_2 + \ldots} = k^2$\), находим отношение полных площадей: $$ \dfrac{S(F_1)}{S(F_2)} = \dfrac{S(\Delta_1) + S(\Delta_2) + \ldots + S(\Delta_{n-2})}{S(\Delta'_1) + S(\Delta'_2) + \ldots + S(\Delta'_{n-2})} = k^2 $$ Теорема полностью доказана для любого выпуклого $n$\-угольника\. \[Место для иллюстрации: Доказательство теоремы: разбиение двух подобных многоугольников на цепочки подобных треугольников диагоналями\] ### Свойства и соотношения элементов подобных многоугольников При решении геометрических задач важно сопоставлять размерность величин и степень коэффициента подобия $k$: ##### Элемент фигуры ##### Отношение величин ##### Зависимость от k ##### Пояснение для задач **Соответствующие углы** $\angle A_1 = \angle A_2$ $k^0 = 1$ \(равны\) Углы при изменении масштаба фигуры не изменяются\. **Сходственные стороны** $\dfrac{a_1}{a_2} = k$ $k^1 = k$ Все соответствующие линейные стороны пропорциональны с коэффициентом $k$\. **Периметры** $\dfrac{P_1}{P_2} = k$ $k^1 = k$ Периметр — линейная сумма сторон, его отношение равно $k$\. **Диагонали и высоты** $\dfrac{d_1}{d_2} = k$ $k^1 = k$ Любые соответствующие линейные отрезки \(высоты, радиусы вписанных и описанных окружностей\) относятся как $k$\. **Площади фигур** $\dfrac{S_1}{S_2} = k^2$ $k^2$ Двумерная величина: при увеличении сторон в $k$ раз площадь возрастает в $k^2$ раз\. #### Подобные многоугольники в контрольных работах и ОГЭ Задачи на подобие плоских многоугольников встречаются как в плановых проверочных работах 9 класса, так и в экзаменационных КИМах: ##### Задание 15 ОГЭ \(геометрия\) Нахождение сторон или периметров подобных геометрических фигур \(треугольников, трапеций, параллелограммов\) по известному коэффициенту подобия в 1–2 действия\. ##### Задачи на отношение площадей Расчёт площади отсечённого многоугольника при проведении прямой, параллельной основанию\. Требует безошибочного применения квадрата коэффициента: $S_1 = S_2 \cdot k^2$\. ##### Задание 23 ОГЭ \(сложная геометрия\) Многошаговые задачи на трапеции и вписанные четырёхугольники, где доказательство подобия треугольников позволяет найти отношение площадей четырёхугольных частей\. ##### Контрольная работа 9 класса Проверочные задания по учебнику Атанасяна на вычисление неизвестных сходственных сторон, периметров и площадей подобных $n$\-угольников\. #### Задания на подобные многоугольники с пошаговыми решениями Ниже приведены подробные решения пяти ключевых задач по теме «Подобные многоугольники», отражающие все стандартные формулировки самостоятельных и контрольных работ за 9 класс\. **Условие:** Стороны четырёхугольника равны $4\text{ см}$, $6\text{ см}$, $7\text{ см}$ и $9\text{ см}$\. Найдите стороны и периметр подобного ему четырёхугольника, если его наибольшая сторона равна $27\text{ см}$\. **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём коэффициент подобия \(**$k$**\):** Наибольшая сторона исходного четырёхугольника равна $9\text{ см}$\. В подобном четырёхугольнике наибольшая сторона равна $27\text{ см}$\. Поскольку эти стороны являются сходственными: $$ k = \dfrac{27}{9} = 3 $$ Все линейные размеры второго четырёхугольника в $3$ раза больше соответствующих размеров первого\. 2\) **Вычислим остальные сходственные стороны:** • $a_2 = 4 \cdot 3 = 12\text{ см}$ • $b_2 = 6 \cdot 3 = 18\text{ см}$ • $c_2 = 7 \cdot 3 = 21\text{ см}$ • $d_2 = 9 \cdot 3 = 27\text{ см}$ 3\) **Найдём периметр второго четырёхугольника:** Периметр первого четырёхугольника: $P_1 = 4 + 6 + 7 + 9 = 26\text{ см}$\. По свойству периметров подобных многоугольников $P_2 = P_1 \cdot k$: $$ P_2 = 26 \cdot 3 = 78\text{ см} $$ *\(Проверка сложением: *$12 + 18 + 21 + 27 = 78\text{ см}$*\)*\. **Ответ:** стороны равны $12\text{ см}$, $18\text{ см}$, $21\text{ см}$, $27\text{ см}$; периметр равен $78\text{ см}$\. **Условие:** Площади двух подобных пятиугольников относятся как $16 : 49$\. Периметр меньшего пятиугольника равен $28\text{ см}$, а площадь большего равна $196\text{ см}^2$\. Найдите периметр большего пятиугольника и площадь меньшего\. **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём коэффициент подобия \(**$k$**\):** По теореме об отношении площадей подобных многоугольников отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия: $$ \dfrac{S_1}{S_2} = k^2 = \dfrac{16}{49} \implies k = \sqrt{\dfrac{16}{49}} = \dfrac{4}{7} $$ 2\) **Найдём площадь меньшего пятиугольника \(**$S_1$**\):** Так как $S_2 = 196\text{ см}^2$: $$ S_1 = S_2 \cdot k^2 = 196 \cdot \dfrac{16}{49} = \dfrac{196}{49} \cdot 16 = 4 \cdot 16 = 64\text{ см}^2 $$ 3\) **Найдём периметр большего пятиугольника \(**$P_2$**\):** Отношение периметров равно первой степени коэффициента подобия: $$ \dfrac{P_1}{P_2} = k = \dfrac{4}{7} \implies P_2 = \dfrac{P_1}{k} = \dfrac{28}{\dfrac{4}{7}} = \dfrac{28 \cdot 7}{4} = 7 \cdot 7 = 49\text{ см} $$ **Ответ:** площадь меньшего пятиугольника равна $64\text{ см}^2$, периметр большего равен $49\text{ см}$\. **Условие:** Являются ли подобными два прямоугольника, если стороны первого равны $8\text{ см}$ и $12\text{ см}$, а стороны второго — $10\text{ см}$ и $15\text{ см}$? **Пошаговое решение:** 1\) **Проверим равенство углов:** У любого прямоугольника все четыре внутренних угла прямые \($90^\circ$\)\. Следовательно, все соответствующие углы первого и второго прямоугольников попарно равны: $90^\circ = 90^\circ$\. Первое условие подобия выполнено\. 2\) **Проверим пропорциональность сходственных сторон:** Сопоставим меньшую сторону с меньшей, а большую — с большей: • Отношение меньших сторон: $\dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$\. • Отношение больших сторон: $\dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$\. 3\) **Сделаем вывод:** Отношения сходственных сторон равны между собой \($\dfrac{8}{10} = \dfrac{12}{15} = 0{,}8$\), а все углы равны\. По определению подобных многоугольников данные прямоугольники подобны с коэффициентом $k = 0{,}8$ \(или $k = 1{,}25$\)\. **Ответ:** да, прямоугольники подобны\. **Условие:** Прямая, параллельная основаниям трапеции, делит её боковые стороны в отношении $1 : 2$, считая от верхнего основания\. Найдите отношение площади отсечённого верхнего треугольника к площади исходного при продолжении боковых сторон до пересечения\. **Пошаговое решение:** 1\) Продлим боковые стороны трапеции до их пересечения в точке $S$\. Получим большой треугольник и отсечённый меньший треугольник\. 2\) Так как прямая параллельна основаниям, малый треугольник подобен большому по первому признаку \(по двум равным углам: общий угол $S$ и соответственные углы при параллельных прямых\)\. 3\) Найдём коэффициент подобия: боковая сторона делится в отношении $1 : 2$, то есть длина стороны малого треугольника составляет $1$ часть, а боковая сторона большого треугольника составляет $1 + 2 = 3$ части: $$ k = \dfrac{1}{3} $$ 4\) По теореме об отношении площадей подобных фигур: $$ \dfrac{S_{\text{мал}}}{S_{\text{бол}}} = k^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9} $$ **Ответ:** $1 : 9$\. **Условие:** Для покраски многоугольного рекламного щита с периметром $12\text{ м}$ потребовалось $1{,}5\text{ кг}$ краски\. Сколько килограммов краски потребуется для покраски подобного щита с периметром $24\text{ м}$ при одинаковом расходе на квадратный метр? **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём коэффициент подобия щитов по их периметрам:** Отношение периметров подобных фигур равно коэффициенту подобия: $$ k = \dfrac{P_2}{P_1} = \dfrac{24}{12} = 2 $$ 2\) **Найдём отношение площадей щитов:** Расход краски пропорционален площади поверхности щита\. Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия: $$ \dfrac{S_2}{S_1} = k^2 = 2^2 = 4 $$ Площадь второго щита ровно в $4$ раза больше площади первого\. 3\) **Вычислим необходимую массу краски:** $$ M_2 = M_1 \cdot 4 = 1{,}5 \cdot 4 = 6\text{ кг} $$ **Ответ:** $6\text{ кг}$\. ##### Типичные ошибки в заданиях на подобные многоугольники При решении задач на подобие многоугольников школьники чаще всего допускают следующие четыре ошибки: ##### Отношение площадей как k вместо k² Если стороны многоугольника увеличились в 3 раза \($k = 3$\), ошибочно считают, что и площадь выросла в 3 раза\. Площадь — величина двумерная, она возрастает строго в **квадрат коэффициента подобия** \($k^2 = 3^2 = 9$ раз\)\! ##### Подобие только по углам или только по сторонам Считают, что любые два ромба подобны \(ведь стороны пропорциональны\) или любые два прямоугольника подобны \(ведь углы равны\)\. Для $n \ge 4$ подобие требует **одновременного выполнения** равенства углов и пропорциональности сторон\. ##### Несоответствие сходственных сторон При составлении пропорций делят случайные стороны фигур вместо сходственных\. Сходственные стороны должны лежать напротив **соответственно равных углов** либо быть упорядочены от наименьшей к наибольшей\. ##### Забытый квадратный корень при поиске периметра Зная отношение площадей $S_1 / S_2 = 16 / 49$, находят отношение периметров как $16 / 49$\. Отношение периметров равно $k$, поэтому сначала необходимо **извлечь квадратный корень**: $k = \sqrt{16/49} = 4/7$\. ## Задания на подобные многоугольники для 9 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/podobnye_mnogougolniki](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/podobnye_mnogougolniki). Интерактивные онлайн\-тренажёры образовательной платформы Экзамео включают полную подборку практических задач по теме «Подобные многоугольники» за 9 класс: от вычисления коэффициента подобия до расчёта площадей и периметров сложных геометрических фигур\. Тренируйтесь решать задачи онлайн, проверяйте правильность ответов за секунду и уверенно готовьтесь к контрольным работам и ОГЭ по математике\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/podobnye_mnogougolniki](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/podobnye_mnogougolniki).