> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/pravilnyi_mnogougolnik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/pravilnyi_mnogougolnik). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Правильный многоугольник 9 класс На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме **«Правильный многоугольник» по геометрии для 9 класса**\. Материал подготовлен для углублённого изучения школьной программы, решения геометрических задач первой и второй частей ОГЭ, а также для подготовки к контрольным работам\. В курсе планиметрии 9 класса правильные многоугольники объединяют свойства треугольников, четырёхугольников и окружностей\. Задачи на нахождение углов, сторон, периметров и радиусов правильных фигур регулярно встречаются в задании №16 и геометрических задачах на готовых чертежах №18 ОГЭ по математике, а также служат основой для стереометрии в старших классах\. Ниже приведены строгие определения, формулы вычисления внутренних и внешних углов, расчёт радиусов вписанных и описанных окружностей для произвольного $n$\-угольника, а также готовые таблицы для равностороннего треугольника, квадрата и правильного шестиугольника\. После теории на странице доступны [онлайн\-тренажёры с автоматической проверкой ответов](#trenazhery-po-pravilnym-mnogougolnikam-ekzameo) и подробными решениями для закрепления навыков\. ## Что такое правильный многоугольник? — 9 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/pravilnyi_mnogougolnik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/pravilnyi_mnogougolnik). **Правильным многоугольником** называется выпуклый многоугольник, у которого **все стороны равны** и **все углы равны** между собой\. • **Простейшие примеры:** правильный 3\-угольник — это **равносторонний треугольник** \(все углы по $60^\circ$\); правильный 4\-угольник — это **квадрат** \(все углы по $90^\circ$\)\. Ромб не является правильным многоугольником, так как его углы могут быть не равны; прямоугольник также не является правильным, так как его соседние стороны могут отличаться\. • **Центр правильного многоугольника:** точка, которая является одновременно центром его вписанной и описанной окружностей\. • **Связь с окружностями:** около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, причём их центры строго совпадают\. ### Углы правильного n\-угольника Для любого правильного многоугольника с числом сторон $n$ справедливы универсальные соотношения для суммы углов, внутреннего, внешнего и центрального углов: ##### Параметр ##### Формула ##### Пояснение Сумма всех внутренних углов $$ \Sigma = 180^\circ \cdot (n - 2) $$ Справедливо для любого выпуклого $n$\-угольника Один внутренний угол \($\alpha_n$\) $$ \alpha_n = \dfrac{180^\circ \cdot (n - 2)}{n} $$ Сумма углов, разделённая поровну на число вершин $n$ Внешний угол \($\beta_n$\) $$ \beta_n = \dfrac{360^\circ}{n} $$ Угол, смежный с внутренним: $\beta_n = 180^\circ - \alpha_n$ Центральный угол \($\gamma_n$\) $$ \gamma_n = \dfrac{360^\circ}{n} $$ Угол, под которым видна сторона из центра многоугольника Посмотрим, как формулы углов применяются на практике при анализе многоугольника: **Задание:** Каждый внутренний угол правильного многоугольника равен $144^\circ$\. Найдите число сторон этого многоугольника\. **Пошаговый разбор:** Самый быстрый способ решения — перейти к внешнему углу: 1\) Найдём внешний угол многоугольника: $$ \beta = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ $$ 2\) Так как сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда равна $360^\circ$, выразим $n$: $$ n = \dfrac{360^\circ}{\beta} = \dfrac{360^\circ}{36^\circ} = 10 $$ **Ответ:** 10 сторон \(правильный десятиугольник\)\. #### Общие формулы для радиусов и площади Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром многоугольника $O$, серединой стороны $M$ и вершиной $A$\. В этом треугольнике гипотенуза равна радиусу описанной окружности $R$, катет $OM$ равен радиусу вписанной окружности $r$ \(апофеме\), а катет $AM$ равен половине стороны $\frac{a_n}{2}$: #### Связь стороны со вписанным и описанным радиусами: • Радиус описанной окружности выражается через сторону $a_n$: $$ R = \dfrac{a_n}{2 \sin\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right)} $$ • Радиус вписанной окружности \(апофема\) выражается через сторону $a_n$: $$ r = \dfrac{a_n}{2 \operatorname{tg}\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right)} $$ • Связь стороны и радиусов по теореме Пифагора: $$ R^2 = r^2 + \left(\dfrac{a_n}{2}\right)^2 $$ • Площадь правильного $n$\-угольника через периметр $P$ и радиус вписанной окружности $r$: $$ S = \dfrac{1}{2} P \cdot r = \dfrac{1}{2} n \cdot a_n \cdot r $$ #### Правильные многоугольники в ОГЭ: треугольник, квадрат, шестиугольник В 9 классе и в экзаменационных заданиях ОГЭ чаще всего встречаются три правильные фигуры: $n = 3$, $n = 4$ и $n = 6$\. Значения их параметров выучивают наизусть: ##### Характеристика ##### Правильный треугольник ##### Квадрат ##### Правильный шестиугольник Внутренний угол \($\alpha$\) $60^\circ$ $90^\circ$ $120^\circ$ Центральный угол \($\gamma$\) $120^\circ$ $90^\circ$ $60^\circ$ Сторона через $R$ $a_3 = R\sqrt{3}$ $a_4 = R\sqrt{2}$ $a_6 = R$ Радиус описанной окр\. \($R$\) $R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ $R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ $R = a$ Радиус вписанной окр\. \($r$\) $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} = \dfrac{R}{2}$ $r = \dfrac{a}{2}$ $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ Площадь фигуры \($S$\) $S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ $S = a^2$ $S = \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}$ Разберём классическую задачу ОГЭ на нахождение площади правильного шестиугольника по известному радиусу: **Задание:** Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен $6$\. Найдите сторону этого шестиугольника, радиус вписанной окружности и его площадь\. **Пошаговый разбор:** 1\) В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности: $$ a = R = 6 $$ 2\) Найдём радиус вписанной окружности $r$: $$ r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} $$ 3\) Правильный шестиугольник состоит из 6 равных равносторонних треугольников со стороной $a = 6$: $$ S = 6 \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{6 \cdot 36\sqrt{3}}{4} = 54\sqrt{3} $$ **Ответ:** сторона $6$; радиус вписанной окружности $3\sqrt{3}$; площадь $54\sqrt{3}$\. #### Как решать задачи на многоугольники в 9 классе При решении геометрических задач на правильные многоугольники придерживайтесь следующей последовательности действий: **Определите число сторон **$n$**:** если задан угол, перейдите к внешнему углу $\beta = 180^\circ - \alpha$ и найдите количество сторон по формуле $n = \frac{360^\circ}{\beta}$\. **Выделите прямоугольный треугольник **$OMA$**:** соедините центр фигуры $O$ с вершиной $A$ \(получите $R$\) и проведите перпендикуляр $OM$ к середине стороны \(получите $r$ и отрезок $\frac{a}{2}$\)\. **Примените тригонометрию или теорему Пифагора:** выразите неизвестный отрезок через $R^2 = r^2 + (\frac{a}{2})^2$ либо воспользуйтесь готовыми табличными формулами для $n = 3, 4, 6$\. **Вычислите искомую площадь или периметр:** используйте соотношение $P = n \cdot a$ и формулу площади через полупериметр $S = \frac{1}{2} P r$\. #### Типичные ошибки школьников При решении контрольных работ в 9 классе и задач на ОГЭ девятиклассники чаще всего допускают следующие три ошибки: ##### Путаница между радиусами R и r Ошибочная подстановка радиуса вписанной окружности вместо описанной\. Помните: отрезок от центра к вершине — это всегда больший радиус $R$, а отрезок от центра к середине стороны \(перпендикуляр\) — меньший радиус $r$\. ##### Путаница внутреннего и центрального углов Школьники часто путают угол между сторонами фигуры $\alpha$ и центральный угол $\gamma$\. Для шестиугольника внутренний угол равен $120^\circ$, а центральный угол — $60^\circ$\! ##### Применение формул правильного многоугольника к произвольному Попытка применить формулу $\alpha = \frac{180^\circ(n-2)}{n}$ к фигурам, у которых стороны равны, но углы разные \(например, к произвольному ромбу\)\. Формула работает строго для правильных фигур\! ## Тренажёры по теме «Правильный многоугольник» для 9 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/pravilnyi_mnogougolnik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/pravilnyi_mnogougolnik). Ниже представлены интерактивные тренажёры с задачами на вычисление сторон, углов, радиусов и площадей правильных многоугольников для 9 класса\. К каждому заданию приведено подробное решение, что поможет закрепить теорию и уверенно решать геометрические номера ОГЭ по математике\. ##### Правильные многоугольники в природе и технике Геометрия правильных многоугольников обеспечивает максимальную прочность и экономию материала при строительстве и в живой природе: ##### Пчелиные соты и принцип экономии 🐝 Пчёлы строят соты в форме правильных шестиугольников\. Математически доказано, что среди всех правильных фигур, которыми можно замостить плоскость без зазоров и наложений \(треугольник, квадрат, шестиугольник\), именно правильный шестиугольник имеет наименьший периметр при заданной площади\. Это позволяет насекомым тратить минимум воска при максимальном объёме мёда\. ##### Шестигранные гайки и инструменты 🔧 Болты и гайки чаще всего изготавливают в форме правильного шестиугольника\. Центральный угол между гранями составляет $60^\circ$, благодаря чему гаечный ключ можно повернуть всего на шестую часть оборота для перехвата инструмента, что критически важно при сборке механизмов в тесном пространстве\. ##### Кристаллические решётки и снежинки ❄️ Молекулярная структура льда формирует гексагональную кристаллическую решётку\. Поэтому каждая природная снежинка строго шестилучевая, а угол между её главными лучами составляет ровно $60^\circ$, повторяя центральный угол правильного шестиугольника\. ##### Паркеты и плитка в архитектуре 🏛️ В дизайне и строительстве для бесшовного покрытия полов и стен используют свойство правильных многоугольников заполнять плоскость вокруг одной вершины\. Сумма углов, сходящихся в одной точке, должна составлять строго $360^\circ$: шесть треугольников \($6 \times 60^\circ$\), четыре квадрата \($4 \times 90^\circ$\) или три шестиугольника \($3 \times 120^\circ$\)\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/pravilnyi_mnogougolnik](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/pravilnyi_mnogougolnik).