> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/quadratic_function](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/quadratic_function). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Квадратичная функция \- вся теория и задания Тема **«Квадратичная функция и график параболы» в 9 классе** — один из центральных разделов школьного курса алгебры\. Понимание свойств параболы необходимо для успешной сдачи ОГЭ \(задания 11 и 21\) и профильного ЕГЭ по математике\. На этой странице представлен полный разбор темы: геометрический смысл всех коэффициентов, формулы нахождения вершины, форма записи со свернутым полным квадратом, пошаговый алгоритм построения по точкам и доступ к [интерактивному онлайн\-тренажёру с проверкой ответов](#trenazher-i-zadachi-parabola-9-klass) на платформе Экзамео\. **Квадратичной функцией** называется функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a, b, c$ — заданные действительные числа, причём главный коэффициент $a \neq 0$, а $x$ — независимая переменная\. Графиком квадратичной функции всегда является **парабола** — плавная U\-образная кривая, обладающая зеркальной вертикальной симметрией\. ##### Анатомия параболы: ключевые элементы и точки **Вершина параболы:** наивысшая или наинизшая точка графика\. В вершине функция меняет направление своего изменения \(убывание сменяется возрастанием или наоборот\)\. • **Ветви параболы:** бесконечные дуги графика, направленные либо вверх, либо вниз\. • **Ось симметрии параболы:** вертикальная прямая $x = x_0$, проходящая через вершину\. График параболы симметричен относительно этой линии: если сложить чертёж пополам вдоль оси, ветви совпадут\. • **Точка пересечения с осью Oy:** точка $(0; c)$, в которой график пересекает вертикальную ось ординат\. • **Точки пересечения с осью Ox \(нули функции\):** корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$\. Если дискриминант $D > 0$ — две точки; если $D = 0$ — одна точка \(вершина лежит на оси $Ox$\); если $D < 0$ — точек пересечения с осью $Ox$ нет\. ## За что отвечают коэффициенты a, b, c в формуле параболы > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/quadratic_function](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/quadratic_function). В формуле $y = ax^2 + bx + c$ каждый коэффициент однозначно определяет определённое геометрическое свойство графика: Коэффициент a ##### Направление ветвей и ширина **Знак a:** • Если $a > 0$ — ветви направлены **вверх** \($\cup$\)\. • Если $a < 0$ — ветви направлены **вниз** \($\cap$\)\. **Модуль \|a\|:** • Чем больше $|a|$, тем парабола «уже» \(сильнее вытянута вдоль $Oy$\)\. • Чем меньше $|a|$, тем парабола «шире» \(приплюснута\)\. При $a = 1$ форма совпадает с базовым шаблоном $y = x^2$\. Коэффициент b ##### Смещение по горизонтали Коэффициент $b$ задаёт положение вершины по оси $Ox$ через формулу $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$: • Если $a$ и $b$ имеют **одинаковые знаки** \($ab > 0$\), вершина смещена **влево** от оси $Oy$ \($x_0 < 0$\)\. • Если $a$ и $b$ имеют **разные знаки** \($ab < 0$\), вершина смещена **вправо** от оси $Oy$ \($x_0 > 0$\)\. • Если $b = 0$, вершина лежит строго на оси $Oy$ \($x_0 = 0$\)\. Коэффициент c ##### Пересечение с осью Oy При подстановке $x = 0$ получаем $y = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$\. • Коэффициент $c$ равен ординате точки пересечения параболы с осью $Oy$\. • Если график пересекает ось $Oy$ выше начала координат — $c > 0$\. • Ниже начала координат — $c < 0$\. • Проходит через начало координат $(0; 0)$ — $c = 0$\. **Задание \(прототип ОГЭ\):** Парабола пересекает ось $Oy$ в точке $(0; 3)$, её ветви направлены вниз, а вершина находится во второй четверти \(левее оси $Oy$\)\. Определите знаки коэффициентов $a, b, c$\. **Пошаговый разбор:** 1\) **Знак a:** Ветви направлены вниз $\implies a < 0$\. 2\) **Знак c:** График пересекает ось ординат выше нуля \(в точке с $y = 3$\) $\implies c = 3 > 0$\. 3\) **Знак b:** Вершина лежит во второй четверти, значит её абсцисса отрицательна: $x_0 = -\dfrac{b}{2a} < 0$\. Так как $a < 0$, знаменатель $2a$ отрицателен\. Чтобы вся дробь со знаком «минус» осталась отрицательной, числитель $b$ обязан быть отрицательным \($b < 0$\)\. **Ответ:** $a < 0$, $b < 0$, $c > 0$\. ### Парабола в канонической форме: сворачивание в полный квадрат Любую квадратичную функцию $y = ax^2 + bx + c$ можно представить в каноническом виде \(в форме выделенного полного квадрата\): $$ y = a(x - x_0)^2 + y_0 $$ где точка $(x_0; y_0)$ — это в точности **координаты вершины параболы**\. ##### Геометрический смысл смещений График функции $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ получается из базового графика $y = ax^2$ с помощью параллельного переноса \(сдвига\): 1\. **Сдвиг по оси Ox на **$x_0$**:** • При записи вида $(x - 3)^2$ график сдвигается **вправо** на 3 единицы \($x_0 = 3$\)\. • При записи вида $(x + 4)^2 = (x - (-4))^2$ график сдвигается **влево** на 4 единицы \($x_0 = -4$\)\. 2\. **Сдвиг по оси Oy на **$y_0$**:** • Знак слагаемого $+ y_0$ напрямую указывает смещение: $+ 2$ — сдвиг **вверх** на 2 единицы, $- 5$ — сдвиг **вниз** на 5 единиц\. ##### Пример выделения полного квадрата Преобразуем функцию $y = x^2 - 6x + 5$: 1\. Сгруппируем члены с переменной: $x^2 - 6x = x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x$\. 2\. Для полного квадрата не хватает $3^2 = 9$\. Прибавим и вычтем 9: $y = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5$\. 3\. Свернём формулу квадрата разности: $y = (x - 3)^2 - 4$\. Вершина параболы находится в точке $(3; -4)$\. Это график стандартной параболы $y = x^2$, смещённый на 3 единицы вправо и на 4 единицы вниз\. **Задание \(прототип ОГЭ\):** Парабола имеет вершину в точке $(1; -4)$ и проходит через точку $(3; 0)$\. Найдите её формулу в стандартном виде $y = ax^2 + bx + c$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Запишем функцию через каноническую форму: $y = a(x - x_0)^2 + y_0$\. 2\) Подставим вершину $(x_0; y_0) = (1; -4)$: $$ y = a(x - 1)^2 - 4 $$ 3\) Подставим точку $(3; 0)$, чтобы найти $a$: $$ 0 = a(3 - 1)^2 - 4 \implies 0 = 4a - 4 \implies 4a = 4 \implies a = 1 $$ 4\) Раскроем скобки: $$ y = 1 \cdot (x - 1)^2 - 4 = x^2 - 2x + 1 - 4 = x^2 - 2x - 3 $$ **Ответ:** $y = x^2 - 2x - 3$\. ### Как построить график параболы по формуле > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/quadratic_function](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/quadratic_function). Чтобы безошибочно построить параболу $y = ax^2 + bx + c$ в тетради или на контрольной работе, следуйте алгоритму из 5 шагов: **Определите направление ветвей:** по знаку коэффициента $a$\. Если $a > 0$ — ветви направлены вверх, если $a < 0$ — вниз\. **Найдите координаты вершины **$(x_0; y_0)$**:** Отметьте вершину на координатной плоскости и проведите пунктиром вертикальную ось симметрии $x = x_0$\. **Найдите нули функции \(пересечения с осью Ox\):** решите уравнение $ax^2 + bx + c = 0$\. Если корни существуют, отметьте точки $(x_1; 0)$ и $(x_2; 0)$\. **Найдите точку на оси Oy и симметричную ей точку:** отметьте точку $(0; c)$ на оси ординат\. Затем с помощью оси симметрии $x = x_0$ сразу найдите парную ей точку $(2x_0; c)$ на противоположной ветви\. **Используйте шаблон шагов \(1, 4, 9\) и соедините точки:** для базового коэффициента $a = 1$ от вершины вправо и влево действуют смещения: на $1$ шаг вбок $\to$ на $1$ шаг вверх \($1^2$\); на $2$ шага вбок $\to$ на $4$ шага вверх \($2^2$\); на $3$ шага вбок $\to$ на $9$ шагов вверх \($3^2$\)\. При $a = 2$ вертикальные шаги удваиваются \($2, 8, 18$\)\. Соедините точки плавной линией без изломов и углов\. ##### Заметка: сколько точек нужно для точного построения параболы • **Минимум 3 точки \(эскиз графика\):** для приблизительного наброска достаточно найти вершину и два корня \(нули функции\), если дискриминант $D > 0$\. • **Золотой стандарт — 5 точек:** чтобы парабола получилась аккуратной, правильной формы и без искажения кривизны, всегда стройте минимум **5 ключевых точек**:   1\. Вершина параболы $(x_0; y_0)$;   2–3\. Две симметричные точки с шагом в $\pm 1$ единицу от вершины по оси $Ox$;   4–5\. Две симметричные точки с шагом в $\pm 2$ единицы от вершины \(или точка пересечения с осью $Oy$ и симметричная ей точка\)\. **Задание:** Найдите координаты вершины, нули функции и постройте по точкам график квадратичной функции $y = -x^2 + 4x + 5$\. **Пошаговый разбор:** 1\) **Направление ветвей:** $a = -1 < 0 \implies$ ветви направлены вниз\. 2\) **Координаты вершины:** $$ x_0 = -\dfrac{4}{2 \cdot (-1)} = 2, \quad y_0 = -(2)^2 + 4 \cdot 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 $$ Вершина находится в точке $(2; 9)$\. Ось симметрии: прямая $x = 2$\. 3\) **Нули функции \(пересечение с Ox\):** $$ -x^2 + 4x + 5 = 0 \implies x^2 - 4x - 5 = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 5 $$ Точки на оси $Ox$: $(-1; 0)$ и $(5; 0)$\. 4\) **Точка на оси Oy и симметрия:** При $x = 0 \implies y = 5$, получаем точку $(0; 5)$\. Симметричная ей точка относительно $x = 2$ имеет абсциссу $x = 4$: точка $(4; 5)$\. 5\) **Итоговая таблица 5 точек:** \| $x$ \| $-1$ \| $0$ \| $2$ \| $4$ \| $5$ \| \| :\-\-\-: \| :\-\-\-: \| :\-\-\-: \| :\-\-\-: \| :\-\-\-: \| :\-\-\-: \| \| $y$ \| $0$ \| $5$ \| $9$ \| $5$ \| $0$ \| Соединяем эти 5 точек гладкой кривой с вершиной в точке $(2; 9)$\. **Ответ:** вершина $(2; 9)$; нули функции: $x = -1$ и $x = 5$\. #### Ошибки при работе с квадратичной функцией При решении заданий 9 класса и задач ОГЭ учащиеся чаще всего допускают следующие три ошибки: ##### Потеря минуса в формуле абсциссы вершины В формуле $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ часто забывают знак «минус» перед дробью либо путают знаки, если коэффициент $a$ отрицателен \(например, при $y = -x^2 + 4x$ берут $x_0 = \frac{4}{-2} = -2$ вместо $+2$\)\. ##### Неверный знак смещения по оси Ox В формуле $y = (x + 3)^2$ ошибочно считают, что график сдвинут вправо, видя знак «плюс»\. В действительности $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$, поэтому смещение происходит строго **влево** на 3 единицы\. ##### Путаница коэффициента c с корнями Коэффициент $c$ путают с точками пересечения с осью $Ox$\. Запомните: $c$ — это точка пересечения исключительно с вертикальной осью $Oy$ \(ордината при $x = 0$\), а пересечения с осью $Ox$ находятся только через дискриминант или теорему Виета\. ## Задания и тренажёр по параболе на Экзамео В интерактивных тренажёрах Экзамео собраны все актуальные типы заданий по теме «Квадратичная функция и график параболы» для 9 класса: поиск коэффициентов по графику, расчёт координат вершины, нахождение промежутков знакопостоянства и монотонности, а также задания №11 и №21 ОГЭ по математике\. Каждое задание снабжено подробным пошаговым разбором и моментальной автоматической проверкой ответов\. ##### Парабола в реальной жизни и физике Парабола — это не просто абстрактная математическая функция из школьного учебника, а фундаментальная траектория природы и ключевая инженерная форма\. Благодаря своим уникальным оптическим и механическим свойствам парабола окружает нас повсюду: ##### Баллистика и гравитация Любое тело, брошенное под углом к горизонту в поле тяжести Земли \(мяч, артиллерийский снаряд, струя фонтана\), летит по траектории параболы, описываемой уравнением $y(t) = v_0 t - \dfrac{gt^2}{2}$\. ##### Спутниковые антенны Тарелка спутниковой связи имеет форму параболоида вращения\. Все параллельные радиоволны из космоса, отражаясь от зеркала параболы, собираются строго в одной точке — её **фокусе**, где и расположен приёмник\. ##### Фары автомобилей и прожекторы Действует обратное оптическое свойство: если поместить лампочку точно в фокус параболического рефлектора фары, все отражённые лучи сформируют мощный параллельный пучок света, освещающий дорогу вдаль без рассеивания\. **1\. Подвесные мосты и вантовые конструкции:** Главные несущие стальные тросы подвесных мостов \(например, моста «Золотые Ворота» в Сан\-Франциско или Крымского моста\) под равномерной нагрузкой дорожного полотна провисают именно по форме параболы\. Это обеспечивает равномерное распределение механического натяжения по всей длине опор\. **2\. Солнечные концентраторы и печи:** Параболические зеркала используются в экологичной энергетике\. Они концентрируют солнечную энергию в фокусе, разогревая теплоноситель до температур свыше $1000^\circ\text{C}$ для выработки электроэнергии или плавки металлов\. **3\. Тренировки космонавтов в невесомости:** Самолёт Ил\-76 МДК выполняет специальный манёвр — «горку Кеплера»\. Он взлетает вверх и летит по нисходящей параболической траектории свободного падения\. Внутри салона на 25–30 секунд возникает реальное состояние полной невесомости для подготовки экипажей\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/quadratic_function](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/quadratic_function).