Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам 9 класс. Теория и тренажеры

На этой странице представлен разбор темы «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам» для 9 класса, чтобы помочь ученикам понять суть векторного базиса на плоскости, научиться геометрически и алгебраически находить коэффициенты разложения и успешно справляться с контрольными работами.

Тема разложения вектора является мостом между наглядными геометрическими чертежами и методом координат. Именно на этой теореме базируется введение декартовой системы координат: координаты любого вектора — это не что иное, как коэффициенты его разложения по единичным базисным векторам координатных осей. Уверенное владение этой темой необходимо для решения задач повышенного уровня сложности и последующего изучения стереометрии в 10–11 классах.

Теорема о разложении вектора

пусть $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — два неколлинеарных вектора. Тогда любой вектор $\vec{p}$ на плоскости можно представить в виде:

\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}

где числа $x$ и $y$ называются коэффициентами разложения, причём эти коэффициенты определяются единственным образом.

• Неколлинеарные векторы: ненулевые векторы, которые не лежат на одной прямой и не параллельны друг другу. Любая пара таких векторов образует базис на плоскости.

• Единственность: для выбранного базиса невозможно подобрать вторую пару чисел $(x'; y')$ , которая давала бы тот же самый вектор $\vec{p}$ .

Геометрический смысл: правило параллелограмма

С геометрической точки зрения разложить вектор $\vec{p}$ по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ означает представить вектор $\vec{p}$ как диагональ параллелограмма, стороны которого направлены вдоль прямых, содержащих векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ .

Графически разложение вектора по двум неколлинеарным векторам выглядит следующим образом:

Правило параллелограмма для разложения по базису

Давайте разберем алгоритм на примере

Пошаговое геометрическое построение:

1. Отложим от произвольной точки $O$ векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ , $\vec{OB} = \vec{b}$ и раскладываемый вектор $\vec{OP} = \vec{p}$ .

2. Через конец вектора $\vec{p}$ (точку $P$ ) проведём две вспомогательные прямые: одну — параллельно прямой $OA$ , другую — параллельно прямой $OB$ .

3. Точки пересечения этих прямых с лучами $OA$ и $OB$ обозначим как $A_1$ и $B_1$ .

4. По правилу параллелограмма: $\vec{OP} = \vec{OA_1} + \vec{OB_1}$ .

5. Так как вектор $\vec{OA_1}$ лежит на одной прямой с $\vec{a}$ , то по свойству коллинеарных векторов $\vec{OA_1} = x\vec{a}$ . Аналогично $\vec{OB_1} = y\vec{b}$ . Итог: $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$ .

Разложение вектора по двум неколлинеарным через параллелограм

Посмотрим, как геометрическое разложение применяется при решении типовой школьной задачи с параллелограммом:

Пример применения 1: Разложение медианы и диагонали параллелограмма

Задание: В параллелограмме $ABCD$ вектор $\vec{AB} = \vec{a}$ , а вектор $\vec{AD} = \vec{b}$ . Точка $M$ — середина стороны $BC$ . Разложите по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AM}$ .

Пример разложения медианы в параллелограмме

Пошаговый разбор:

1) Разложение вектора диагонали $\vec{AC}$ :

По правилу параллелограмма сумма векторов сторон, выходящих из одной вершины, равна вектору диагонали:

\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}

Здесь коэффициенты разложения: $x = 1$ , $y = 1$ .

2) Разложение вектора $\vec{AM}$ :

По правилу треугольника представим путь из точки $A$ в точку $M$ через вершину $B$ :

\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}

Вектор $\vec{BM}$ сонаправлен с вектором $\vec{BC}$ , а так как $M$ — середина $BC$ , то $\vec{BM} = \dfrac{1}{2}\vec{BC}$ .

В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, значит $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ .

Подставим полученные выражения:

\vec{AM} = \vec{a} + \dfrac{1}{2}\vec{b}

Здесь коэффициенты разложения: $x = 1$ , $y = 0{,}5$ .

Ответ: $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$ ; $\vec{AM} = \vec{a} + 0{,}5\vec{b}$ .

Алгебраическое разложение - связь с координатами вектора

Привычные координаты вектора в прямоугольной системе координат — это частный случай разложения по двум взаимно перпендикулярным единичным векторам (ортам):

Координатные орты $\vec{i}$ и $\vec{j}$ 🧭

• Вектор $\vec{i}$ сонаправлен с осью $Ox$ , его длина $|\vec{i}| = 1$ .

• Вектор $\vec{j}$ сонаправлен с осью $Oy$ , его длина $|\vec{j}| = 1$ .

Векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ неколлинеарны, поэтому образуют ортонормированный базис на плоскости.

Определение координат 🎯

Если вектор $\vec{p}$ разложен по базису:

\vec{p} = x\vec{i} + y\vec{j}

то числа $x$ и $y$ называются координатами вектора в данной системе координат: $\vec{p}\{x; y\}$ .

Графически ортонормированный базис и разложение вектора через него выглядит следующим образом:

Если базисные векторы заданы своими координатами, поиск коэффициентов разложения любого третьего вектора сводится к решению обычной системы линейных уравнений:

Пример применения 2: Алгебраический поиск коэффициентов разложения через систему уравнений

Задание: Даны векторы $\vec{a}\{2; 1\}$ , $\vec{b}\{-1; 3\}$ и $\vec{p}\{5; 6\}$ . Убедитесь, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, и найдите коэффициенты разложения вектора $\vec{p}$ по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ .

Пошаговый разбор:

1) Проверка на неколлинеарность:

Координаты коллинеарных векторов пропорциональны: $\dfrac{x_a}{x_b} = \dfrac{y_a}{y_b}$ .

Проверим отношение: $\dfrac{2}{-1} = -2$ , а $\dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$ . Так как $-2 \neq \dfrac{1}{3}$ , отношения не равны, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны и могут служить базисом.

2) Составление векторного уравнения:

\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}

Подставим координаты векторов в виде равенств по осям $Ox$ и $Oy$ :

\begin{cases} 2x - 1y = 5 \\ 1x + 3y = 6 \end{cases}

3) Решение системы:

Из второго уравнения выразим $x$ : $x = 6 - 3y$ .

Подставим в первое уравнение:

2(6 - 3y) - y = 5 \implies 12 - 6y - y = 5 \implies -7y = -7 \implies y = 1

Найдём $x$ :

x = 6 - 3 \cdot 1 = 3

4) Запишем итоговое разложение:

\vec{p} = 3\vec{a} + \vec{b}

Ответ: коэффициенты разложения: $x = 3$ , $y = 1$ .

Разложение векторов в геометрических фигурах

В геометрии 9 класса очень популярны задачи, где требуется выразить медианы, средние линии или отрезки диагоналей через стороны многоугольника.

Рассмотрите ключевую задачу на разложение медианы произвольного треугольника, формула которой часто используется как готовая теорема:

Пример применения 3: Разложение медианы треугольника по векторам сторон

Задание: В треугольнике $ABC$ отрезок $AM$ — медиана, проведённая к стороне $BC$ . Выразите вектор $\vec{AM}$ через векторы $\vec{b} = \vec{AB}$ и $\vec{c} = \vec{AC}$ .

Пошаговый разбор:

1) Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$ , где диагональ $AD$ делится точкой пересечения диагоналей $M$ пополам.

2) Вектор диагонали параллелограмма равен сумме векторов его сторон:

\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AC} = \vec{b} + \vec{c}

3) Так как точка $M$ — середина диагонали $AD$ , то вектор медианы $\vec{AM}$ равен ровно половине вектора $\vec{AD}$ :

\vec{AM} = \dfrac{1}{2}\vec{AD} = \dfrac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) = \dfrac{1}{2}\vec{b} + \dfrac{1}{2}\vec{c}

Ответ: $\vec{AM} = 0{,}5\vec{b} + 0{,}5\vec{c}$ (вектор медианы треугольника равен полусумме векторов сторон, выходящих из той же вершины).

Пошаговый алгоритм нахождения разложения вектора

Чтобы безошибочно разложить один вектор по двум другим, следуйте единому алгоритму:

Проверьте неколлинеарность базиса: убедитесь, что базисные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не параллельны (их координаты не пропорциональны). Если векторы параллельны, разложить по ним произвольный вектор плоскости невозможно.

Выберите способ решения: если дана геометрическая фигура — используйте правила треугольника и параллелограмма; если векторы заданы координатами — составляйте систему линейных уравнений.

Выразите вектор через промежуточные отрезки: стройте цепочки векторов по контуру фигуры так, чтобы в итоге прийти к базисным векторам (например: $\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CK}$ ).

Приведите подобные слагаемые: сгруппируйте множители при векторе $\vec{a}$ и при векторе $\vec{b}$ , записав итоговый ответ в виде $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$ .

Типичные ошибки при разложении векторов

При выполнении самостоятельных и контрольных работ девятиклассники чаще всего допускают три характерные ошибки:

Попытка разложить вектор по коллинеарным векторам

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат на параллельных прямых, их сумма всегда направлена вдоль той же прямой. Разложить по ним вектор, смотрящий в другую сторону, математически невозможно: теорема требует строгой неколлинеарности.

Потеря знака при противоположном направлении

Если вектор направлен против базисного вектора, коэффициент разложения обязан быть отрицательным. Например, если $\vec{AB} = \vec{a}$ , то противоположный вектор $\vec{BA} = -1\vec{a}$ . Про знак минус часто забывают.

Путаница между отрезками и векторами

Сложение векторов нельзя подменять сложением длин их отрезков: $|\vec{a} + \vec{b}| \neq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ (длина суммы не равна сумме длин, за исключением сонаправленных векторов).

Тренажёры по теме «Разложение вектора» на платформе Экзамео

Ниже представлены интерактивные тренажёры по теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам» для 9 класса. Для каждого задания вы найдете подробное решение и проверку ответов. Практикуйтесь в нахождении коэффициентов разложения в геометрических фигурах (треугольниках, трапециях, параллелограммах) и в координатной форме, проверяйте правильность своих рассуждений и готовьтесь к контрольным работам по геометрии 9 класса на высший балл!

Задача 1

Разложение вектора по стандартному базису

Темы3

Курсы1

Задача на нахождение координат вектора по двум точкам плоскости и его разложение по ортонормированному базису i и j.Вариант 1

Даны точки $C(4;\; -1)$ и $D(7;\; -12)$ .

Вектор $\vec{CD}$ разложен по единичным базисным векторам координатных осей $\vec{i}$ и $\vec{j}$ :

\vec{CD} = x\vec{i} + y\vec{j}

Найдите коэффициент при векторе $\vec{i}$ в этом разложении.

Ваш ответ

Задача 2

Разложение вектора по двум другим векторам с проверкой

Темы3

Курсы1

Задание на разложение заданного вектора по двум базисным векторам& Требуется найти один из коэффициентов, либо, если векторы коллинеарны (не могут образовывать базис на плоскости), записать в ответ кодовое слово «нет».Вариант 1

Даны векторы $\vec{a}\{-1;\; 3\}$ , $\vec{b}\{-4;\; -3\}$ и $\vec{c}\{-5;\; 0\}$ .

Вектор $\vec{c}$ разложен по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ :

\vec{c} = k\vec{a} + m\vec{b}

Найдите коэффициент m.

Примечание: если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и разложить вектор $\vec{c}$ единственным образом невозможно, запишите в ответ слово нет.

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Теорема о разложении вектора

Геометрический смысл: правило параллелограмма

Алгебраическое разложение - связь с координатами вектора

Разложение векторов в геометрических фигурах

Пошаговый алгоритм нахождения разложения вектора

Типичные ошибки при разложении векторов

Тренажёры по теме «Разложение вектора» на платформе Экзамео

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Рекомендуем изучить вместе с этой темой