> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/skalyarnoe_proizvedenie_vektorov_2](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/skalyarnoe_proizvedenie_vektorov_2). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Скалярное произведение векторов: формулы, координаты и угол На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме **«Скалярное произведение векторов» по геометрии для 9 класса**\. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический материал с наглядным разбором двух ключевых формул вычисления скалярного произведения, выведением формулы для угла между векторами, анализом геометрических условий и решением типовых задач из проверочных работ и ОГЭ\. Скалярное произведение — одна из самых важных и часто используемых операций над векторами\. В отличие от сложения или вычитания, результат скалярного произведения векторов — это не новый вектор, а **обычное число \(скаляр\)**\. Данная операция позволяет моментально находить углы между отрезками, доказывать их перпендикулярность и решать сложные геометрические задачи без громоздких дополнительных построений\. ## Теоретический справочник: две формулы скалярного произведения > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/skalyarnoe_proizvedenie_vektorov_2](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/skalyarnoe_proizvedenie_vektorov_2). В геометрии за 9 класс используются два способа вычисления скалярного произведения: геометрический \(через длины и косинус угла\) и алгебраический \(через координаты векторов\)\. ### Скалярное произведение через длины векторов и косинус угла #### Геометрическая формула: Скалярным произведением двух векторов называется **число**, равное произведению длин \(модулей\) этих векторов на косинус угла между ними\. $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \alpha$ где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ \(отложенными от одной точки\)\. Знак результата напрямую зависит от знака косинуса угла: • **Если угол острый \(**$\alpha < 90^\circ$**\):** $\cos \alpha > 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} > 0$\. • **Если угол тупой \(**$\alpha > 90^\circ$**\):** $\cos \alpha < 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} < 0$\. • **Признак перпендикулярности \(**$\alpha = 90^\circ$**\):** так как $\cos 90^\circ = 0$, то скалярное произведение двух перпендикулярных ненулевых векторов **равно нулю** \($\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \vec{a} \perp \vec{b}$\)\. • **Скалярный квадрат:** скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его длины: $\vec{a} \cdot \vec{a} = \vec{a}^2 = |\vec{a}|^2$\. ### Вычисление скалярного произведения через координаты векторов > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/skalyarnoe_proizvedenie_vektorov_2](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/skalyarnoe_proizvedenie_vektorov_2). Если векторы заданы своими прямоугольными координатами на плоскости $\vec{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2\}$, то угол искать не нужно\! #### Координатная формула: Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат\. $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$ Пример: если $\vec{a} = \{3; -2\}$ и $\vec{b} = \{4; 5\}$, то их скалярное произведение равна: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + (-2) \cdot 5 = 12 - 10 = 2$\. #### Формула угла между векторами и ее выведение Приравнивая геометрическую и координатную формулы скалярного произведения, мы получаем мощный алгебраический инструмент для нахождения углов между векторами или любыми прямыми на плоскости\. ##### Формула косинуса угла между векторами Из первой формулы следует: $\cos \alpha = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ #### Косинус угла между векторами: $$ \cos \alpha = \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}} $$ Формула косинуса угла через координаты — это основа координатного метода решения геометрических задач\. Она позволяет находить углы произвольных фигур гораздо быстрее обычных геометрических построений: #### Пошаговый алгоритм решения задач на скалярное произведение векторов При решении задач на скалярное произведение за 9 класс придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Определите способ задания векторов:** если даны длины и угол — используйте формулу $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \alpha$; если даны координаты точек или векторов — используйте формулу $x_1 x_2 + y_1 y_2$\. **Вычислите координаты векторов \(при необходимости\):** если заданы точки начала $A(x_1; y_1)$ и конца $B(x_2; y_2)$, вычтите координаты начала из конца: $\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1\}$\. **Найдите значение скалярного произведения:** перемножьте соответствующие координаты и сложите их\. **Найдите угол \(если требуется по заданию\):** разделите найденное скалярное произведение на произведение длин векторов и укажите градусную меру угла по таблице косинусов\. ##### Разбор типовых задач из контрольных работ и ОГЭ Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных, контрольных работ за 9 класс и экзамена ОГЭ по геометрии\. **Задание:** Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $|\vec{a}| = 6$, $|\vec{b}| = 4$, а угол между ними равен $120^\circ$\. **Подробное решение:** 1\) Применяем геометрическую формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos 120^\circ$ 2\) Учитываем, что $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 24 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -12$ **Ответ:** $-12$\. **Задание:** Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = \{1; 2\}$ и $\vec{b} = \{-2; 1\}$\. **Подробное решение:** 1\) Находим скалярное произведение векторов по их координатам: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = -2 + 2 = 0$ 2\) Находим длины векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ $|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ 3\) Находим косинус угла между ними: $\cos \alpha = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \dfrac{0}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \dfrac{0}{5} = 0$ 4\) Так как косинус равен $0$, угол между векторами равен $90^\circ$ \(векторы перпендикулярны\)\. **Ответ:** $\cos \alpha = 0$ \($\alpha = 90^\circ$\)\. ## Тренажёры по скалярному произведению векторов на Экзамео Закрепите скалярное произведение векторов на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео с подробными решениями и пояснениями**\. Все учебные задания, самостоятельные карточки и проверочные тесты по теме **«Скалярное произведение векторов» за 9 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/skalyarnoe_proizvedenie_vektorov_2](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/skalyarnoe_proizvedenie_vektorov_2).