> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/slozhenie-vektorov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/slozhenie-vektorov). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Сложение векторов \- все способы\. Геометрия 9 класс В этом разделе подробно рассматривается тема **«Сложение векторов» по геометрии за 9 класс**\. Векторный метод является одним из наиболее универсальных инструментов математики и физики, позволяющим описывать направление, величину и совместное действие величин на плоскости и в пространстве\. В программе 9 класса школьники осваивают геометрические методы построения суммы \(по **правилу треугольника** и **правилу параллелограмма**\), а также аналитический метод — **сложение векторов по координатам**\. Здесь собрана вся ключевая теория, необходимая для решения задач из школьной программы 9 класса\. Также важно отметить, что эта тема встречается в кодификаторе ОГЭ по математике\(Векторы на плоскости\) и профильного **ЕГЭ по математике** \([2 задание ЕГЭ по математике \- векторы](/subjects/math/courses/ege_math/topics/2-zadanie-ege-po-matematike-vektory)\)\. Сложение векторов лежит в основе решения многих задач по физике в 9\-11 классах\. Отработать тему сложение векторов можно после теории в интерактивных тренажёрах с подробными решениями\. ## Геометрические правила сложения векторов > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/slozhenie-vektorov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/slozhenie-vektorov). Сложение векторов отличается от сложения обычных чисел \(скаляров\), так как вектор имеет не только числовое значение \(модуль\), но и направление\. Суммой двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется новый вектор $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$\. Для суммирования векторов используются 3 правила, два из которых геометрические и требуют дополнительных построений\. ### Правило треугольника \(сложение «цепочкой»\) Универсальное правило, подходящее для сложения двух произвольных векторов, а также для построения суммы цепочки из нескольких векторов \(правило многоугольника\)\. #### Алгоритм сложения по правилу треугольника Чтобы сложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу треугольника: 1\. От произвольной точки $A$ отложите вектор $\vec{AB} = \vec{a}$\. 2\. Из **конца первого вектора** \(точки $B$\) отложите второй вектор $\vec{BC} = \vec{b}$ \(начало второго вектора совмещается с концом первого\)\. 3\. Вектор $\vec{AC}$, выпущенный из **начала первого** \(точки $A$\) в **конец второго** \(точку $C$\), является вектором суммы: $$ \vec{a} + \vec{b} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} $$ Визуально правило треугольника выглядит вот так:  ### Правило параллелограмма > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/slozhenie-vektorov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/slozhenie-vektorov). Удобный метод сложения двух неколлинеарных векторов, приложенных к одной точке\. Это правило лежит в основе нахождения равнодействующей силы в физике\. #### Алгоритм сложения по правилу параллелограмма: 1\. Отложите от **одной точки **$O$ оба вектора: $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$\. 2\. Достройте полученный угол до параллелограмма $OACB$ \(через концы векторов $A$ и $B$ проведите прямые, параллельные соответствующим векторам\)\. 3\. Вектор суммы $\vec{c} = \vec{OC}$ совпадает с **диагональю параллелограмма**, выходящей из общего начала \(точки $O$\): $$ \vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB} = \vec{a} + \vec{b} $$ Визуально правило сложения векторов по параллелограмму выглядит следующим образом:  #### Сложение коллинеарных векторов Мы разобрали все случаи сложения векторов, которые проходятся на геометрии в 9 классе, но остается логичный вопрос, все эти вектора направлены под каким\-то углом друг к другу\. А что же делать, если вектора направлены вдоль одной прямой? Алгебраический способ через координаты ничем не отличается, а вот геометрически вы просто переносите один вектор к концу другого и складываете их, если они сонаправлены или вычитаете, если вектора направлены в противоположные стороны 1 ##### Сложение сонаправленных векторов  2 ##### Сложение разнонаправленных векторов  ##### Выбор способа сложения векторов Сделаем важное замечание \- вектора можно параллельно переносить вдоль координатной плоскости, поскольку вектор, это просто комбинация длины и направления\. Фактически это означает, что вы можете выбрать один способ и всегда пользоваться им, просто переносить параллельно вектора либо к одной точке для сложения по правилу параллелограмма, либо начало одного вектора к концу другого для использования правила треугольника ### Сложение векторов по координатам Аналитический метод сложения векторов является самым простым и точным, так как исключает необходимость дополнительных построений\. В декартовой системе координат каждая координата вектора суммы равна сумме соответствующих координат слагаемых векторов\. #### Формула сложения векторов в координатах Если векторы заданы своими координатами $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$, то вектор их суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ имеет координаты: $$ \vec{c} = \{x_1 + x_2;\; y_1 + y_2\} $$ Для случая пространственных векторов \(в 10–11 классах и стереометрии ЕГЭ\) формула аналогично дополняется третьей осью: $\vec{c} = \{x_1 + x_2;\; y_1 + y_2;\; z_1 + z_2\}$\. Именно этот метод сложения векторов будет использоваться в ЕГЭ по математике профильного уровня #### Применение сложения векторов в физике В физике почти все кинематические и динамические величины \(скорость, ускорение, сила, импульс, напряженность электрического поля\) являются векторными, вы будете проходить их в 9, 10 и 11 классе\. На экзамене в 9 классе векторов практически не будет Нахождение их совместного действия полностью основывается на геометрии сложения векторов: ##### 1\. Равнодействующая сила \(Динамика\) Если на тело одновременно действуют несколько сил $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \dots, \vec{F}_n$, то их общее действие заменяется одной **равнодействующей силой**: $$ \vec{F}_{\text{равн}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots + \vec{F}_n $$ Для её построения применяется **правило параллелограмма**\.  Построение для результирующей силы будет выглядеть следующим образом:  ##### 2\. Сложение скоростей \(Кинематика\) Закон сложения скоростей Галилея: абсолютная скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме относительной и переносной скоростей: $$ \vec{v}_{\text{абс}} = \vec{v}_{\text{отн}} + \vec{v}_{\text{перен}} $$ Это активно используется в начале 9 и 10 класса при решении задач на движение по реке перпендикулярно течению\. Вектора опять же складываются по методу параллелограмма\. Закон сложения скоростей так же встречается на **ЕГЭ по физике**\.  #### Основные свойства сложения векторов\! Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ выполняются законы алгебры: 1\. **Переместительный \(коммутативность\):** $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ 2\. **Сочетательный \(ассоциативность\):** $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ 3\. **Сложение с нулевым вектором:** $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$ 4\. **Противоположный вектор:** $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$ ### Пошаговый алгоритм сложения векторов При решении геометрических и физических задач на сложение векторов придерживайтесь алгоритма, он поможет решить задачи без ошибок и выбрать правильный метод сложения: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/slozhenie-vektorov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/slozhenie-vektorov). **Выберите способ решения:** если заданы координаты — складывайте аналитически; если задан чертеж — используйте геометрическое построение\. **Выполните построение или вычисление:** для построения «цепочкой» используйте правило треугольника, из одной точки — правило параллелограмма; в координатах сложите $x$\-координаты отдельно, $y$\-координаты отдельно\. **Рассчитайте модуль вектора \(при необходимости\):** найдите длину полученного вектора по формуле $|\vec{c}| = \sqrt{x_{\text{сум}}^2 + y_{\text{сум}}^2}$ и выпишите ответ\. #### Разбор задач на сложение векторов в математике Рассмотрите решения характерных прототипов задач из банка ФИПИ\. **Задание:** Даны векторы $\vec{a}\{3; -4\}$ и $\vec{b}\{5; 12\}$\. Найдите длину вектора $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$\. **Подробное решение:** 1\) Найдем координаты вектора суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$, поочередно сложив соответствующие координаты: $$ x_c = x_a + x_b = 3 + 5 = 8 $$ $$ y_c = y_a + y_b = -4 + 12 = 8 $$ Получаем вектор $\vec{c}\{8; 8\}$\. 2\) Вычислим длину \(модуль\) полученного вектора $\vec{c}$ по формуле $|\vec{c}| = \sqrt{x_c^2 + y_c^2}$: $$ |\vec{c}| = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} $$ **Ответ:** $|\vec{c}| = 8\sqrt{2}$ \(или в координатах $\vec{c}\{8; 8\}$\)\. **Задание:** На материальную точку одновременно действуют две взаимно перпендикулярные силы $F_1 = 6\text{ Н}$ и $F_2 = 8\text{ Н}$\. Найдите модуль равнодействующей силы $F_{\text{равн}}$\. **Подробное решение:** 1\) По закону сложения векторных величин равнодействующая сила равна векторной сумме двух сил: $\vec{F}_{\text{равн}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$\. 2\) Так как силы приложены к одной точке и направлены под углом $90^\circ$ друг к другу, при достраивании до параллелограмма мы получаем прямоугольник\. 3\) Диагональ этого прямоугольника \(модуль вектора равнодействующей\) находится по теореме Пифагора: $$ F_{\text{равн}} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\text{ Н} $$ **Ответ:** $10\text{ Н}$\. ## Тренажёры по теме «Сложение векторов» на Экзамео Отработать правила геометрии \(параллелограмм, треугольник\) и алгоритмы сложения векторов в координатах помогут интерактивные тренажёры образовательной платформы «Экзамео»\. Каждое задание составлено в соответствии со школьной программой за 9 класс и с открытым банком ФИПИ по математике\. Система мгновенно проверяет ответы, а каждое задание сопровождается подробным пошаговым решением и наглядным чертежом, что поможет подготовиться к самостоятельным работам и экзаменам\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/slozhenie-vektorov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/slozhenie-vektorov).