> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/sravnenie_deistvitelnyh_chisel](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/sravnenie_deistvitelnyh_chisel). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Сравнение действительных чисел 9 класс В этом разделе разбираем **тему сравнение действительных чисел** — фундаментальный блок курса алгебры за 8–9 класс\. Действительные \(вещественные\) числа $\mathbb{R}$ объединяют рациональные и иррациональные числа и умение их сравнивать очень пригодится на ОГЭ по математике особенно в 7 задании\. Здесь представлена вся необходимая теория для того, чтобы понять какое число или выражение больше, а какое меньше\. Разбираем базовое определение через разность чисел, правила сравнения бесконечных периодических и непериодических десятичных дробей, **сравнение действительных чисел и арифметические действия** над ними, а также разбор характерных примеров и заданий из проверочных работ\. Отработать тему сравнение действительных чисел можно после теории в [тренажёрах](#sravneniye-deystvitelnykh-chisel-9-klass-na-platforme-ekzameo) с подробными решениями\. ## Теоретический справочник: сравнение действительных чисел > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/sravnenie_deistvitelnyh_chisel](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/sravnenie_deistvitelnyh_chisel). Ниже представлены правила, свойства неравенств и методы, позволяющие **сравнивать действительные числа** в школьном курсе алгебры \- эти методы универсальны для всех чисел, входящих в множество действительных чисел и используется не только в задачах на сравнение, но и при решении неравенств в процессе перехода к эквивалентным неравенствам\. ### Сравнения чисел через разность Универсальный способ сравнения двух любых действительных чисел $a$ и $b$ основан на анализе знака их разности $a - b$: #### Основное правило сравнения действительных чисел 🎯 • Число $a$ **больше** числа $b$ \($a > b$\), если их разность положительна: $a - b > 0$\. • Число $a$ **меньше** числа $b$ \($a < b$\), если их разность отрицательна: $a - b < 0$\. • Числа $a$ и $b$ **равны** \($a = b$\), если их разность равна нулю: $a - b = 0$\. На координатной прямой большее число всегда изображается точкой, лежащей **правее** меньшего числа\. ### Сравнение бесконечных десятичных дробей > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/sravnenie_deistvitelnyh_chisel](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/sravnenie_deistvitelnyh_chisel). Любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби \(периодической для рациональных чисел и непериодической для иррациональных\)\. #### Поразрядное сравнение положительных чисел: 1\. Сначала сравнивают **целые части** чисел\. Больше то число, целая часть которого больше\. 2\. Если целые части равны, сравнивают **десятые доли**, затем **сотые**, **тысячные** и так далее\. 3\. Большим является то число, у которого в первом несовпавшем разряде стоит **большая цифра**\. *\(Для отрицательных чисел действует обратное правило: из двух отрицательных действительных чисел больше то, модуль которого меньше\)\.* ### Арифметические действия при сравнении чисел При выполнении **сравнения действительных чисел** активно используются свойства числовых неравенств, давайте вспомним их, чтобы не нарушать знаки при преобразовании выражений и избежать ошибок: ##### Арифм\. действие / Свойство ##### Формульная запись ##### Пояснение и правило знака **Сложение с числом** $$ a > b \implies a + c > b + c $$ Знак неравенства не меняется при прибавлении любого числа $c$\. **Умножение на **$c > 0$ $$ a > b \text{ и } c > 0 \implies ac > bc $$ При умножении на положительное число знак сохраняется\. **Умножение на **$c < 0$ $$ a > b \text{ и } c < 0 \implies ac < bc $$ При умножении на отрицательное число знак меняется на противоположный\. **Возведение в степень \(**$a,b > 0$**\)** $$ a > b > 0 \implies a^2 > b^2, \; \sqrt{a} > \sqrt{b} $$ Для положительных чисел квадраты и квадратные корни сохраняют знак\. #### Лайфхак для сравнения иррациональных чисел\! 💡 Чтобы сравнить числа вида $a\sqrt{b}$ и $c\sqrt{d}$ \(или числа с квадратными корнями и обычные дроби\), используйте два приёма: 1\. **Внесение множителя под знак корня:** $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{45}$\. 2\. **Возведение положительных частей в квадрат:** чтобы сравнить $2\sqrt{7}$ и $5$, возведите их в квадрат: $(2\sqrt{7})^2 = 28$, а $5^2 = 25$\. Так как $28 > 25$, то $2\sqrt{7} > 5$\. При выполнении **заданий на сравнение чисел в 9 классе** существует универсальный алгоритм, который поможет в любом задании: ### Порядок сравнения чисел **Выберите метод сравнения:** если числа записаны десятичными дробями — сравнивайте поразрядно; если даны квадратные корни — вносите множители под корень или возводите в квадрат; для разностного метода составите выражение $a - b$\. **Выполните преобразования:** приведите числа к единому виду \(десятичным дробям с требуемой точностью или к арифметическим квадратным корням\)\. **Поставьте знак неравенства:** с учетом знака чисел запишите итоговый знак \($>$, $<$ или $=$\) и выпишите ответ\. #### Разбор типовых задач на сравнения чисел из проверочных работ Рассмотрите решения характерных прототипов задач из раздела **сравнение действительных чисел примеры**\. **Задание:** Сравните выражения $a = (x - 2)^2$ и $b = x(x - 4)$, где $x$ — произвольное действительное число\. **Подробное решение:** 1\) Составим разность двух выражений $a - b$: $$ a - b = (x - 2)^2 - x(x - 4) $$ 2\) Раскроем скобки по формуле квадрата разности: $$ (x^2 - 4x + 4) - (x^2 - 4x) = x^2 - 4x + 4 - x^2 + 4x = 4 $$ 3\) Так как разность $a - b = 4 > 0$ \(положительное число\), то по определению число $a$ больше числа $b$ при любых действительных значениях $x$\. **Ответ:** $(x - 2)^2 > x(x - 4)$\. **Задание:** Сравните действительные числа $3\sqrt{3}$ и $5{,}2$\. **Подробное решение:** 1\) Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты\. 2\) Возведем первое число в квадрат: $$ (3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27 $$ 3\) Возведем второе число в квадрат: $$ (5{,}2)^2 = 27{,}04 $$ 4\) Сравним полученные результаты: $27 < 27{,}04$\. Следовательно, $(3\sqrt{3})^2 < (5{,}2)^2 \implies 3\sqrt{3} < 5{,}2$\. **Ответ:** $3\sqrt{3} < 5{,}2$\. ## Тренажёры на сравнение действительных чисел для 9 класса на Экзамео > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/sravnenie_deistvitelnyh_chisel](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/sravnenie_deistvitelnyh_chisel). Ниже собраны тренажеры на сравнение действительных чисел для 9 класса из учебников и открытого банка ФИПИ ОГЭ по математике\. К каждому заданию вы найдете подробное решение с объяснением, которые помогут вам получше разобраться в теме\. Эти тренажёры помогут вам в том числе подготовиться к ОГЭ по математике \- в частности к седьмому заданию на сравнение чисел\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/sravnenie_deistvitelnyh_chisel](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/sravnenie_deistvitelnyh_chisel).