> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/tekstovye-zadachi-na-sistemy-uravneniy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/tekstovye-zadachi-na-sistemy-uravneniy). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Задачи на системы уравнений 9 класс В этом разделе подробно рассматривается **тема «Текстовые задачи на системы уравнений» по алгебре за 9 класс**\. В отличие от 7–8 классов, где рассматривались преимущественно линейные модели с двумя переменными, в 9 классе изучаются **системы нелинейных уравнений \(уравнений второй степени\)**\. Эта тема так же встречается в ОГЭ по математике \- поскольку **21 задание ОГЭ по математике** это именно текстовые задачи, которые можно решать при помощи систем уравнений или квадратных уравнений\. На этой странице мы рассматриваем только новые методы и задачи на системы уравнений в 9 классе, общие способы решения систем уравнений вы сможете найти в программе 7 классе\. Отработать решение задач на составление систем помогут интерактивные [тренажёры по задачам на системы уравнений для 9 класса](#zadachi-na-sistemy-uravneniy-9-klass-na-platforme-ekzameo) с пошаговой проверкой ответов\. ## Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/tekstovye-zadachi-na-sistemy-uravneniy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/tekstovye-zadachi-na-sistemy-uravneniy). Перевод сюжетного условия задачи на формальный математический язык выполняется в 5 строгих этапов: ### Порядок действий: **Введение двух переменных:** обозначьте через $x$ и $y$ две искомые или ключевые величины задачи \(стороны фигуры, цифры числа, скорости или время работы\)\. Обязательно укажите единицы измерения и естественные ограничения \(например, $x > 0$, $y > 0$, или $x, y \in \mathbb{N}$\)\. **Составление двух независимых уравнений:** найдите в тексте задачи два независимых условия связки величин \(например, периметр и площадь, или сумму чисел и сумму их квадратов\) и запишите их в виде равенств с $x$ и $y$\. **Объединение в систему и выбор метода решения:** объедините уравнения фигурной скобкой $\begin{cases} \dots \\ \dots \end{cases}$ и примените метод подстановки или метод сложения\. **Отбор корней по смыслу задачи:** исключите отрицательные значения, если переменные обозначают длины, скорости, время или число предметов \(геометрический и физический смысл\)\. **Запись ответа:** вернитесь к вопросу задачи и запишите именно те величины, которые требовалось найти \(одну из переменных, обе, их сумму или разность\)\.  ## Основные виды задач на системы уравнений в 9 классе > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/tekstovye-zadachi-na-sistemy-uravneniy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/tekstovye-zadachi-na-sistemy-uravneniy). В 9 классе задачи разделяются на 4 фундаментальные категории, в каждой из которых формируются типовые алгебраические связки: ##### Тип задачи ##### Что принимают за $x$ и $y$ ##### Типичная структура системы **1\. Геометрические задачи** \(прямоугольники, прямоугольные треугольники\) $x$ и $y$ — стороны прямоугольника или катеты прямоугольного треугольника \($x > 0, y > 0$\)\. • Периметр и площадь: $\begin{cases} 2(x + y) = P \\ xy = S \end{cases}$ • Диагональ / теорема Пифагора: $\begin{cases} x^2 + y^2 = d^2 \\ xy = S \end{cases}$ **2\. Задачи на числа и цифры** \(двузначные числа, разность квадратов\) $x$ — цифра десятков, $y$ — цифра единиц двузначного числа \($x \in \{1,\dots,9\}$, $y \in \{0,\dots,9\}$\)\. Число равно $10x + y$\. $\begin{cases} x + y = S \\ (10x + y) - (10y + x) = \Delta \end{cases}$ или связь произведения и разности: $\begin{cases} x - y = d \\ xy = P \end{cases}$ **3\. Задачи на движение** \(навстречу, по реке, с разным временем\) $x$ — скорость первого \($v_1$\), $y$ — скорость второго \($v_2$\), либо $x$ и $y$ — время в пути \($t_1, t_2$\)\. $\begin{cases} v_1 t_1 = S \\ \dfrac{S}{v_2} - \dfrac{S}{v_1} = \Delta t \end{cases}$ или через движение навстречу: $\begin{cases} (x + y)t = S \\ \dots \end{cases}$ **4\. Задачи на совместную работу** \(две трубы, две бригады\) $x$ — время работы первого в одиночку, $y$ — время работы второго в одиночку\. Производительности: $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$\. $\begin{cases} \left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right) \cdot t_{\text{вместе}} = 1 \\ y - x = \Delta t \end{cases}$ ## Эффективные методы решения нелинейных систем ##### 1\. Универсальный метод подстановки 🔄 1\. Из более простого \(линейного\) уравнения выражаем одну переменную через другую \(например, $y = a - x$\)\. 2\. Подставляем полученное выражение вместо $y$ во второе \(нелинейное\) уравнение\. 3\. Решаем квадратное уравнение относительно $x$\. 4\. Находим соответственные значения $y$\. ##### 2\. Симметрические системы \(теорема Виета\) ⚡ Если система имеет вид: $$\\begin\{cases\} x \+ y = u \\\\ xy = v \\end\{cases\}$$ то по обратной теореме Виета переменные $x$ и $y$ являются корнями одного квадратного уравнения: $$t^2 \- ut \+ v = 0$$ Решив его, получаем сразу два корня $t_1$ и $t_2$, которые и образуют симметричные пары решений $(t_1; t_2)$ и $(t_2; t_1)$\. #### Лайфхаки при решении задач на системы в 9 классе\! 💡 1\. **Запись двузначного числа:** Запомните: если число состоит из цифры десятков $x$ и цифры единиц $y$, его значение равно $10x + y$, а не $xy$ \(произведение\)\! Число с переставленными цифрами записывается как $10y + x$\. 2\. **Связь квадратов и удвоенного произведения:** В геометрических задачах с диагональю \($x^2 + y^2 = d^2$\) и площадью \($xy = S$\) не обязательно решать громоздкую подстановку\. Используйте формулу квадрата суммы: $$ (x + y)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy = d^2 + 2S $$ Извлекая корень, вы мгновенно находите полупериметр $x + y = \sqrt{d^2 + 2S}$\. 3\. **Парность решений:** Помните, что решением системы является **пара чисел **$(x; y)$, а не одно число\. Если система симметрична \(например, стороны прямоугольника\), получаются пары $(a; b)$ и $(b; a)$, что геометрически соответствует одному и тому же прямоугольнику\. ## Разбор типовых задач по алгебре за 9 класс Рассмотрите полные решения типовых текстовых задач курса 9 класса и ОГЭ с подробными пояснениями\. **Задание:** Диагональ прямоугольника равна $10\text{ см}$, а его площадь равна $48\text{ см}^2$\. Найдите стороны этого прямоугольника\. Место под иллюстрацию: чертёж прямоугольника со сторонами $x$ и $y$, диагональю $d = 10$, прямым углом и выделенным прямоугольным треугольником по теореме Пифагора\. **Подробное решение:** 1\) Пусть стороны прямоугольника равны $x$ см и $y$ см \($x > 0, y > 0$\)\. 2\) Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $$ xy = 48 $$ 3\) По теореме Пифагора сумма квадратов сторон равна квадрату диагонали \($10^2 = 100$\): $$ x^2 + y^2 = 100 $$ 4\) Составим систему нелинейных уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ xy = 48 \end{cases} $$ 5\) **Решение через формулу сокращенного умножения:** Сложим первое уравнение с удвоенным вторым \($2xy = 96$\): $$ x^2 + 2xy + y^2 = 100 + 96 \implies (x + y)^2 = 196 $$ Так как $x > 0$ и $y > 0$, получаем: $$ x + y = 14 $$ 6\) Получаем систему простейшего вида: $$ \begin{cases} x + y = 14 \\ xy = 48 \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - 14t + 48 = 0$: $$ D = 196 - 4 \cdot 48 = 196 - 192 = 4 = 2^2 $$ $$ t_1 = \dfrac{14 + 2}{2} = 8, \quad t_2 = \dfrac{14 - 2}{2} = 6 $$ 7\) Стороны прямоугольника равны $8\text{ см}$ и $6\text{ см}$\. **Ответ:** $6\text{ см}$ и $8\text{ см}$\. **Задание:** Двузначное число в $4$ раза больше суммы своих цифр и на $18$ больше произведения своих цифр\. Найдите это число\. **Подробное решение:** 1\) Пусть $x$ — цифра десятков \($x \in \{1, 2, \dots, 9\}$\), а $y$ — цифра единиц \($y \in \{0, 1, \dots, 9\}$\)\. Тогда само двузначное число равно $(10x + y)$, сумма его цифр равна $(x + y)$, а произведение цифр — $xy$\. 2\) По первому условию число в $4$ раза больше суммы цифр: $$ 10x + y = 4(x + y) \implies 10x + y = 4x + 4y \implies 6x = 3y \implies y = 2x $$ 3\) По второму условию число на $18$ больше произведения цифр: $$ 10x + y - xy = 18 $$ 4\) Составим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = 2x \\ 10x + y - xy = 18 \end{cases} $$ 5\) Подставим $y = 2x$ во второе уравнение: $$ 10x + 2x - x(2x) = 18 $$ $$ 12x - 2x^2 = 18 $$ Разделим обе части на $-2$ и перенесём слагаемые: $$ x^2 - 6x + 9 = 0 \implies (x - 3)^2 = 0 \implies x = 3 $$ 6\) Найдём цифру единиц $y$: $$ y = 2 \cdot 3 = 6 $$ 7\) Обе цифры удовлетворяют условиям \($x = 3$, $y = 6$\)\. Исходное число: $10 \cdot 3 + 6 = 36$\. *\(Проверка: сумма цифр *$3 + 6 = 9$*, *$36 : 9 = 4$*; произведение цифр *$3 \cdot 6 = 18$*, *$36 - 18 = 18$*\)\.* **Ответ:** $36$\. **Задание:** Две трубы, работая одновременно, наполняют бассейн за $6\text{ часов}$\. Первая труба, работая отдельно, может наполнить бассейн на $5\text{ часов}$ быстрее, чем вторая\. За сколько часов может наполнить бассейн каждая труба, работая отдельно? **Подробное решение:** 1\) Примем объём бассейна за единицу \($A = 1$\)\. Пусть первая труба наполняет бассейн за $x$ часов, а вторая — за $y$ часов \($x > 0, y > 0$\)\. • Производительность первой трубы: $\dfrac{1}{x}$ бассейна в час\. • Производительность второй трубы: $\dfrac{1}{y}$ бассейна в час\. 2\) По условию вторая труба работает на $5$ часов дольше первой: $$ y - x = 5 \implies y = x + 5 $$ 3\) Вместе трубы наполняют бассейн за $6$ часов, то есть их совместная производительность равна $\dfrac{1}{6}$: $$ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{6} $$ 4\) Составим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = x + 5 \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{6} \end{cases} $$ 5\) Подставим $y = x + 5$ во второе уравнение: $$ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 5} = \dfrac{1}{6} $$ Домножим на $6x(x + 5) \neq 0$: $$ 6(x + 5) + 6x = x(x + 5) $$ $$ 6x + 30 + 6x = x^2 + 5x $$ $$ x^2 - 7x - 30 = 0 $$ $$ 6\) Найдём корни по теореме Виета или через дискриминант: $$ x_1 = 10, \quad x_2 = -3 $$ Корень $x = -3$ не подходит по смыслу задачи \($x > 0$\)\. Следовательно, первая труба наполняет бассейн за $x = 10\text{ часов}$\. 7\) Найдём время работы второй трубы: $$ y = 10 + 5 = 15\text{ часов} $$ **Ответ:** первая труба — за 10 часов, вторая труба — за 15 часов\. ## Тренажёры по задачам на системы уравнений для 9 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/tekstovye-zadachi-na-sistemy-uravneniy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/tekstovye-zadachi-na-sistemy-uravneniy). Научиться легко переводить любые текстовые сюжеты на язык уравнений и уверенно решать **задачи на системы уравнений в 9 классе** помогут интерактивные тренажёры на образовательной платформе «Экзамео»\. Для каждого задания вы найдете подробное пошаговое решение с описанием составления системы и решением одним из способов, а так же автоматическую проверку ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/tekstovye-zadachi-na-sistemy-uravneniy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/tekstovye-zadachi-na-sistemy-uravneniy).