> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/teorema_kosinusov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/teorema_kosinusov). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Теорема косинусов: формула, доказательство и решение задач На этой странице представлен разбор темы **«Теорема косинусов» по геометрии для 9 класса**\. Хотим подчеркнуть важность этой темы, поскольку теорема косинусов, Теорема синусов, Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°, Формула Герона \- позволяют решить практически любую задачу по геометрии и используются например в информатике при решении геометрических задач\. Теорема косинусов — один из главных инструментов планиметрии 9 класса\. В сочетании с теоремой синусов она позволяет «решать» любые треугольники: находить неизвестные стороны и углы произвольного \(не обязательно прямоугольного\) треугольника по имеющимся данным\. ## Всё о теореме косинусов > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/teorema_kosinusov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/teorema_kosinusov). Ниже подробно разобраны формулировка теоремы, её математическое доказательство и обобщение теоремы Пифагора\. ### Формулировка теоремы косинусов #### Теорема косинусов: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними\. $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma $$ Обозначим местоположение всех углов и сторон на рисунке:  Косинус угла в формуле \- это угол напротив искомой стороны Аналогично формула записывается для каждой из сторон треугольника $ABC$ со сторонами $a, b, c$ и углами $\alpha, \beta, \gamma$: • $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$ • $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta$ #### Теорема косинусов — это обобщённая теорема Пифагора\! 💡 Если угол между сторонами прямой \($\alpha = 90^\circ$\), то $\cos 90^\circ = 0$\. Удвоенное произведение $2bc \cos 90^\circ$ обращается в ноль, и мы получаем классическую теорему Пифагора: $a^2 = b^2 + c^2$ **Доказательство \(векторным методом\):** 1\) Рассмотрим треугольник $ABC$\. Обозначим векторы сторон: $\vec{CB} = \vec{a}$, $\vec{CA} = \vec{b}$, $\vec{AB} = \vec{c}$\. 2\) По правилу вычитания векторов: $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$\. 3\) Возведём обе части равенства в скалярный квадрат: $\vec{c}^2 = (\vec{a} - \vec{b})^2 = \vec{a}^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b}^2$ 4\) По определению скалярного произведения векторов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \gamma = a \cdot b \cos \gamma$\. 5\) Учитывая, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины \($\vec{c}^2 = c^2$\), подставляем значение скалярного произведения: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$\. Теорема доказана\. #### Следствия из теоремы косинусов: вычисление углов и определение вида треугольника Из теоремы косинусов выражается косинус любого угла треугольника, если известны длины всех трёх его сторон: #### Формула косинуса угла: $$ \cos \alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $$ По знаку числителя дроби \(так как знаменатель $2bc > 0$\) можно мгновенно определить **вид треугольника** напротив стороны $a$: • Если $b^2 + c^2 > a^2$ Формул для косинуса очень сильно вам пригодится не в ОГЭ, а уже в ЕГЭ по математике \- она позволит достаточно быстро вычислять значения косинусов и как следствие углов #### Теорема косинусов и теорема синусов: что и когда выбирать? При решении задач на произвольные треугольники в 9 классе школьники часто вызывают путаницу между теоремой синусов и теоремой косинусов\. В основном это происходит потому что они используются в достаточно близких ситуациях\. Наглядная схема выбора метода: ##### Применяйте ТЕОРЕМУ КОСИНУСОВ, если: 🎯 1\. Даны **две стороны и угол между ними** \(ищем третью сторону\)\. 2\. Даны **все три стороны треугольника** \(ищем любой неизвестный угол\)\. ##### Применяйте ТЕОРЕМУ СИНУСОВ, если: ⭕ 1\. Даны **два угла и одна сторона** \(ищем другую сторону\)\. 2\. Даны **две стороны и угол против одной из них** \(ищем второй угол\)\. 3\. Задана задача на связь стороны и **радиуса описанной окружности** \($a = 2R \sin \alpha$\)\. #### Применение теоремы косинусов в жизни и технологиях Теорема косинусов позволяет проводить точнейшие триангуляционные измерения там, где невозможно измерить расстояние напрямую\. ##### Геодезия и Навигация 🗺️ Инженеры рассчитывают расстояние между объектами на местности через озеро или овраг\. Находясь в одной доступной точке $C$, геодезисты измеряют расстояния $CA$, $CB$ и угол между ними $\gamma$, после чего по теореме косинусов точно находят недоступное расстояние $AB$\. ##### Робототехника и GameDev 🤖 В обратной кинематике \(Inverse Kinematics\) манипуляторов и 3D\-персонажей углы сгиба суставов рук и ног робота или игрового героя расчитываются именно по теореме косинусов через известную длину звеньев и конечные координаты кисти/стопы\. #### Пошаговый алгоритм решения задач При решении задач на теорему косинусов за 9 класс придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/teorema_kosinusov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/teorema_kosinusov). **Выполните чертёж и нанесите известные данные:** подпишите длины сторон и угол против искомой стороны\. **Запишите равенство теоремы косинусов для стороны, лежащей ПРОТИВ известного \(или искомого\) угла:** $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$\. **Подставьте числовые значения и значение тригонометрической функции:** примените табличные значения косинусов \($\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$\)\. **Вычислите неизвестную величину:** извлеките арифметический квадратный корень для нахождения стороны или найдите угол по формуле следствия\. ### Разбор типовых задач из контрольных работ и ОГЭ Рассмотрите решения задач, характерных для контрольных работ за 9 класс и первой/второй частей ОГЭ по геометрии\. **Задание:** В треугольнике две стороны равны $5\text{ см}$ и $8\text{ см}$, а угол между ними равен $60^\circ$\. Найдите третью сторону треугольника\. **Подробное решение:** 1\) Пусть $b = 5\text{ см}$, $c = 8\text{ см}$, $\alpha = 60^\circ$\. Искомая сторона — $a$\. 2\) Применяем теорему косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$ 3\) Подставляем известные числовые данные \(учитывая, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$\): $a^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ$ 4\) Находим сторону $a$: $a = \sqrt{49} = 7\text{ (см)}$\. **Ответ:** $7\text{ см}$\. **Задание:** Найдите градусную меру тупого угла треугольника со сторонами $3\text{ см}$, $5\text{ см}$ и $7\text{ см}$\. **Подробное решение:** 1\) В любом треугольнике наибольший угол лежит против наибольшей стороны\. Наибольшая сторона равна $a = 7\text{ см}$, следовательно, тупой угол лежит напротив неё\. Обозначим его $\alpha$\. Две другие стороны $b = 3\text{ см}$ и $c = 5\text{ см}$\. 2\) Применяем следствие из теоремы косинусов: $\cos \alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ 3\) Подставляем числовые значения сторон: $\cos \alpha = \dfrac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \dfrac{9 + 25 - 49}{30} = \dfrac{-15}{30} = -\dfrac{1}{2}$ 4\) Находим угол $\alpha$: Так как $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$, угол $\alpha = 120^\circ$\. **Ответ:** $120^\circ$\. ## Тренажёры по теореме косинусов на Экзамео Закрепите теорему косинусов и теорему синусов на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные задания, самостоятельные карточки и проверочные тесты по теме **«Теорема косинусов» за 9 класс** составлены в соответствии с требованиями ФГОС, материалами школьной программы по геометрии и открытого банка заданий ОГЭ по математике ФИПИ\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/teorema_kosinusov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/teorema_kosinusov).