> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/teorema_sinusov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/teorema_sinusov). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Теорема синусов \- формула и задачи с решениями В этом разделе подробно рассматривается одна из главных теорем курса **геометрии 9 класса — «Теорема синусов»**\. Наряду с темой [Теорема косинусов](/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/teorema_kosinusov), она составляет основу раздела «Решение треугольников»\. Задачи на теорему синусов и теорему косинусов встречаются как в ОГЭ по математике в первой и второй части, так и в ЕГЭ по математике, при чем не только в планиметрии, но и в стереометрии\. Отработать тему теорема синусов можно после теории в [тренажёрах](#teorema-sinusov-9-klass-na-platforme-ekzameo) с подробными решениями, составленным по заданиям открытого банка ФИПИ ОГЭ по математике и школьных учебников, а также самостоятельных и контрольных работ за 9 класс\. ## Формулировка теоремы синусов > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/teorema_sinusov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/teorema_sinusov). Пусть дан произвольный треугольник $ABC$ со сторонами $a$, $b$, $c$ и противолежащими им углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ \($\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, $\angle C = \gamma$\)\.  #### Формулировка теоремы синусов 🎯 **Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов\.** $$ \dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta} = \dfrac{c}{\sin \gamma} $$ Из этой пропорции легко записать равенство для любых двух сторон и их противолежащих углов: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} \implies a \cdot \sin B = b \cdot \sin A$\. Благодаря теореме синусов вам становятся доступны новые задачи, давайте посмотрим пример одной из таких задач из ОГЭ по математике: **Задание:** В треугольнике $ABC$ угол $\angle A = 45^\circ$, угол $\angle B = 60^\circ$, а сторона $BC = 4\sqrt{6}\text{ см}$\. Найдите сторону $AC$\. **Подробное решение:** 1\) Сторона $BC = a$ лежит против угла $\angle A = 45^\circ$\. Сторона $AC = b$ лежит против угла $\angle B = 60^\circ$\. 2\) По теореме синусов: $$ \dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AC}{\sin B} \implies \dfrac{4\sqrt{6}}{\sin 45^\circ} = \dfrac{AC}{\sin 60^\circ} $$ 3\) Выразим неизвестную сторону $AC$: $$ AC = \dfrac{4\sqrt{6} \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \dfrac{4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{4\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{9} = 4 \cdot 3 = 12\text{ см} $$ **Ответ:** $12\text{ см}$\. ### Связь с радиусом описанной окружности В геометрии 9 класса изучается расширенная \(полная\) теорема синусов, которая связывает отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла с радиусом описанной окружности\. #### Расширенная теорема синусов: Отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно **диаметру описанной окружности** \($2R$, где $R$ — радиус описанной окружности\): $$ \dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta} = \dfrac{c}{\sin \gamma} = 2R $$ Именно такая формулировка содержится в справочном материале ОГЭ по математике Эта формула позволяет моментально находить радиус описанной окружности: $R = \dfrac{a}{2\sin \alpha}$, либо длину стороны по радиусу и углу: $a = 2R \sin \alpha$\. Ключевым является то, что существуют задачи, которые кроме как теоремой синусов решить не получится, ниже пример такого задания из ОГЭ по математике с подробным решением **Задание:** Сторона треугольника равна $10\text{ см}$, а противолежащий ей угол равен $30^\circ$\. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности\. **Подробное решение:** 1\) По расширенной теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности: $$ \dfrac{a}{\sin \alpha} = 2R $$ 2\) Подставим данные из условия: $a = 10\text{ см}$, $\alpha = 30^\circ$: $$ \dfrac{10}{\sin 30^\circ} = 2R \implies \dfrac{10}{0{,}5} = 2R \implies 20 = 2R \implies R = 10\text{ см} $$ **Ответ:** $10\text{ см}$\. #### Отличие теоремы синусов от теоремы косинусов Обе теоремы служат для нахождения неизвестных элементов произвольного треугольника, но применяются при разных исходных данных\. Таблица ниже поможет определиться какую теорему использовать и в каких задачах может понадобиться теорема синусов\. ##### Критерий сравнения ##### Теорема синусов ##### [Теорема косинусов](/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/teorema_kosinusov) **Исходные данные задачи** • Известны **два угла и одна сторона**\. • Известны **две стороны и угол против одной из них**\. • Известны **две стороны и угол между ними**\. • Известны **все три стороны** треугольника\. **Связь с окружностью** Прямо дает радиус описанной окружности \($2R$\)\. С окружностью напрямую не связана\. **Искомый элемент** Находит неизвестную сторону или синус угла\. Находит третью сторону или косинус угла\. #### Лайфхак для ОГЭ по математике\! 💡 1\. **Ищите парные связки «сторона — противоположный угол»:** Если в задаче известны угол и лежащая напротив него сторона, сразу вспоминайте теорему синусов\! 2\. **Особые углы \(**$30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$**\):** Табличные значения синусов \($\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$, $\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$\) обязательно нужно выучить наизусть\. #### Пошаговый алгоритм решения задач При решении задач на решение треугольника в 9 классе с помощью теоремы синусов придерживайтесь следующего алгоритма: ### Порядок применения теоремы синусов: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/teorema_sinusov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/teorema_sinusov). **Сопоставьте известные элементы:** найдите известную пару «сторона — противоположный угол» и пару с искомым элементом\. **Запишите пропорцию:** выпишите отношение $\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta}$ \(или отношение к $2R$\)\. **Выразите неизвестную величину:** по правилу пропорции найдите сторону $a = \dfrac{b \cdot \sin \alpha}{\sin \beta}$ или угол $\sin \alpha = \dfrac{a \cdot \sin \beta}{b}$ и запишите ответ\. ## Тренажёры с задачами на теорему синусов на Экзамео Ниже собраны задания по геометрии для 9 класса из школьных учебников и открытого банка заданий ФИПИ, для решения которых используется теорема синусов\. К каждой задаче вы найдете подробное объяснение и автоматическую проверку ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/teorema_sinusov](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/teorema_sinusov).