<!--
Источник: Экзамео — образовательная платформа для подготовки к экзаменам.
Каноническая HTML-страница: https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/uravnenie_okruzhnosti
Эта Markdown-версия предназначена для корректного цитирования, индексации и чтения AI-агентами.
Материал является авторским контентом Экзамео. Не используйте эту копию как самостоятельный источник для перепубликации.
-->

> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам.
>
> Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/uravnenie_okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/uravnenie_okruzhnosti).
>
> При цитировании указывайте источник: Экзамео.

# Уравнение окружности 9 класс \- разбор темы

В этом разделе подробно рассматривается тема **«Уравнение окружности» по геометрии за 9 класс**\. Умение составлять уравнение окружности, определять координаты её центра и радиус по готовому формульному выражению используется в контрольных работах 9 класса по алгебра, а также часто встречается в ЕГЭ по математике в заданиях на параметр\.

После теории вы найдете [тренажёры на уравнение окружности](#uravneniye-okruzhnosti-9-klass-na-platforme-ekzameo) можно после теории в интерактивных тренажёрах с подробными решениями\.

## Вывод формулы уравнения окружности

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/uravnenie_okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/uravnenie_okruzhnosti).


Вспомним геометрию: **окружность** — это множество всех точек плоскости, удалённых от заданной точки \(центра\) на одинаковое расстояние \- радиус\.

Пусть на декартовой координатной плоскости задана точка $C(a; b)$ — центр окружности, и произвольная точка $M(x; y)$, лежащая на этой окружности\. Расстояние между точками $C$ и $M$ по формуле расстояния между двумя точками на плоскости равен:

$$
CM = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}
$$

Так как расстояние $CM$ равно радиусу $R$, возведём обе части равенства в квадрат \($CM^2 = R^2$\) и получим каноническую формулу:

## Уравнение окружности общего вида

Уравнение окружности радиуса $R$ с центром в точке $C(a; b)$ имеет вид:

$$
(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2
$$

Вы так же можете встретить название каноническое уравнение окружности

### Уравнение окружности с центром в начале координат

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/uravnenie_okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/uravnenie_okruzhnosti).


Частный случай: если центр окружности совпадает с началом координат — точкой $O(0; 0)$, то подставляя $a = 0$ и $b = 0$, получаем упрощённую формулу:

$$
x^2+y^2=R^2
$$

*Например, уравнение *$x^2 + y^2 = 25$* задаёт окружность с центром в точке *$(0; 0)$* и радиусом *$R = \sqrt{25} = 5$*\.*

При анализе уравнения обратите внимание на знаки перед координатами $a$ и $b$ в скобках — они берутся с **противоположным знаком**\!

##### Уравнение окружности

##### Координаты центра

##### Радиус окружности

$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 16$

$C(3; 5)$

$R = \sqrt{16} = 4$

$(x + 2)^2 + (y - 7)^2 = 9$

$C(-2; 7)$

$R = \sqrt{9} = 3$

$(x - 1)^2 + y^2 = 7$

$C(1; 0)$

$R = \sqrt{7}$

$(x + 4)^2 + (y + 6)^2 = 1$

$C(-4; -6)$

$R = \sqrt{1} = 1$

#### Как решать задачи на уравнение окружности?

В 9 классе вы можете встретить всего 2 вида задач на уравнение окружности:

1

##### Нарисовать окружность по уравнению

В заданиях этого вида вам дают уравнение окружности и по нему нужно понять координаты центра и величину радиуса окружности

2

##### Составить уравнение окружности

В условии задачи могут дать как уравнение, которое нужно будет привести к каноническому виду, так и график, по которому нужно будет составить уравнение

Самый сложный вид таких заданий связан с преобразованием уравнений в канонический вид с выделением полного квадрата

#### Приём: Выделение полного квадрата

Иногда уравнение окружности дано в раскрытом виде: $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$\.Чтобы найти её центр и радиус, сгруппируйте слагаемые по переменным $x$ и $y$ и дополните их до формулы квадрата суммы/разности:

1\. $(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) - 9 - 4 - 12 = 0$

2\. $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 25 = 0 \implies (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Центр окружности $C(3; -2)$, радиус $R = \sqrt{25} = 5$\.

#### Порядок решения заданий на уравнения окружности:

**Определите центр окружности **$C(a; b)$**:** найдите координаты центра по условию задачи \(или как середину диаметра $a = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $b = \frac{y_1 + y_2}{2}$\)\.

**Найдите радиус **$R$** \(или **$R^2$**\):** вычислите расстояние от центра до любой точки окружности по формуле расстояния или разделите длину диаметра на 2\.

**Запишите итоговое уравнение:** подставьте значения $a$, $b$ и $R^2$ в формулу $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$\.

### Разбор типовых задач

Рассмотрите решения характерных задач из экзаменационных материалов за 9 класс\.

**Задание:** Составьте уравнение окружности с центром в точке $C(-2; 3)$, проходящей через точку $A(1; 7)$\.

**Подробное решение:**

1\) Координаты центра заданы: $a = -2$, $b = 3$\.

2\) Радиус равен расстоянию от центра $C$ до точки $A$:

$$
R^2 = CA^2 = (x_A - a)^2 + (y_A - b)^2
$$

3\) Вычислим значение $R^2$:

$$
R^2 = (1 - (-2))^2 + (7 - 3)^2 = (1 + 2)^2 + 4^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
$$

4\) Запишем итоговое уравнение окружности:

$$
(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 25 \implies (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25
$$

**Ответ:** $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$\.

**Задание:** Отрезок $AB$ является диаметром окружности\. Найдите уравнение этой окружности, если $A(-1; 2)$ и $B(5; 10)$\.

**Подробное решение:**

1\) Центр окружности $C(a; b)$ находится на середине диаметра $AB$:

$$
a = \dfrac{x_A + x_B}{2} = \dfrac{-1 + 5}{2} = \dfrac{4}{2} = 2
$$

$$
b = \dfrac{y_A + y_B}{2} = \dfrac{2 + 10}{2} = \dfrac{12}{2} = 6
$$

Таким образом, центр окружности имеет координаты $C(2; 6)$\.

2\) Вычислим квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния от центра $C(2; 6)$ до точки $A(-1; 2)$:

$$
R^2 = CA^2 = (-1 - 2)^2 + (2 - 6)^2 = (-3)^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25
$$

3\) Составим уравнение окружности:

$$
(x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 25
$$

**Ответ:** $(x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 25$\.

## Тренажёры по теме «Уравнение окружности» на Экзамео

Отработать тему **уравнение окружности 9 класс** и подготовиться к контрольным работам и ОГЭ по геометрии можно с помощью онлайн\-тренажёров на образовательной платформе «Экзамео»\. Наша база содержит сотни практических заданий на нахождение центра, радиуса, составление уравнений по точкам и диаметру, а также выявление принадлежности точек окружности\.

Интерактивная система автоматически проверяет ответы в реальном времени и показывает подробные пошаговые решения с чертежами на координатной плоскости к каждому номеру\. Занимайтесь на **Экзамео** в комфортном темпе, осваивайте метод координат и получайте только отличные оценки по геометрии

---

## Условия использования материала

Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта.

Разрешено:

- использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала;
- цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео;
- использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации.

Не разрешено:

- копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории;
- выдавать материал Экзамео за собственный контент;
- удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника;
- использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео.

Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/uravnenie_okruzhnosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_9/topics/uravnenie_okruzhnosti).