> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/geometriya-na-kletchatoy-bumage](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/geometriya-na-kletchatoy-bumage). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Геометрия на клетчатой бумаге На этой странице представлен учебный справочник по теме **«Геометрия на клетчатой бумаге» для подготовки к ОГЭ и базовому ЕГЭ по математике**\. В экзаменационных материалах задачи на клетчатой бумаге встречаются регулярно: в ОГЭ по математике это гарантированное **задание №18** \(нахождение площадей, длин сторон, расстояний, тангенсов углов и радиусов\), а в ЕГЭ базового уровня — аналогичный геометрический блок практических вычислений на клетчатой сетке\. Главное преимущество клетчатой бумаги в том, что сетка задаёт готовую декартову систему координат, где узлы клеток служат идеальными ориентирами для точных вычислений без погрешностей\. Здесь вы найдёте три основных подхода к вычислению площадей \(стандартные формулы по клеткам, метод разбиения и достраивания, а также изящную формулу Пика\), методы нахождения тригонометрических функций углов через достроение прямоугольных треугольников и пошаговые разборы реальных экзаменационных прототипов\. После изучения теории на странице доступны [интерактивные онлайн\-тренажёры с автоматической проверкой ответов](#trenazhery-po-geometrii-na-kletkah-ekzameo) и подробными решениями для закрепления материала\. ## Главные особенности задач на клетках в ОГЭ и ЕГЭ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/geometriya-na-kletchatoy-bumage](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/geometriya-na-kletchatoy-bumage). Клетчатая бумага — это координатная сетка, где каждая линия параллельна осям, а пересечения линий образуют **узлы сетки**\. • **Стандартный размер клетки:** в подавляющем большинстве задач ОГЭ и ЕГЭ размер клетки равен $1 \times 1\text{ см}$\. В таком случае площадь одной клетки равна $1\text{ см}^2$, а длина стороны — $1\text{ см}$\. Если в условии указан другой размер \(например, $2 \times 2$ или $0{,}5 \times 0{,}5$\), итоговый ответ пересчитывается умножением на площадь одной клетки\. • **Опора строго на узлы:** при любых построениях высот, катетов или медиан необходимо выбирать отрезки, концы которых лежат строго в узлах сетки\. Измерять «на глаз» доли клеток категорически запрещено\! • **Три пути решения любой фигуры:** базовые формулы по сетке, метод «рамки» \(достраивание до прямоугольника\) и комбинаторная формула Пика\. ### Три способа нахождения площади фигуры на клетках В зависимости от сложности и наклона сторон многоугольника на клетчатой сетке применяют один из трёх подходов: Метод 1 ##### Стандартные формулы Если хотя бы одна сторона фигуры лежит строго на линиях сетки, основание и высоту к нему можно легко посчитать простым счётом клеток\. Метод 2 ##### Достраивание \(«Рамка»\) Фигуру заключают в прямоугольник со сторонами по линиям сетки\. Из площади прямоугольника вычитают площади лишних прямоугольных треугольников\. Метод 3 ##### Формула Пика Универсальная формула для любых несамопересекающихся многоугольников с вершинами в узлах сетки: $S = В + \frac{Г}{2} - 1$\. #### Прямой подсчёт по классическим формулам Когда основание треугольника, параллелограмма или трапеции совпадает с горизонтальной или вертикальной линией сетки, вычисление площади сводится к прямому подсчёту длин основания и высоты: ##### Фигура ##### Формула площади ##### Как считать по клеткам **Треугольник** $$ S = \dfrac{1}{2} a \cdot h $$ Считаем клетки горизонтальной стороны $a$ и опущенной к ней вертикальной высоты $h$ \(в тупоугольном треугольнике высота падает на продолжение основания\)\. **Параллелограмм** $$ S = a \cdot h $$ Умножаем длину основания по линиям сетки на расстояние между параллельными прямыми по перпендикуляру\. **Трапеция** $$ S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h $$ Считаем по линиям сетки длины обоих оснований $a$ и $b$, а высоту $h$ — по вертикали между ними\. **Ромб \(через диагонали\)** $$ S = \dfrac{1}{2} d_1 \cdot d_2 $$ Если диагонали направлены вдоль линий сетки, считаем длину горизонтальной и вертикальной диагоналей и берём половину их произведения\. #### Метод дополнительных построений \(«Рамка»\) Что делать, если все стороны многоугольника идут под наклоном и ни одна из них не лежит на линиях сетки? В таких случаях стандартные формулы неудобны, так как основание и высота требуют вычислений через иррациональные корни\. На помощь приходит самый надёжный способ — **достраивание до прямоугольника \(«рамки»\)**: #### Пошаговый алгоритм метода рамки: 1\. Опишите вокруг фигуры прямоугольник так, чтобы его стороны проходили строго по линиям сетки через крайние \(самые левые, правые, верхние и нижние\) вершины фигуры\. 2\. Найдите площадь получившегося прямоугольника: $S_{\text{прям}} = a \cdot b$\. 3\. Вокруг исходной фигуры внутри рамки образуются «лишние» фигуры — как правило, прямоугольные треугольники, катеты которых идут ровно по клеткам\. 4\. Вычислите площади лишних треугольников по формуле $S = \frac{1}{2} k_1 k_2$ и вычтите их сумму из площади большого прямоугольника: $$ S_{\text{искомая}} = S_{\text{прям}} - (S_1 + S_2 + S_3 + \ldots) $$ Разберём применение метода рамки на наклонном четырёхугольнике: **Задание:** На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён четырёхугольник с вершинами в узлах сетки: $A(1; 1)$, $B(2; 5)$, $C(6; 4)$, $D(4; 2)$\. Найдите его площадь\. **Пошаговый разбор:** 1\) Опишем вокруг четырёхугольника прямоугольник со сторонами, параллельными сетке: • По горизонтали от $x = 1$ до $x = 6$ ширина равна $6 - 1 = 5$ клеток\. • По вертикали от $y = 1$ до $y = 5$ высота равна $5 - 1 = 4$ клетки\. • Площадь прямоугольника: $$ S_{\text{прям}} = 5 \cdot 4 = 20 $$ 2\) Найдём площади лишних фигур по углам рамки: • Левый верхний прямоугольный треугольник над стороной $AB$: катеты $1$ и $4$, площадь $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2$\. • Правый верхний треугольник над стороной $BC$: катеты $4$ и $1$, площадь $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2$\. • Правый нижний треугольник под стороной $CD$: катеты $2$ и $2$, площадь $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$\. • Левый нижний треугольник под стороной $AD$: катеты $3$ и $1$, площадь $S_4 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1{,}5$\. 3\) Сумма площадей лишних треугольников: $$ S_{\text{лишние}} = 2 + 2 + 2 + 1{,}5 = 7{,}5 $$ 4\) Найдём площадь четырёхугольника: $$ S = S_{\text{прям}} - S_{\text{лишние}} = 20 - 7{,}5 = 12{,}5 $$ **Ответ:** $12{,}5$\. #### Формула Пика: математическая магия на клетках Для любых многоугольников произвольной формы, вершины которых лежат строго в узлах клетчатой сетки, существует удивительная и простая формула, доказанная австрийским математиком Георгом Пиком в 1899 году\. Она позволяет найти точную площадь фигуры без геометрических разбиений — простым подсчётом узлов сетки\! #### Теорема Пика: Площадь любого многоугольника с вершинами в узлах сетки равна: $$ S = В + \dfrac{Г}{2} - 1 $$ где: • $В$ — количество узлов сетки, лежащих **строго внутри** многоугольника \(внутренние узлы\); • $Г$ — количество узлов сетки, лежащих **на границе** многоугольника \(включая вершины и узлы на сторонах\)\. Проверим формулу Пика на предыдущем примере с четырёхугольником $ABCD$: **Задание:** Найдите площадь фигуры из примера выше, используя формулу Пика\. **Пошаговый разбор:** 1\) **Считаем граничные узлы \(**$Г$**\):** Граничные узлы — это 4 вершины фигуры и узлы, через которые ровно проходят стороны: В данном четырёхугольнике на границе лежат точки $A, B, C, D$, а также точка $(5; 3)$ на стороне $CD$\. Всего граничных узлов: $Г = 5$\. 2\) **Считаем внутренние узлы \(**$В$**\):** Аккуратно подсчитаем все пересечения клеток внутри контура: таких узлов ровно $11$\. 3\) **Подставим значения в формулу Пика:** $$ S = В + \dfrac{Г}{2} - 1 = 11 + \dfrac{5}{2} - 1 = 11 + 2{,}5 - 1 = 12{,}5 $$ Результат совпал с методом рамки за считанные секунды\! **Ответ:** $12{,}5$\. ### Тангенсы углов и дополнительные построения > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/geometriya-na-kletchatoy-bumage](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/geometriya-na-kletchatoy-bumage). В задании №18 ОГЭ часто требуется найти **тангенс, синус или косинус угла**, изображённого на клетчатой бумаге\. Главная трудность заключается в том, что стороны угла часто не образуют готовый прямоугольный треугольник\. Задача решается красивым дополнительным построением: #### Как найти тангенс угла на клетках: 1\. Найдите на одном из лучей угла точку, лежащую строго в **узле сетки**\. 2\. Из этой точки опустите перпендикуляр на второй луч \(или на прямую, содержащую второй луч\) так, чтобы основание перпендикуляра также попало в **узел сетки**\. 3\. Получится прямоугольный треугольник с целочисленными катетами\. 4\. По определению: тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $$ \operatorname{tg}\angle A = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} $$ 5\. **Если угол тупой:** тангенс тупого угла отрицателен\! Находят тангенс смежного острого угла и ставят знак минус: $\operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha$\. Разберём нахождение тангенса тупого угла: **Задание:** Найдите тангенс тупого угла $\angle AOB$, изображённого на клетчатой бумаге, если луч $OA$ направлен горизонтально влево вдоль линии сетки, а луч $OB$ проходит через узел $(3; 4)$ относительно вершины $O(0; 0)$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Угол $\angle AOB$ тупой \(больше $90^\circ$\)\. Прямоугольный треугольник внутри него построить нельзя\. 2\) Продлим горизонтальный луч $OA$ вправо за точку $O$, получив луч $OA'$\. Углы $\angle AOB$ и $\angle A'OB$ являются смежными, поэтому: $$ \operatorname{tg}\angle AOB = -\operatorname{tg}\angle A'OB $$ 3\) Для острого угла $\angle A'OB$ опустим из точки $B(3; 4)$ перпендикуляр на луч $OA'$\. Основание перпендикуляра попадёт в узел $(3; 0)$\. 4\) Получился прямоугольный треугольник с противолежащим катетом $4$ клетки и прилежащим катетом $3$ клетки: $$ \operatorname{tg}\angle A'OB = \dfrac{4}{3} $$ 5\) Найдём искомый тангенс тупого угла: $$ \operatorname{tg}\angle AOB = -\dfrac{4}{3} = -1{,}33\ldots \quad (\text{или } -1{,}25 \text{ для катетов } 5 \text{ и } 4) $$ **Ответ:** отрицательное число \(например, $-0{,}75$ или $-1{,}25$ в зависимости от узлов\)\. #### Как решать задания на клетках? Чтобы избежать обидных потерь баллов в задании №18 ОГЭ и на базовом ЕГЭ, следуйте алгоритму: **Проверьте масштаб клетки в условии:** убедитесь, что клетка имеет размер $1 \times 1$\. Если указан другой размер \(например, $1\text{ см} \times 2\text{ см}$\), учтите коэффициент при подсчёте\. **Выберите оптимальный способ:** если есть основание по сетке — применяйте стандартную формулу\. Если фигура наклонена — достройте прямоугольную рамку\. Для многоугольников сложной формы используйте формулу Пика\. **Опирайтесь строго на узлы сетки:** при проведении высот, диагоналей и катетов соединяйте только чёткие пересечения линий\. **Выполните самопроверку вторым методом:** если посчитали по формуле рамки, перепроверьте результат по формуле Пика\. Совпадение ответов гарантирует 100% правильность\! ## Тренажёры по геометрии на клетчатой бумаге Ниже представлены интерактивные тренажёры с практическими прототипами задания №18 ОГЭ и базового ЕГЭ по математике\. В тренажёрах собраны задачи на нахождение площадей треугольников, четырёхугольников, вычисление тригонометрических функций углов, расстояний от точки до прямой и радиусов описанных и вписанных окружностей с пошаговыми подсказками и моментальной проверкой\. ##### Клетчатая бумага в науке и технологиях Принцип дискретной сетки лежит в основе цифрового мира, картографии и теории алгоритмов: ##### Пиксели и компьютерная графика 🖥️ Экран любого смартфона или монитора представляет собой гигантскую клетчатую сетку из миллионов микроскопических пикселей\. Алгоритмы рендеринга 2D\- и 3D\-графики вычисляют площади полигонов и закрашивают векторные фигуры ровно по тем же принципам пересечения контура с узлами сетки, что и в формуле Пика\. ##### Земельный кадастр и палетки 🗺️ До эпохи спутникового сканирования геодезисты и картографы измеряли площади лесных массивов, озёр и земельных участков неправильной формы с помощью прозрачной палетки — плёнки с нанесённой миллиметровой клетчатой сеткой\. Наложив палетку на карту, площадь находили по числу полных и неполных клеток, что является прямым аналогом формулы Пика\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/geometriya-na-kletchatoy-bumage](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/geometriya-na-kletchatoy-bumage).