> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/grafik_modulya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/grafik_modulya). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # График функции с модулем: правила построения Тема **«Графики функций с модулем»** — один из ключевых разделов школьного курса алгебры, связывающий воедино алгебраическое определение абсолютной величины и геометрические преобразования на координатной плоскости\. Умение безошибочно строить графики с модулями необходимо для решения уравнений графическим методом, а также выполнения **задания 22 второй части ОГЭ по математике** и задач с параметрами профильного ЕГЭ\. На этой странице представлен полный разбор темы: алгебраическое раскрытие модуля, два главных геометрических правила отражения \(внешний модуль относительно оси Ox и внутренний модуль аргумента относительно оси Oy\), построение кусочных функций методом интервалов и решение задач на количество точек пересечения с прямой $y = m$\. После теории вы найдёте [интерактивные онлайн\-тренажёры с проверкой ответов](#trenazher-i-zadachi-modul-ekzameo) на платформе Экзамео\. ##### Определение: модуль действительного числа **Модулем \(абсолютной величиной\)** числа $x$ называется само число $x$, если оно неотрицательно, и противоположное число $-x$, если $x$ отрицательно: $$ |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0; \\ -x, & \text{если } x < 0. \end{cases} $$ • **Геометрический смысл:** $|x|$ равен расстоянию на координатной прямой от точки $x$ до начала отсчёта\. Так как расстояние не может быть отрицательным, значение модуля всегда неотрицательно: $|x| \ge 0$\. • **Свойство противоположных чисел:** противоположные числа имеют равные модули: $|-x| = |x|$\. ## Правила отражения графиков при воздействии модуля > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/grafik_modulya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/grafik_modulya). В зависимости от того, где именно стоит знак абсолютной величины — вокруг всей функции или только вокруг независимой переменной $x$, действуют два принципиально разных правила геометрического преобразования: Внешний модуль ##### График y = \|f\(x\)\| **Отражение относительно оси Ox:** Знак модуля применяется ко всем значениям функции целиком, поэтому отрицательных ординат быть не может \($y \ge 0$\)\. **Алгоритм:** 1\. Строим базовый график $y = f(x)$\. 2\. Всё, что лежит **выше оси Ox или на ней** \($y \ge 0$\), оставляем без изменений\. 3\. Всё, что лежит **ниже оси Ox** \($y < 0$\), зеркально «откидываем» наверх относительно оси Ox\. Модуль аргумента ##### График y = f\(\|x\|\) **Отражение относительно оси Oy:** Знак модуля стоит только у переменной $x$\. Функция становится чётной: $f(|-x|) = f(|x|)$, график симметричен относительно оси ординат\. **Алгоритм:** 1\. Строим базовый график $y = f(x)$ только для **правой полуплоскости** \($x \ge 0$\)\. 2\. Всё, что было слева от оси Oy \($x < 0$\), полностью стираем\. 3\. Правую часть \($x \ge 0$\) **зеркально копируем влево** относительно оси Oy\. ### Внешний модуль: график y = \|f\(x\)\| При наложении внешнего модуля график «подпрыгивает» вверх: точки пересечения с осью $Ox$ служат точками излома, а нижняя часть переворачивается в верхнюю полуплоскость\. **Задание:** Постройте график функции $y = |x^2 - 4|$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Строим базовую квадратичную функцию $y = x^2 - 4$: • Вершина в точке $(0; -4)$\. • Точки пересечения с осью $Ox$ \(нули функции\): $x^2 - 4 = 0 \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 2$\. • Ветви направлены вверх\. 2\) Применяем внешний модуль $y = |x^2 - 4|$: • На промежутках $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$ значения функции неотрицательны, эти дуги остаются на месте\. • На интервале $(-2; 2)$ парабола лежала ниже оси $Ox$ с вершиной $(0; -4)$\. Зеркально отражаем эту «яму» наверх: вершина переходит в точку $(0; 4)$\. • Получается график W\-образной формы с изломами в точках $(-2; 0)$ и $(2; 0)$\. **Ответ:** график состоит из двух восходящих ветвей при $|x| \ge 2$ и перевёрнутой дуги с вершиной $(0; 4)$ при $|x| < 2$\. ### Модуль аргумента: график y = f\(\|x\|\) > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/grafik_modulya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/grafik_modulya). Когда модуль окружает только переменную $x$, функция выдаёт одинаковый результат для $x$ и для $-x$\. Левая половина исходного графика роли не играет — она замещается зеркальной копией правой половины\. **Задание:** Постройте график функции $y = x^2 - 4|x| + 3$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Заметим, что $x^2 = (|x|)^2$\. Следовательно, перед нами функция вида $y = (|x|)^2 - 4|x| + 3$, то есть $y = f(|x|)$, где $f(x) = x^2 - 4x + 3$\. 2\) Строим график $y = x^2 - 4x + 3$ для $x \ge 0$: • Координаты вершины: $x_0 = -\dfrac{-4}{2} = 2$, $y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1$\. Вершина $(2; -1)$\. • Пересечение с осью $Oy$: при $x = 0 \implies y = 3$\. • Нули функции: $x^2 - 4x + 3 = 0 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 3$\. • Строим правую половину параболы при $x \ge 0$\. 3\) Отражаем построенную правую часть влево относительно оси $Oy$: • Вторая вершина появляется в симметричной точке $(-2; -1)$\. • Симметричные нули функции: $x = -1$ и $x = -3$\. • В точке $(0; 3)$ на оси ординат график образует характерный излом \(«клюв»\)\. **Ответ:** график симметричен относительно оси $Oy$, имеет две вершины $(2; -1)$ и $(-2; -1)$ и излом в точке $(0; 3)$\. ### Построение графиков кусочным раскрытием модуля Если модуль стоит в знаменателе или в выражении участвуют несколько разных модулей со сдвигами \(например, $y = |x - 1| + |x + 2|$\), применять правила отражения неудобно\. В таких случаях используют универсальный **метод интервалов**: **Найдите нули подмодульных выражений:** Приравняйте к нулю каждое выражение, стоящее под знаком модуля, и найдите критические точки\. **Разбейте числовую ось на промежутки:** Критические точки делят ось $Ox$ на интервалы знакопостоянства подмодульных выражений\. **Раскройте модули на каждом промежутке:** Если выражение под модулем положительно, снимаем скобки модуля без изменения знака\. Если отрицательно — меняем знаки слагаемых на противоположные\. **Постройте полученные фрагменты:** На каждом промежутке постройте соответствующую прямую или кривую строго в границах этого интервала и состыкуйте график на границах\. **Задание:** Постройте график функции $y = x^2 - 2x - 3\dfrac{|x|}{x}$\. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки\. **Пошаговый разбор:** 1\) Найдём область определения: знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 0$\. Точка $x = 0$ будет выколотой на графике\. 2\) Раскроем модуль $\dfrac{|x|}{x}$ по определению: • При $x > 0$: $|x| = x \implies \dfrac{|x|}{x} = \dfrac{x}{x} = 1$\. Функция принимает вид: $y = x^2 - 2x - 3$\. Вершина этой параболы: $x_0 = 1$, $y_0 = 1 - 2 - 3 = -4$\. При $x \to 0$ значение стремится к $-3$ \(выколотая точка $(0; -3)$\)\. • При $x < 0$: $|x| = -x \implies \dfrac{|x|}{x} = \dfrac{-x}{x} = -1$\. Функция принимает вид: $y = x^2 - 2x - 3(-1) = x^2 - 2x + 3$\. Вершина: $x_0 = 1$ \(не входит в интервал $x < 0$\)\. При $x \to 0$ значение стремится к $+3$ \(выколотая точка $(0; 3)$\)\. На промежутке $x < 0$ функция монотонно убывает\. 3\) Исследуем пересечение с горизонтальной прямой $y = m$: • При $m < -4$: прямая лежит ниже вершины параболы, общих точек $0$\. • При $m = -4$: прямая касается вершины $(1; -4)$, общая точка $1$\. • При $-4 < m < -3$: прямая пересекает две ветви правой параболы, общих точек $2$\. • При $m = -3$: прямая проходит через выколотую точку $(0; -3)$, остаётся $1$ общая точка на правой ветви\. • При $-3 < m < 3$: прямая пересекает правую ветвь параболы, общая точка $1$\. • При $m = 3$: проходит через выколотую точку $(0; 3)$ и пересекает правую ветвь, общая точка $1$\. • При $m > 3$: пересекает и левую параболу, и правую ветвь, общих точек $2$\. **Ответ:** прямая $y = m$ имеет ровно две общие точки при $m \in (-4; -3) \cup (3; +\infty)$\. #### Ошибки при построении графиков с модулем При выполнении графических заданий с модулями учащиеся чаще всего допускают следующие три ошибки: ##### Путаница между осями отражения Ox и Oy Для функции $y = f(|x|)$ ошибочно переворачивают нижнюю часть наверх, путая её с $y = |f(x)|$\. Запомните: внешний модуль $|f(x)|$ отражает нижнюю часть наверх относительно горизонтальной оси Ox, а модуль аргумента $f(|x|)$ копирует правую часть влево относительно вертикальной оси Oy\. ##### Скругление углов в точках излома В точках, где подмодульное выражение обращается в ноль \(например, нули функции в $y = |f(x)|$ или $x = 0$ в $y = f(|x|)$\), график имеет резкий угловой излом\. Сглаживать эти стыки гладкой дугой — грубая геометрическая ошибка\. ##### Потеря выколотых точек В дробных функциях вида $y = \dfrac{|x|}{x}$ сокращают дробь и забывают нанести выколотую точку $x = 0$ на итоговый чертёж\. В заданиях ОГЭ наличие выколотой точки напрямую влияет на правильный интервал значений параметра $m$\. ## Задания и тренажёр по графикам с модулем на Экзамео В интерактивных тренажёрах платформы Экзамео собрана полная коллекция графических задач с модулями: базовые преобразования прямых и парабол, кусочные функции с модульными дробями, нахождение точек излома и прототипы задания 22 ОГЭ с исследованием параметров прямой $y = m$\. Тренируйтесь строить графики онлайн, разбирайте подробные пошаговые эталоны решений и получайте максимальные баллы за сложные экзаменационные задачи\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/grafik_modulya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/grafik_modulya).