> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/grafik_pryamoi](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/grafik_pryamoi). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # График прямой в ОГЭ по математике Тема **«График прямой и линейная функция в ОГЭ по математике»** — одна из обязательных тем экзаменационного курса, которая гарантированно проверяется в **задании 11** \(часть 1\) и регулярно встречается в задачах с параметрами и кусочно\-заданными функциями в **задании 21** \(часть 2\)\. Умение быстро определять знаки и числовые значения коэффициентов $k$ и $b$ позволяет за считанные секунды сопоставлять прямые с формулами в бланке ответов\. На этой странице представлен исчерпывающий разбор: геометрический смысл коэффициентов $k$ и $b$, метод нахождения углового коэффициента по клеткам через прямоугольный треугольник, анализ знаков коэффициентов, все типы прототипов 11 задания из открытого банка ФИПИ\. После теории вы найдёте [тренажёры с подробными решениями и проверкой ответов](#trenazher-i-zadachi-grafik-pryamoy-oge) для отработки графиков прямой на ОГЭ\. **Линейной функцией** называется функция вида $y = kx + b$, где $k$ и $b$ — заданные действительные числа, а $x$ — независимая переменная \(аргумент\)\. Графиком функции всегда служит **прямая линия**, наклон и сдвиг которой определяются исключительно парой чисел $(k; b)$\. ##### Анатомия прямой в заданиях ОГЭ **Ключевое правило задания 11:** чтобы безошибочно соотнести график прямой с формулой, сначала определяют знак свободного члена $b$ \(точка пересечения с осью $Oy$\), а затем знак и наклон коэффициента $k$ \(направление прямой\)\. • **Точка на оси Oy:** прямая всегда пересекает вертикальную ось ординат в точке с координатами $(0; b)$\. • **Точка на оси Ox:** корень уравнения $kx + b = 0$, то есть точка $\left(-\dfrac{b}{k}; 0\right)$ при $k \neq 0$\. • **Прямая пропорциональность:** если $b = 0$, формула принимает вид $y = kx$, а график проходит строго через начало координат $(0; 0)$\. ## Коэффициенты k и b в заданиях ОГЭ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/grafik_pryamoi](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/grafik_pryamoi). В первой части ОГЭ по математике подавляющее большинство задач на прямые строится на определении знаков $k$ и $b$ либо нахождении их точных значений по узлам координатной сетки: Коэффициент k ##### Угловой коэффициент \(наклон прямой\) Коэффициент $k$ отвечает за угол наклона прямой к положительному направлению оси $Ox$: **Знак коэффициента k:** • Если $k > 0$ — прямая возрастает \(идёт снизу вверх, из 3\-й в 1\-ю четверть\), угол наклона острый\. • Если $k < 0$ — прямая убывает \(идёт сверху вниз, из 2\-й в 4\-ю четверть\), угол наклона тупой\. • Если $k = 0$ — прямая горизонтальна \($y = b$\), параллельна оси $Ox$\. **Числовое значение k по клеткам:** Находят два целых узла сетки на прямой и вычисляют отношение вертикального шага к горизонтальному: $k = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$\. Коэффициент b ##### Свободный член \(точка на оси Oy\) Коэффициент $b$ равен ординате точки пересечения графика с осью $Oy$ \(значение $y$ при $x = 0$\): **Определение b по чертежу:** • Если прямая пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$ — $b > 0$\. • Если прямая пересекает ось $Oy$ ниже оси $Ox$ — $b < 0$\. • Если прямая проходит через начало координат $(0; 0)$ — $b = 0$\. **Лайфхак ОГЭ:** Посмотрите на ось $Oy$\. Число, в котором прямая пересекает эту вертикальную ось, и есть точное значение $b$\. **Задание \(ФИПИ\):** Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $k$ и $b$\. На одном из рисунков прямая идёт сверху вниз и пересекает ось $Oy$ ниже начала координат\. **Пошаговый разбор:** 1\) Прямая идёт «под горку» \(сверху вниз слева направо\), значит угол с положительным направлением оси $Ox$ тупой, функция убывает $\implies k < 0$\. 2\) Точка пересечения прямой с вертикальной осью $Oy$ лежит ниже нуля $\implies b < 0$\. 3\) Получаем комбинацию знаков: $k < 0, \quad b < 0$\. **Ответ:** $k < 0, b < 0$\. ### Как найти угловой коэффициент k по графику на клетках Во 2 части ОГЭ \(задание 21\) или при составлении уравнения прямой по рисунку в 1 части требуется найти точное числовое значение $k$\. Для этого используется метод прямоугольного треугольника: **Найдите две точки в узлах сетки:** Отыщите на прямой две точки с точными целыми координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, которые лежат строго на пересечении линий клеток\. **Постройте прямоугольный треугольник:** Соедините эти точки горизонтальным и вертикальным катетами вдоль линий сетки\. Длины катетов равны разностям координат: $\Delta y = |y_2 - y_1|$ и $\Delta x = |x_2 - x_1|$\. **Вычислите отношение катетов и поставьте знак:** Разделите вертикальный катет на горизонтальный: $|k| = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$\. Если прямая возрастает, оставляем знак «плюс» \($k > 0$\)\. Если прямая убывает, ставим знак «минус» \($k < 0$\)\. **Задание:** На рисунке изображён график прямой, проходящей через точку $(0; -2)$ на оси $Oy$ и точку $(4; 1)$ в узле координатной сетки\. Найдите уравнение этой функции\. **Пошаговый разбор:** 1\) **Находим коэффициент b:** Прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0; -2)$, следовательно: $$b = \-2$$ 2\) **Строим треугольник между точками \(0; \-2\) и \(4; 1\):** • Горизонтальное смещение $\Delta x = 4 - 0 = 4$ клетки\. • Вертикальное смещение $\Delta y = 1 - (-2) = 3$ клетки\. • Прямая идёт снизу вверх \(возрастает\), поэтому $k > 0$\. 3\) **Находим коэффициент k:** $$ k = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75 $$ 4\) **Записываем формулу:** $$ y = 0{,}75x - 2 $$ **Ответ:** $y = 0{,}75x - 2$\. ### Взаимное расположение прямых в заданиях ОГЭ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/grafik_pryamoi](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/grafik_pryamoi). В задачах на соответствие графиков и в задании 21 необходимо помнить геометрические критерии взаимного расположения двух прямых $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$: • **Прямые параллельны:** угловые коэффициенты строго равны, а сдвиги различны \($k_1 = k_2$, но $b_1 \neq b_2$\)\. Графики имеют одинаковый угол наклона и нигде не пересекаются\. • **Прямые пересекаются:** угловые коэффициенты не равны между собой \($k_1 \neq k_2$\)\. Прямые гарантированно пересекаются ровно в одной точке\. Координаты точки пересечения находятся решением уравнения $k_1x + b_1 = k_2x + b_2$\. • **Прямые перпендикулярны:** произведение угловых коэффициентов равно минус единице: $k_1 \cdot k_2 = -1$ \(то есть $k_2 = -\dfrac{1}{k_1}$\)\. Например, прямые $y = 2x$ и $y = -0{,}5x + 3$ перпендикулярны, так как $2 \cdot (-0{,}5) = -1$\. #### Ошибки при работе с графиками прямой на ОГЭ При анализе бланков ОГЭ экзаменаторы чаще всего отмечают три типичные ошибки в 11 задании: ##### Поиск точки b на горизонтальной оси Ox Свободный член $b$ ошибочно смотрят по горизонтальной оси $Ox$\. Запомните: $b$ — это ордината точки при $x = 0$, поэтому смотреть нужно исключительно на пересечение с вертикальной осью $Oy$\. ##### Ошибки в знаке k при взгляде справа налево Оценивают наклон прямой в обратную сторону\. График всегда читается строго слева направо \(по направлению стрелки $Ox$\): если линия идёт вверх — $k > 0$, если опускается вниз — $k < 0$\. ##### Перевёрнутая дробь при расчёте k по клеткам При вычислении наклона делят горизонтальное смещение на вертикальное \($\Delta x / \Delta y$\) вместо правильного отношения вертикали к горизонтали \($\Delta y / \Delta x$\)\. Это даёт обратное число вместо верного углового коэффициента\. ## Задания по графикам прямой из открытого банка ФИПИ В интерактивных тренажёрах Экзамео собраны все типы прототипов 11 и 21 заданий ОГЭ по математике на линейную функцию: сопоставление прямых со знаками $k$ и $b$, нахождение формулы по точкам сетки, взаимное расположение прямых и пересечение графиков\. Каждое задание содержит детальное пошаговое решение с разбором каждого графика и \. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/grafik_pryamoi](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/grafik_pryamoi).