> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/kvadratnye-uravneniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/kvadratnye-uravneniya). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Квадратные уравнения на ОГЭ по математике \- разбор темы На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме **«Квадратные уравнения для ОГЭ по математике»**\. Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с секретными лайфхаками вычисления корней, теоремой Виета и пошаговыми разборами, чтобы помочь выпускникам 9 класса гарантированно забирать баллы как в первой, так и во второй части экзамена\. Квадратные уравнения — это математический фундамент всего ОГЭ\. Они не просто дают быстрый балл в тестовой части, но и являются ключевым элементом сложнейших задач второй части\. Квадратное уравнение встречается сразу в трёх заданиях ОГЭ: №9, №20 и №21\. ## Где квадратные уравнения встречаются в ОГЭ? > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/kvadratnye-uravneniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/kvadratnye-uravneniya). Умение решать квадратные уравнения приносит абитуриенту от 1 до 5 первичных баллов: • **Задание 9 \(1 часть, 1 балл\):** простейшие и полные квадратные уравнения в чистом виде \(часто просят вписать меньший или больший корень\); • **Задание 20 \(2 часть, 2 балла\):** сложные алгебраические уравнения с заменой переменной, разложением на множители или дробно\-рациональные конструкции, сводящиеся к квадратным; • **Задание 21 \(2 часть, 2 балла\):** текстовые задачи \(на движение по воде, работу, сплавы и смеси\), где составление математической модели приводит к квадратному уравнению\. ### Классические способы решения квадратных уравнений Канонический вид квадратного уравнения: **ax² \+ bx \+ c = 0** \(где a ≠ 0\)\. ##### 1\. Через Дискриминант \(Универсальный\) 🎯 • **Формула дискриминанта:** **D = b² − 4ac** • **Если D \> 0:** 2 корня: **x = \(−b ± √D\) / \(2a\)** • **Если D = 0:** 1 корень: **x = −b / \(2a\)** • **Если D < 0:** действительных корней нет\. ##### 2\. Теорема Виета \(Быстрый для a = 1\) ⚡ • Применяется для приведённых уравнений \(**x² \+ px \+ q = 0**\): **x₁ \+ x₂ = −p** **x₁ · x₂ = q** • Позволяет устно подбирать целые корни за 5 секунд без сложных вычислений D\. #### 🔥 Секретный лайфхак: Свойство коэффициентов \(a \+ b \+ c = 0\) Если сумма всех коэффициентов квадратного уравнения равна нулю \(**a \+ b \+ c = 0**\), то первый корень ВСЕГДА равен единице: **x₁ = 1**, а второй корень равен: **x₂ = c / a**\! *Пример:* 139x² − 140x \+ 1 = 0\. Сумма: 139 − 140 \+ 1 = 0\. Корни моментально: **x₁ = 1**, **x₂ = 1 / 139**\! Без унылого возведения 140 в квадрат\. ### 🔥 Лайфхаки: Как извлечь квадратный корень из БОЛЬШОГО числа? > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/kvadratnye-uravneniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/kvadratnye-uravneniya). В справочных материалах ОГЭ даётся таблица квадратов двузначных чисел только до 99² \(то есть до 9801\)\. В текстовых задачах №21 или №20 дискриминант часто получается огромным \(например, D = 15 129, 27 225 или 54 756\)\. Инженерного калькулятора на ОГЭ нет\! Вот два мощных метода, как устно вычислить √D за 30 секунд: ##### Метод 1: Разложение на простые множители 🧩 • **Суть:** раскладываем число под корнем на простые делители \(2, 3, 5, 7, 11\.\.\.\)\. • **Пример:** найдем √15876\. 15876 : 2 = 7938 7938 : 2 = 3969 3969 : 3 = 1323 1323 : 3 = 441 441 : 3 = 147 147 : 3 = 49 $\to$ 49 = 7 · 7 • **Итог:** 15876 = 2² · 3⁴ · 7² • **Извлекаем корень \(деля степени на 2\):** √15876 = 2¹ · 3² · 7¹ = 2 · 9 · 7 = **126**\! ##### Метод 2: Границы \+ Последняя цифра \(Самый быстрый\!\) ⚡ • **Пример:** найдем **√15 129**\. 1\) **Ограничиваем круглыми сотнями:** 100² = 10 000, а 200² = 40 000\. Число 15 129 зажато между 10 000 и 40 000 $\implies$ ответ лежит в отрезке от **100 до 200** \(ближе к 100, так как 15 000 ближе к 10 000\)\. 2\) **Уточняем десятками:** 120² = 14 400, 130² = 16 900\. Искомое число между 14 400 и 16 900 $\implies$ число между **120 и 130**\! 3\) **Смотрим на ПОСЛЕДНЮЮ ЦИФРУ:** Число оканчивается на **9**\. Какая цифра при возведении в квадрат даёт 9 на конце? Только **3** \(3²=9\) или **7** \(7²=49\)\! Варианта всего два: **123** или **127**\. Проверяем столбиком: 123 · 123 = **15 129**\. Ответ: **123**\! ### Шпаргалка: Последняя цифра точного квадрата Чтобы мгновенно угадывать последнюю цифру корня при использовании Метод 2, запомните эту таблицу: ##### Последняя цифра под корнем \(D\) ##### Возможные последние цифры корня \(√D\) ##### Пример **1** **1** \(1²=1\) или **9** \(9²=81\) √15 129 $\to$ оканчивается на 3 или 7 \(123\) **4** **2** \(2²=4\) или **8** \(8²=64\) √54 756 $\to$ оканчивается на 4 \(234\) **5** Только **5** \(5²=25\) √27 225 $\to$ строго оканчивается на 5 \(165\) **6** **4** \(4²=16\) или **6** \(6²=36\) √11 236 $\to$ оканчивается на 4 или 6 \(106\) **9** **3** \(3²=9\) или **7** \(7²=49\) √18 769 $\to$ оканчивается на 3 или 7 \(137\) ### Пошаговый алгоритм решения квадратного уравнения Придерживайтесь этого единого алгоритма при решении задач №9, №20 и №21: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/kvadratnye-uravneniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/kvadratnye-uravneniya). **Приведите уравнение к каноническому виду ax² \+ bx \+ c = 0:** раскройте скобки, перенесите все слагаемые влево и приведите подобные\. **Проверьте лайфхаки \(a \+ b \+ c = 0\) и Виета:** если коэффициенты удобные, моментально найдите корни без дискриминанта\. **Если дискриминант большой:** найдите √D методом «Границы \+ Последняя цифра» или разложением на множители\. **Оформить ответ согласно номеру задания:** • В **задании 9** выберите меньший/больший корень; • В **задании 20** сделайте обратную замену и отбросьте посторонние корни; • В **задании 21** отбросьте отрицательный корень \(так как скорость, время и масса всегда больше 0\!\)\. #### Типичные ошибки выпускников При решении квадратных уравнений на ОГЭ ученики чаще всего допускают следующие ошибки: ##### Ошибка в знаке при расчёте Дискриминанта Забыть, что при отрицательном c в формуле b² − 4ac минус на минус даёт плюс ❌\! Если c = −5, то D = b² \+ 4a·5 ✅\! ##### Забытый знаменатель 2a Делить \(−b ± √D\) просто на 2, когда старший коэффициент a ≠ 1 ❌\. Запомните: всегда делим на **2a** ✅\! Постарайтесь обращать на это внимание при решении тренировочных вариантов\. ##### Разбор реальных примеров из заданий №9, №20 и №21 Рассмотрите полные образцы решения квадратных уравнений из разных разделов ОГЭ\. **Задание:** Решите уравнение x² \+ 4 = 5x\. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней\. **Подробное решение:** 1\) Перенесём 5x влево: x² − 5x \+ 4 = 0\. 2\) Проверим теорему Виета: • x₁ \+ x₂ = 5 • x₁ · x₂ = 4 • Легко подбираются целые числа: **x₁ = 1** и **x₂ = 4**\. 3\) По условию требуется записать **меньший корень**: 1 < 4\. **Ответ:** 1 **Задание:** Решите уравнение \(x − 2\)⁴ − 4\(x − 2\)² − 5 = 0\. **Подробное решение:** 1\) Сделаем замену переменной: пусть **t = \(x − 2\)²**, причём **t ≥ 0**\. 2\) Уравнение принимает вид: t² − 4t − 5 = 0\. 3\) Найдём корни по теореме Виета \(или через D\): • t₁ \+ t₂ = 4, t₁ · t₂ = −5 $\implies$ **t₁ = 5**, **t₂ = −1**\. 4\) Учитывая ограничение t ≥ 0, корень **t₂ = −1 не подходит**\. 5\) Делаем обратную замену для t₁ = 5: • \(x − 2\)² = 5 • x − 2 = √5 или x − 2 = −√5 • **x₁ = 2 \+ √5**, **x₂ = 2 − √5**\. **Ответ:** 2 − √5; 2 \+ √5\. ## Тренажёры и тесты по уравнениям на Экзамео На образовательной платформе **Экзамео** подготовлена интерактивная подборка онлайн\-тренажёров по теме **«Квадратные уравнения для ОГЭ \(задания 9, 20, 21\)»** с подробными видеоразборами и автоматической проверкой ответов\. Все типы полных, неполных и биквадратных уравнений составлены в точном соответствии с актуальным открытым банком заданий ФИПИ\! Переходите к интерактивным тренажёрам по теме **«Квадратные уравнения ОГЭ»** на **Экзамео**\. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, отрабатывайте быстрые лайфхаки извлечения корней и гарантированно получайте максимальные баллы на экзамене\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/kvadratnye-uravneniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/kvadratnye-uravneniya).