> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/mnogochleny](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/mnogochleny). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Многочлены \- полный разбор темы ОГЭ по математике В данном справочнике собран полный разбор темы **«Многочлены» из кодификатора ОГЭ по математике**\. Согласно спецификации ФИПИ, в экзаменационной работе проверяются следующие элементы содержания: понятие многочлена, действия с многочленами \(сложение, вычитание, умножение\), формулы сокращённого умножения, разложение многочлена на множители, а также квадратный трёхчлен и его разложение на линейные множители\. Материал систематизирован и содержит всё необходимое для успешной сдачи экзамена\. Многочлены — это основа школьной алгебры\. Без свободного владения многочленами невозможно успешно решать как базовые задания №6–№8, так и прототипы второй части \(№20, №21\) ОГЭ по математике\. На этой странице вы найдёте все правила, формулы и подробные примеры, которые могут встретиться на экзамене\. ## В каких заданиях ОГЭ встречаются многочлены? > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/mnogochleny](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/mnogochleny). Согласно спецификации ОГЭ по математике тема «Многочлены» проверяется в следующих многих номерах: ##### Задание №7 и №8 **Алгебраические выражения и свойства степеней\.** Раскрытие скобок, применение ФСУ, упрощение буквенных выражений и подстановка числовых значений\. ##### Задание №9 и №13 **Уравнения и неравенства\.** Решение квадратных уравнений через разложение трёхчлена и метода интервалов для многочленов\. ##### Задание №20 и №21 **Повышенный уровень \(Часть 2\)\.** Сложные алгебраические уравнения, системы и дробно\-рациональные выражения, требующие разложения на множители способом группировки\. ### Что такое многочлен в ОГЭ по математике #### Определение многочлена: **Многочлен** — это алгебраическая сумма нескольких одночленов\. Разберёмся с основными понятиями и терминологией, связанной с многочленами: ##### Элементы многочлена • **Одночлен:** произведение чисел, переменных и их натуральных степеней \(например, $5x^2y$\)\. • **Члены многочлена:** одночлены, из которых составлена алгебраическая сумма\. ##### Характеристики многочлена • **Степень многочлена:** наибольшая из степеней входящих в него одночленов \(например, $3x^2 - 5x + 7$ — многочлен $2$\-й степени\)\. • **Стандартный вид:** запись, в которой все одночлены приведены к стандартному виду и приведены подобные слагаемые\. #### Действия с многочленами в ОГЭ по математике В экзаменационных заданиях ОГЭ проверяется умение выполнять сложение, вычитание и умножение многочленов\. При сложении и вычитании многочленов нужно раскрыть скобки \(помня, что минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри на противоположные\) и привести подобные слагаемые\. **Пример сложения:** $(2x^2 + 3x - 5) + (x^2 - 2x + 7) = (2x^2 + x^2) + (3x - 2x) + (-5 + 7) = 3x^2 + x + 2$ **Пример вычитания:** $(5a^3 - 2a^2 + a) - (3a^3 + a^2 - 2a) = 5a^3 - 2a^2 + a - 3a^3 - a^2 + 2a = 2a^3 - 3a^2 + 3a$ Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен по распределительному закону: $a \cdot (b + c + d) = ab + ac + ad$\. **Пример:** $3x \cdot (2x^2 - 5x + 4) = 3x \cdot 2x^2 + 3x \cdot (-5x) + 3x \cdot 4 = 6x^3 - 15x^2 + 12x$ Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена: $(a + b) \cdot (c + d) = ac + ad + bc + bd$\. **Пример:** $(x + 2)(x - 3) = x \cdot x + x \cdot (-3) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$ #### Формулы сокращённого умножения \(ФСУ\) Формулы сокращённого умножения — это ключевой элемент темы «Многочлены» в ОГЭ\. Они используются для ускоренного упрощения выражений, разложения на множители и решения уравнений\. На экзамене по математике в 9 классе вам вряд ли понадобятся все формулы, но как минимум первые 3, связанные с квадратами нужно знать наизусть\. С их неправильным применением связано большое количество ошибок на экзамене в 9 классе ##### Формула ##### Пример применения $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $(2x - 5)^2 = 4x^2 - 20x + 25$ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ $(3x - 4)(3x + 4) = 9x^2 - 16$ $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ $(x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ $(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ $x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ $27x^3 - 1 = (3x - 1)(9x^2 + 3x + 1)$ ### Основные способы разложения на множители > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/mnogochleny](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/mnogochleny). Разложение многочлена на множители — одно из главных умений, проверяемых в заданиях с многочленами на ОГЭ по математике\. Познакомьтесь с 4 основными способами: ##### 1\. Вынесение общего множителя Нахождение общего делителя и одинаковых букв в наименьшей степени\. • $6x^3 + 12x^2 - 18x = 6x(x^2 + 2x - 3)$ • $a^2b - ab^2 = ab(a - b)$ ##### 2\. Способ группировки Объединение слагаемых в пары с последующим вынесением общего скобочного множителя\. • $ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)$ • $x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 1)(x + 1)$ ##### 3\. Использование ФСУ Применение формул разности квадратов, кубов или полного квадрата\. • $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ • $4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$ ##### 4\. Квадратный трёхчлен Использование корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$\. • $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ • $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ #### Квадратный трёхчлен и его разложение Квадратный трёхчлен — это многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$\. В ОГЭ по математике постоянно встречаются задачи, требующие разложения квадратного трёхчлена на линейные множители\. Формулы разложения квадратного трехчлена встречаются в основном в 21 заданиях с графиками на ОГЭ\. Если вам попадется дробно\-рациональная функция с квадратным многочленом в числителе или знаменателе, вы просто не сможете построить график, если не разложите квадратный трехчлен на множители по формуле: #### Формула разложения квадратного трёхчлена: Если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то: $$ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) $$ *Пример:* $2x^2 - 2x - 4 = 2(x - 2)(x + 1)$ \(корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$\)\. Разложите на множители трёхчлен: $x^2 - 5x + 6$\. **Решение:** 1\) Найдём корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ по теореме Виета или через дискриминант: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$\. 2\) Применим формулу разложения: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$\. **Ответ:** $(x - 2)(x - 3)$\. Разложите на множители трёхчлен: $3x^2 + 9x - 30$\. **Решение:** 1\) Вынесем общий множитель $3$ за скобки: $3(x^2 + 3x - 10)$\. 2\) Найдём корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$: $x_1 = -5$, $x_2 = 2$\. 3\) Запишем итоговое разложение: $3(x - (-5))(x - 2) = 3(x + 5)(x - 2)$\. **Ответ:** $3(x + 5)(x - 2)$\. #### Важный совет эксперта ОГЭ: При разложении многочлена на множители в ОГЭ всегда первым делом проверяйте, можно ли вынести общий множитель за скобки\! Это простейшее действие в разы упрощает вычисления\. #### Чек\-лист готовности к ОГЭ по теме «Многочлены» Чтобы быть уверенным в своих силах на экзамене, убедитесь, что вы освоили все необходимые навыки: ##### Базовые навыки \(Часть 1\) • **Выполнять действия:** сложение, вычитание и умножение многочленов\. • **Применять ФСУ:** раскладывать разность квадратов и раскрывать квадраты суммы/разности\. • **Выносить множитель:** находить общий делитель в одночленах\. ##### Продвинутые навыки \(Часть 2\) • **Способ группировки:** раскладывать четырёхчлены в №20 ОГЭ\. • **Квадратный трёхчлен:** раскладывать на линейные множители $a(x-x_1)(x-x_2)$ для сокращения дробей\. • **Находить корни:** решать уравнения высших степеней методом разложения\. ## Тренажёры по многочленам в ОГЭ по математике на Экзамео На образовательной платформе **Экзамео** вы найдёте множество **интерактивных тренажёров** по теме «Многочлены» из ОГЭ по математике\. Все задания составлены на основе актуальных прототипов экзаменационных КИМ и открытого банка ФИПИ и удобным образом распределены по уровню сложности\. Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным **пошаговым решением и объяснением**, что позволяет не просто узнать правильный ответ, но и глубоко понять алгоритм выполнения\. Тренируйтесь в удобном для вас темпе, повышайте баллы и сдавайте ОГЭ на максимум вместе с нами --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/mnogochleny](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/mnogochleny).