> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/okruzhnost](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/okruzhnost). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Окружность и круг: теория, теоремы и задания ОГЭ математика На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме **«Окружность и круг» для подготовки к ОГЭ по математике**\. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот учебный материал в формате подробного линейного разбора: каждый элемент подробно описан, сопровождается вынесенной теоремой, формулой, акцентом для экзамена и подписью к наглядному чертежу\. В ОГЭ по математике тема «Окружность и круг» занимает ключевое место: в первой части это гарантированное **Задание №16**, так же окружности и круги могут встречаться в заданиях на клетке **№18**, а во второй части в задачах повышенной сложности на доказательство и вычисление \- **задания №23, №24 и №25**\. ## В каких заданиях ОГЭ встречается тема «Окружность и круг»? > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/okruzhnost](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/okruzhnost). Знание свойств окружности необходимо для решения четырёх ключевых задач экзамена: ##### Задание №16 \(Часть 1\) 🎯 **Базовая геометрия \(1 балл\)\.** Основной блок задач на углы, хорды, касательные, радиусы вписанных и описанных окружностей\. ##### Задание №18 \(Часть 1\) 📐 **Геометрия на клетках\. \(1 балл\)** Нахождение радиусов, длин дуг и площадей секторов по квадратной сетке\. ##### Задания №23, №24 \(Часть 2\) 🔥 **Повышенный уровень \(2 балла\)\.** Сложные геометрийные вычисления и строгое доказательство свойств касающихся и вписанных окружностей\. ## Базовые элементы окружности и круга Ниже приведен последовательный разбор каждого элемента с соответствующими формулами, важными примечаниями ФИПИ и теоремами\. **1\. Радиус \(**$r$** или **$R$**\)** — отрезок, соединяющий центр окружности $O$ с любой точкой, лежащей на окружности\. **2\. Диаметр \(**$d$** или **$D$**\)** — отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр\. **3\. Хорда** — отрезок, соединяющий любые две точки окружности\. #### Теорема о диаметре и хорде: Диаметр \(или радиус\), перпендикулярный хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам\. #### Теорема о пересекающихся хордах: Если две хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: $$ AE \cdot EB = CE \cdot ED $$ \[ Место для иллюстрации: Теорема о пересекающихся хордах $AE \cdot EB = CE \cdot ED$ \] **4\. Дуга окружности \(**$\cup$**\)** — часть окружности, ограниченная двумя её точками\. **5\. Сектор** — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними\. Формула площади сектора с центральным углом $\alpha$ \(в градусах\): $$ S = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 $$ Формула длины дуги сектора $L$: $$ L = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r $$ **6\. Сегмент** — часть круга, ограниченная хордой и дугой\. #### Задач на сегменты круга не будет\! 💡 В 16 задании ОГЭ по математике нет в открытом банке заданий ФИПИ задач на площадь сегмента, поэтому формулы площади сегментов заучивать не требуется\. \[ Место для иллюстрации: Сектор и сегмент в окружности \] **7\. Касательная** — прямая, которая касается окружности в одной точке и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку\. #### Теорема об отрезках касательных: Если из одной точки вне окружности проведены две касательные, то отрезки этих касательных от данной точки до точек касания равны между собой: $$ PA = PB $$ \[ Место для иллюстрации: Теорема об отрезках касательной $PA = PB$ \] **8\. Секущая** — это прямая, которая пересекает окружность в двух точках\. #### Теорема о касательной и секущей: Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей \(всей секущей на её внешнюю часть\): $$ PA^2 = PB \cdot PC $$ \[ Место для иллюстрации: Касательная и секущая $PA^2 = PB \cdot PC$ \] ## Вписанные и центральные углы > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/okruzhnost](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/okruzhnost). Самая большая часть **16 заданий из ОГЭ по математике** связана именно с центральными и вписанными углами\. Запомнить их свойства — главный приоритет подготовки\. **Центральный угол** — угол, вершина которого лежит в центре окружности, а стороны являются радиусами\. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается: $$ \angle AOB = \cup AB $$ **Вписанный угол** — угол, вершина которого лежит на самой окружности, а стороны являются хордами\. Градусная мера вписанного угла равна **половине** градусной меры дуги, на которую он опирается: $$ \angle ACB = \dfrac{1}{2}\cup AB $$ ##### Характеристика ##### Центральный угол ##### Вписанный угол **Вершина** Лежит в центре окружности $O$ Лежит на самой окружности **Стороны** Два радиуса Две хорды **Градусная мера** Равна дуге, на которую опирается: $\angle AOB = \cup AB$ Вдвое меньше дуги: $\angle ACB = \frac{1}{2}\cup AB$ \[ Место для иллюстрации: Вписанный угол $\angle ACB = \frac{1}{2}\cup AB$ и центральный угол $\angle AOB = \cup AB$ \] ### Ключевые следствия из свойства вписанного угла Разберём 3 свойства, которые экономят время при решении Заданий 16 и 24 на ОГЭ: ##### 1\. Угол, опирающийся на диаметр 📐 Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда является **прямым** \($90^\circ$\)\. *Почему:* Диаметр делит окружность на дугу в $180^\circ$, а вписанный угол равен половине этой дуги \($180^\circ : 2 = 90^\circ$\)\. ##### 2\. Углы на одну дугу 💡 Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу \(или на равные дуги\), **равны между собой**\. *Пример:* Если $\angle C$ и $\angle D$ опираются на дугу $AB$, то $\angle C = \angle D$\. \[ Место для иллюстрации: Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, и прямой угол, опирающийся на диаметр \] ## Вписанные и описанные многоугольники При комбинации окружности с многоугольниками действуют следующие строгие правила: ##### Вписанный четырёхугольник 🔲 Окружность можно описать около четырёхугольника тогда и только тогда, когда **сумма его противоположных углов равна **$180^\circ$: $$ \angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ $$ ##### Описанный четырёхугольник ⭕ Окружность можно вписать в четырёхугольник тогда и только тогда, когда **суммы его противоположных сторон равны**: $$ a + c = b + d $$ #### Пошаговый алгоритм решения задач на окружности в ОГЭ по математике Чтобы безошибочно решить задания на окружности в ОГЭ по математике, придерживайтесь следующего алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/okruzhnost](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/okruzhnost). **Определите вершины и тип угла:** выясните, где находится вершина искомого или заданного угла \(в центре $O$ или на самой окружности\)\. **Перейдите к градусной мере дуги:** найдите дугу, на которую опирается угол \($\cup = \angle_{\text{центр}}$ или $\cup = 2 \cdot \angle_{\text{впис}}$\)\. **Используйте равнобедренные треугольники с радиусами:** соедините центр $O$ с точками на окружности и найдите равные углы при основании $OA = OB$\. **Примените прямоугольный треугольник при касательной:** при наличии касательной проведите радиус в точку касания \($90^\circ$\) и используйте теорему Пифагора\. ##### Разбор заданий с окружностями из открытого банка ФИПИ Рассмотрите подробные решения официальных прототипов №16 ОГЭ по математике\. **Задание \(ФИПИ\):** Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность\. Угол $ABC$ равен $38^\circ$, угол $CAD$ равен $33^\circ$\. Найдите угол $ABD$\. Ответ дайте в градусах\. **Подробное решение:** 1\) Вписанные углы $\angle CAD$ и $\angle CBD$ опираются на одну и ту же дугу $CD$\. 2\) Следовательно, по теореме о вписанных углах, опирающихся на одну дугу: $\angle CBD = \angle CAD = 33^\circ$\. 3\) Угол $\angle ABC$ состоит из суммы двух углов: $\angle ABD$ и $\angle CBD$: $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$ $38^\circ = \angle ABD + 33^\circ$ 4\) Вычисляем искомый угол $\angle ABD$: $\angle ABD = 38^\circ - 33^\circ = 5^\circ$\. **Ответ:** $5$\. **Задание \(ФИПИ\):** Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром $O$ пересекаются в точке $P$\. Найдите угол $AOB$, если угол $APB = 50^\circ$\. Ответ дайте в градусах\. **Подробное решение:** 1\) Радиусы $OA$ и $OB$, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным $PA$ и $PB$: $\angle OAP = 90^\circ$ и $\angle OBP = 90^\circ$\. 2\) Рассмотри выпуклый четырёхугольник $AOBP$\. Сумма всех внутренних углов любого четырёхугольника равна $360^\circ$: $\angle AOB + \angle OAP + \angle OBP + \angle APB = 360^\circ$ 3\) Подставим известные углы: $\angle AOB + 90^\circ + 90^\circ + 50^\circ = 360^\circ$ $\angle AOB + 230^\circ = 360^\circ$ $\angle AOB = 360^\circ - 230^\circ = 130^\circ$\. **Ответ:** $130$\. ## Тренажёры по теме «Окружность и круг» на Экзамео На образовательной платформе **Экзамео** подготовлены интерактивные онлайн\-тренажёры по теме **«Окружность и круг» для подготовки к ОГЭ по математике** с подробными пошаговыми геометрийными решениями и автоматической проверкой ответов\. База содержит сотни официальных прототипов Заданий №16, №18 и №24 из открытого банка ФИПИ\! Переходите к интерактивным тренажёрам по теме **«Окружность и круг ОГЭ»** на **Экзамео**\. Тренируйтесь в удобном для вас темпе, оттачивайте знание теорем и уверенно забирайте максимальные баллы на ОГЭ по математике\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/okruzhnost](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/okruzhnost).