> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/podobnye-treugolniki](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/podobnye-treugolniki). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Подобные треугольники в ОГЭ по математике \- теория и задания **Подобные треугольники в ОГЭ по математике** составляют фундамент геометрического блока экзамена и встречаются более чем в трети всех планиметрических номеров\. Понимание подобия фигур требуется не только для решения базовых задач первой части, но и является главным инструментом рассуждений во второй части экзамена \(модуль «Геометрия» повышенного и высокого уровней сложности\)\. На этой странице собрана вся необходимая теория по подобным треугольникам: определение, признаки подобия, свойства линейных элементов, отношение площадей и периметров, а также подробный разбор того, **в каких конкретно заданиях ОГЭ встречаются подобные треугольники** \(номера 15, 17, 23, 24 и 25\)\. На платформе Экзамео вы найдёте интерактивные [онлайн\-тренажёры по всем типам заданий на подобные треугольники](#trenazher-podobnye-treugolniki-oge-ekzameo) с автоматической проверкой ответов и пошаговыми эталонами решений\. ## Подобные треугольники в ОГЭ по математике: краткая теория > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/podobnye-treugolniki](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/podobnye-treugolniki). **Два треугольника называются подобными \(**$\Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1$**\),** если их соответствующие углы равны, а сходственные стороны \(стороны, лежащие напротив равных углов\) пропорциональны\. \[Место для иллюстрации: Два подобных треугольника ABC и A1B1C1 с равными углами alpha, beta, gamma и сходственными сторонами\] • **Коэффициент подобия \(**$k$**\):** отношение сходственных сторон двух подобных треугольников: $$ \dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1} = k $$ • **Отношение линейных элементов:** периметры, высоты, медианы, биссектрисы, а также радиусы вписанных \($r$\) и описанных \($R$\) окружностей подобных треугольников относятся строго как **коэффициент подобия в первой степени**: $$ \dfrac{P}{P_1} = \dfrac{h}{h_1} = \dfrac{m}{m_1} = \dfrac{l}{l_1} = \dfrac{R}{R_1} = \dfrac{r}{r_1} = k $$ • **Отношение площадей подобных треугольников:** площади двух подобных треугольников относятся как **квадрат коэффициента подобия**: $$ \dfrac{S}{S_1} = k^2 $$ Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, подобный данному: 1\. Пусть прямая $MN$ параллельна стороне $AC$ треугольника $\Delta ABC$ \($M \in AB$, $N \in BC$\)\. 2\. Угол $\angle B$ является общим для треугольников $\Delta MBN$ и $\Delta ABC$\. 3\. Углы $\angle BMN$ и $\angle BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $MN \parallel AC$ и секущей $AB$\. 4\. Следовательно, треугольники $\Delta MBN$ и $\Delta ABC$ подобны по двум углам \(I признак подобия\)\. \[Место для иллюстрации: Треугольник ABC с проведённой прямой MN, параллельной стороне AC, отсекающей подобный треугольник MBN\] ### Три признака подобия треугольников для ОГЭ Чтобы доказать подобие треугольников в задачах ОГЭ, достаточно подтвердить одно из трёх условий: ##### Признак подобия ##### Математическое условие ##### Где чаще всего применяется в ОГЭ **I признак** \(по двум углам\) $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$ Самый частый признак \(90% задач ОГЭ\): параллельные прямые, вертикальные углы при диагоналях трапеции, вписанные углы, опирающиеся на одну дугу\. **II признак** \(по двум сторонам и углу\) $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$, $\angle A = \angle A_1$ Задачи с общим углом и пропорциональными отрезками на сторонах угла \(задания 23 и 24\)\. **III признак** \(по трём сторонам\) $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$ Задачи, в которых заданы численные значения длин всех сторон двух треугольников \(проверка подобия\)\. #### В каких заданиях ОГЭ встречаются подобные треугольники Задачи на подобие треугольников распределены по пяти ключевым номерам экзаменационного КИМа ОГЭ: ##### Задание 15 \(базовая планиметрия\) Задачи на прямую, параллельную основанию треугольника, нахождение отрезков сторон через пропорции, прямоугольные треугольники с высотой, опущенной на гипотенузу, и практические сюжеты \(длина тени столба или человека\)\. ##### Задание 17 \(площади фигур\) Задачи на отношение площадей: расчёт площади отсечённого треугольника по коэффициенту подобия через формулу $\dfrac{S_1}{S_2} = k^2$, задачи на среднюю линию \($k = 2 \implies \dfrac{S_{\text{бол}}}{S_{\text{мал}}} = 4$\)\. ##### Задание 23 \(расчётная геометрия, 2 часть\) Сложные вычисления в трапециях \(треугольники при основаниях, образованные диагоналями\), параллелограммах, секущих и хордах окружностей\. Требует строгого оформления и доказательства подобия\. ##### Задания 24 и 25 \(доказательства и олимпиады\) В номере 24 требуется строго доказать подобие двух треугольников через вписанные углы окружности или касательные\. В задаче высокой сложности 25 подобие комбинируется с теоремами Менелая, Чевы и окружностями\. #### Задания на подобные треугольники ОГЭ с пошаговыми решениями Ниже приведены подробные эталоны решений ключевых экзаменационных задач из открытого банка ФИПИ для 15, 17, 23 и 24 номеров ОГЭ по математике\. **Условие:** Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно\. Известно, что $AC = 18$, $MN = 12$, а сторона $AB = 24$\. Найдите длину отрезка $AM$\. **Пошаговое решение:** 1\) **Докажем подобие треугольников:** В треугольниках $\Delta MBN$ и $\Delta ABC$ угол $\angle B$ — общий, а углы $\angle BMN = \angle BAC$ как соответственные при параллельных прямых $MN \parallel AC$ и секущей $AB$\. Следовательно, $\Delta MBN \sim \Delta ABC$ по двум углам \(I признак подобия\)\. 2\) **Составим пропорцию сходственных сторон:** $$ \dfrac{MN}{AC} = \dfrac{BM}{AB} $$ 3\) **Подставим числовые данные и найдём **$BM$**:** $$ \dfrac{12}{18} = \dfrac{BM}{24} \implies \dfrac{2}{3} = \dfrac{BM}{24} \implies BM = \dfrac{2 \cdot 24}{3} = 16 $$ 4\) **Найдём искомый отрезок **$AM$**:** Точка $M$ лежит на отрезке $AB$, поэтому: $$ AM = AB - BM = 24 - 16 = 8 $$ **Ответ:** $8$\. **Условие:** Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, делит сторону $AB$ в отношении $2 : 3$, считая от вершины $B$\. Площадь отсечённого треугольника равна $16$\. Найдите площадь исходного треугольника $ABC$\. **Пошаговое решение:** 1\) Пусть прямая пересекает $AB$ в точке $M$, а $BC$ в точке $N$\. Треугольник $\Delta MBN \sim \Delta ABC$ по двум углам\. 2\) Сторона $BM$ составляет $2$ части, а отрезок $MA$ составляет $3$ части\. Вся сторона $AB$ треугольника равна $2 + 3 = 5$ частям\. 3\) Найдём коэффициент подобия треугольников: $$ k = \dfrac{BM}{AB} = \dfrac{2}{5} $$ 4\) Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $$ \dfrac{S_{\Delta MBN}}{S_{\Delta ABC}} = k^2 = \left(\dfrac{2}{5}\right)^2 = \dfrac{4}{25} $$ 5\) Выразим и вычислим площадь треугольника $ABC$: $$ \dfrac{16}{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{4}{25} \implies S_{\Delta ABC} = \dfrac{16 \cdot 25}{4} = 4 \cdot 25 = 100 $$ **Ответ:** $100$\. **Условие:** Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $6$ и $14$, а диагональ $AC = 30$\. Диагонали пересекаются в точке $O$\. Найдите длину отрезка $AO$\. **Пошаговое решение:** 1\) **Докажем подобие треугольников **$\Delta BOC$** и **$\Delta DOA$**:** • $\angle BOC = \angle DOA$ как вертикальные; • $\angle CBO = \angle ADO$ как накрест лежащие при параллельных прямых $BC \parallel AD$ и секущей $BD$\. Следовательно, $\Delta BOC \sim \Delta DOA$ по двум углам \(I признак подобия\)\. 2\) **Запишем соотношение сходственных сторон:** $$ \dfrac{BC}{AD} = \dfrac{CO}{AO} = \dfrac{6}{14} = \dfrac{3}{7} $$ 3\) **Выразим отрезок **$CO$** через диагональ **$AC$**:** Так как $AC = AO + CO = 30$, то $CO = 30 - AO$\. 4\) **Составим и решим уравнение:** $$ \dfrac{30 - AO}{AO} = \dfrac{3}{7} \implies 7(30 - AO) = 3AO $$ $$ 210 - 7AO = 3AO \implies 10AO = 210 \implies AO = 21 $$ *\(Проверка: *$CO = 30 - 21 = 9$*; отношение *$9 / 21 = 3 / 7$*\)*\. **Ответ:** $21$\. **Условие:** Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $M$\. Докажите, что треугольники $AMD$ и $CMB$ подобны\. **Пошаговое доказательство:** 1\) Рассмотрим углы $\angle DAM$ \(или $\angle DAB$\) и $\angle BCM$ \(или $\angle BCD$\)\. Они являются вписанными углами, которые опираются на одну и ту же дугу окружности $\smile BD$\. По теореме о вписанных углах: $$ \angle DAM = \angle BCM $$ 2\) Углы $\angle AMD$ и $\angle CMB$ являются вертикальными углами, образованными пересекающимися прямыми $AB$ и $CD$\. По свойству вертикальных углов: $$ \angle AMD = \angle CMB $$ 3\) Таким образом, в треугольниках $\Delta AMD$ и $\Delta CMB$ две пары соответственных углов равны \($\angle DAM = \angle BCM$ и $\angle AMD = \angle CMB$\)\. 4\) По первому признаку подобия \(по двум углам\): $$ \Delta AMD \sim \Delta CMB $$ Что и требовалось доказать\. *\(Следствие из подобия: *$\dfrac{AM}{CM} = \dfrac{MD}{MB} \implies AM \cdot MB = CM \cdot MD$* — теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд\)*\. **Условие:** Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, делит её на отрезки длиной $9$ и $16$\. Найдите длину этой высоты\. **Пошаговое решение:** 1\) Пусть в треугольнике $\Delta ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$, а $CD \perp AB$ — высота\. 2\) Высота $CD$ разбивает прямоугольный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника: $\Delta ACD$ и $\Delta CBD$\. • В треугольнике $\Delta ACD$: $\angle A + \angle ACD = 90^\circ \implies \angle ACD = 90^\circ - \angle A$\. • В исходном треугольнике $\Delta ABC$: $\angle B = 90^\circ - \angle A$\. Следовательно, $\angle ACD = \angle B$\. 3\) Прямоугольные треугольники $\Delta ACD$ и $\Delta CBD$ подобны по острому углу \(I признак подобия\): $$ \Delta ACD \sim \Delta CBD $$ 4\) Составим отношение сходственных катетов \(противолежащего к прилежащему\): $$ \dfrac{CD}{BD} = \dfrac{AD}{CD} \implies CD^2 = AD \cdot BD $$ 5\) Высота есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу: $$ CD = \sqrt{AD \cdot BD} = \sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12 $$ **Ответ:** $12$\. ##### Типичные ошибки в заданиях на подобные треугольники ОГЭ При решении задач ОГЭ на подобие школьники чаще всего теряют баллы на следующих четырёх моментах: ##### Отношение площадей как k вместо k² Если коэффициент подобия равен $2$ \($k = 2$\), ошибочно считают, что и площадь большего треугольника в 2 раза больше\. Площади относятся строго как **квадрат коэффициента**: $\dfrac{S_1}{S_2} = k^2 = 2^2 = 4$\! ##### Использование отрезка вместо стороны В пропорции $\dfrac{MN}{AC}$ делят отрезок $BM$ на $AM$ вместо всей стороны $AB$\. Стороной большого треугольника является **вся длина **$AB = BM + AM$, а не её нижняя отсечённая часть $AM$\. ##### Несоответствие сходственных сторон Составляют пропорцию наугад, приравнивая несоответствующие стороны\. Сходственные стороны должны лежать **строго напротив соответственно равных углов**\. В задании 23 за неверную пропорцию сразу выставляется 0 баллов\. ##### Отсутствие доказательства подобия в части 2 В задании 23 сразу пишут формулу отношения сторон без предварительного доказательства подобия треугольников\. По критериям ФИПИ необходимо обязательно **указать равенство двух углов** \(например, накрест лежащих и вертикальных\) и сослаться на I признак\. ## Тренажёр по подобным треугольникам в ОГЭ по математике > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/podobnye-treugolniki](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/podobnye-treugolniki). На образовательной платформе Экзамео собрана полная подборка интерактивных онлайн\-тренажёров по всем экзаменационным заданиям с подобными треугольниками: номера 15, 17, 23, 24 и 25 ОГЭ по математике\. Решайте задачи онлайн, мгновенно проверяйте свои ответы, изучайте подробные пошаговые подсказки и критерии оформления экспертов ОГЭ, чтобы уверенно забрать максимальные баллы за геометрический блок экзамена\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/podobnye-treugolniki](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/podobnye-treugolniki).